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专题 07 三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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题型01 重心...............................................................................................................................................................1
题型02 外心...............................................................................................................................................................2
题型03 内心...............................................................................................................................................................3
题型04 垂心...............................................................................................................................................................4
题型05 奔驰定理.......................................................................................................................................................6
题型 01 重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点 是△ 所在平面内的一点，则当点 是△ 的重心时，有
或 （其中 为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若 、 、 、 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为 、
、 ， ，则有 .
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知在 中， 为 的重心， 为边 中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·二模）点 是 所在平面内两个不同的点，满足 ，则直线 经
过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心3．（2024高三·全国·专题练习）G是 的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若
，则角 （ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、多选题
4．（2024·辽宁·二模） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，满足
，则（ ）
A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
三、填空题
5．（2024·四川南充·模拟预测）已知点 是 的重心， ， ， ，则
．
四、解答题
6．（2024·浙江温州·模拟预测） 的角 对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知
.
(1)求 a 的长.
(2)求 的面积.
题型 02 外心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的外心
1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点 是△ 的外心，则 或
；
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在 中， ， 为 外心，且 ，则 的最大
值为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知 的外心为 ，内角 的对边分别为 ，且 ．
若 ，则 （ ）
A． B．50 C．25 D．
3．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在 中， ， 是 的外心， 为 的中点，
， 是直线 上异于 、 的任意一点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
4．（24-25高三上·辽宁·期中）设 的外心为 ，重心为 ，并且满足 ，则
当 最大时， 的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知 为 的外心， ，则（ ）
A． 与 不共线 B． 与 垂直
C． D．
三、填空题
6．（2024·四川凉山·三模）在 中，已知 ，点G为 的外心，点O为 重心，
则 ．
题型 03 内心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的内心
1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点 是△ 的内心，则有
【典例训练】
一、单选题1．（23-24高三下·山西晋城·阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，M为C
的顶点，若 的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在 所在平面内，若 ，
则点P是 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
3．（2024高三·全国·专题练习）若满足 ，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是
所在平面上的一点， ，则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
二、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆上不与顶
点重合的任意一点，I为 的内心，记直线 的斜率分别为 ，若 ，则椭圆E的离心
率为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 为椭圆 上任意一点， 为左、右焦点， 为 的内心，
记 的面积分别为 ，则 的值为 ．
题型 04 垂心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的垂心
1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若 是△ 的垂心，则 或【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东汕尾·期末）在 中， ，点 为 的垂心，且满足
， ，则 （ ）
A． B．－1 C． D．
2．（23-24高三下·广东惠州·期中）已知三棱锥 中，若 ， ， 两两互相垂直，作 平
面 ，垂足为 ，则点 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．（2025高三·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足
，则点P的轨迹经过 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
4．（23-24高三下·贵州贵阳·期末）已知点 在 所在平面内，且 ，
， ，则点 依次是 的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
二、多选题
5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）在等腰 中，已知 ，若 分别为
的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物
线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，从点 发
出平行于 轴的光线经过抛物线上的点 反射后再经过抛物线上另一点 ，则（ ）
A．存在点 使得点 .都在以 为圆心的圆上
B．存在点 使得点 是 的垂心
C．存在点 使得点 是 的重心
D．点 到直线 的最短距离为4
三、填空题
7．（23-24高三下·北京东城·阶段练习）在三角形 中，点 是三角形 所在平面内一点， 的
三个内角 的对边分别是 ，则下列给出的命题：①若 ，则点 是三角形 的垂心；
②若向量 ，则点 的轨迹通过 的重心；
③若 ，则点 是三角形 的内心；
④若 ，则点 是三角形 的内心．
其中正确的命题是： 填写正确结论的编号)
四、解答题
8．（23-24高三下·广西桂林·阶段练习）已知 的内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
．
(1)求A的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使 存在，并解决问题：
为 内一点， 的延长线交 于点 ，求 的面积．
① 为 的外心， ；
② 为 的垂心， ；
③ 为 的内心， ．
题型 05 奔驰定理
【解题规律·提分快招】
一、奔驰定理
1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且x⃗OA+ y⃗OB+z⃗OA=0⃗,，则 S
ΔBOC
:S
ΔCOA
:S
ΔAOB
=¿x:y:z ¿
2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且x⃗OA+ y⃗OB+x⃗OA=0⃗,，则：
** 错误的表达式 ** S ：S :S =x:y:z
∆BOC ∆AOC ∆AOB
S x S y S z
** 错误的表达式 ** ∆BOC =| |; ∆AOC =| |; ∆AOB=| |
S x+ y+z S x+ y+z S x+ y+z
∆ABC ∆ABC ∆ABC
由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.
二、奔驰定理的证明
奔驰定理：O是ΔABC
内一点
，且 x ¿ ⃗OA+ y ⋅ ⃗OB+z ⋅ ⃗OC=0⃗ ，则 S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =¿x:y:z ¿A
A
O
O
B C B D C
O ΔABC ΔBOC,ΔAOC,ΔAOB S S S
已知 是 内的一点， 的面积分别为 A， B， C，求证：
S ¿ ⃗OA+ ¿S ¿ ⃗OB+ ¿S ¿ ⃗OC=0⃗ ¿¿
A B C
BD S S −¿S S
= ΔABD = ΔBOD =S ΔBOD = C ¿¿
法一证明：延长 OA 与 BC 边相交于点D则 DC S ΔACD S ΔCOD ΔABDS ACD −¿S ΔCOD S B
DC BD S S
B C
O⃗D= BC⃗OB BC⃗OC S +S ⃗OB S +S ⃗OC
+ = B C + B C
S
OD S S S +S S
O⃗D=− A
= BOD = COD = BOD COD = A S +S
∵
OA S
BOA
S
COA
S
BOA
+S
COA
S
B
+S
C∴ B C
O⃗A
S
− A S S
B C
∴
S
B
+S
C
O⃗A
=
S
B
+S
C
⃗OB
+
S
B
+S
C
⃗OC
∴ S A ¿ ⃗OA+ ¿S B ¿ ⃗OB+ ¿S C ¿ ⃗OC=0⃗ ¿¿
→ → → → → →
OA=xOA,OB =yOB,OC =zOC,
法二证明：延长OA到OA ，OB到OB ,OC到OC 使得， 1 1 1 O为
1 1 1
△AB C 的重心.
1 1 1
1
|OA||OB|sin∠AOB
SΔAOB 2 1
= =
SΔA OB 1 xy
1 1 |OA||OB|sin∠A OB
2 1 1 1 1
1
|OA||OC|sin∠AOC
SΔAOC 2 1
= =
SΔA OC 1 xz
1 1 |OA||OC|sin∠A OC
2 1 1 1 1
SΔA OB =xySΔAOB，
1 1
SΔA OC =xzSΔAOC，
1 1
xySΔAOB=xzSΔAOC，
SΔAOB z
=
SΔAOC y
得证.
三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明① 是 的重心： ．
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
② 是 的内心：
证明： ， ， （ 为 内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得
③ 是 的外心： ．
证明： ，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得 ，所以
（ 为 外接圆的半径），同理可得
， ，所以 ，再由奔驰定理可得
④ 是 的垂心：
证明：如图 为 的垂心，则有 ， ，所以 ，所以
，同理可得
，所以 ，再由奔驰定理可得
【典例训练】
一、多选题
1．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知 是
内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 ．设 是
内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ， ， 的面积分别为 ， ，，若 ，则以下命题正确的有（ ）
A．
B． 有可能是 的重心
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的内心，则 为直角三角形
2．（23-24高三下·重庆沙坪坝·期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与
“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知 是 内部一点，将 ， ，
的面积分别记为 ， ， ，则 .根据上述结论，下列命题中正确的有
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 为 的内心，且 ，则
D．若 为 的垂心，则
3．（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个
非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：
已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若M为 的垂心， ，则
D．若 ， ，M为 的外心，则
二、填空题
4．（23-24高三下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非
常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如
图，若 是 内一点， 的面积分别为 ，则有 .
已知 为 的内心，且 ，若 ，则 的最大值为 .
一、单选题
1．（23-24高三下·河北张家口·期末）已知三棱锥 中， ，作 平面ABC，垂
足为 ，则 为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．（2024高三·全国·专题练习）已知三角形 的外心为 ， ， ，则 在
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·北京通州·期中）已知 是 的重心，过点 作一条直线与边 ， 分别交于点
， （点 ， 与所在边的端点均不重合），设 ， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．（24-25高三上·湖北·开学考试）在三棱锥 中，三个侧面与底面 所成的角均相等，顶点
在 内的射影为 ，则 是 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心5．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，右顶点为 ，点
是 右支上一点，点 是 的重心，若 ，则点 到 的两条渐近线的距离之和为（ ）
A． B． C． D．4
6．（23-24高三下·浙江·期中）设O为 的内心， ， ，
，则 （ ）.
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若 的三边为a，b，c，有 ，则 是 的（
）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．（24-25高三·上海·课堂例题）已知 ，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的投影．
①点P到 的三个顶点的距离相等；
②点P到 的三边的距离相等且O点在 内；
③ ， ， ．
当点P分别满足以上条件时，点O一定是 的（ ）
A．外心、垂心、内心； B．垂心、内心、外心；
C．内心、外心、垂心； D．外心、内心、垂心．
9．（23-24高三下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为 内的一点， ，
， 的面积分别为 ， ， ，则 ．因其几何表示酷似奔驰的
标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为 的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）若O是 的外心，且
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角 中， ，点 是边AB上异于端点
的一点，光线从点 出发经 边反射后又回到点 ，若光线 经过 的重心，则 的周长
等于（ ）A． B．
C． D．
二、多选题
12．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知 内角 的对边分别为a,b,c， 为 的重心，
1
cosA= ,AO=2，则（ ）
5
A． B．
C． 的面积的最大值为 D． 的最小值为
13．（23-24高三下·江苏扬州·期中）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正
确的是（ ）
A．若向量 ，则 的外心为 中点
B．若点G为 的重心，则
C．若点O为 所在平面内一点，且 ，则
D．若点I为 的内心，则
14．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）边长为1的正三角形 的内心为 ，过 的直线与边
交于 ，则（ ）
A． B．当 时，此时
C． 的最大值为18 D． 的最小值为15
15．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：
已知O是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．设 是锐角 内的一点， 、 、 分别是的 三
个内角，以下命题正确的有（ ）A．若 ，则
B．若 ， ， ，则
C．若O为 的内心， ，则
D．若O为 的垂心， ，则
三、填空题
16．（24-25高三上·上海静安·期中）已知 在平面 上，平面 外一点 满足 ， ，
，则点 在平面 上的投影点 是 的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一
个）
17．（2024高三·全国·专题练习）在锐角 中，内角 的对边分别为 ， 为其外心.
若 外接圆半径为 ，且 ，则 的值为 .
18．（2024高三·全国·专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是 的重心，则有 ；
②若 成立，则P是 的内心；
③若 ，则 ；
④若P是 的外心， ， ，则 ；
⑤若 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，O为 内的一点且为内心.若
，则 的最大值为 .
则正确的命题有 .（填序号）四、解答题
19．（23-24高三下·重庆·期末）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求边 上的角平分线 长；
(3)若 为锐角三角形，点 为 的垂心， ，求 的取值范围.
20．（24-25高三上·广东·阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为
，且 .D是AB的中点，点E在线段AC上且 ，线段CD与线段BE交于
点M（如下图）
(1)求角A的大小：
(2)若 ，求 的值；
(3)若点G是 的重心，求线段GM的最小值.
21．（23-24高三下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 ： 的焦点为F，点 ， ，
在抛物线 上，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ．
(1)若F为 的重心，求证： 为定值；
(2)若F为 的垂心，求证： 为定值．
