文档内容
第 01 讲 感受可能性、频率的稳定性
课程标准 学习目标
1．掌握必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些
①随机事件
特点对有关事件做出准确的判断；
②事件发生的可能性大小
2．理解事件发生的可能性是有大小的．(难点)
③频率的稳定性
3．理解频率和概率的意义；
知识点01 确定事件与随机事件
1、确定事件
（1）不可能事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．
（2）必然事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件
都是确定事件.
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学科网（北京）股份有限公司2.随机事件
在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.
【即学即练1】
1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的
手势，这个事件是（）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上说法均错误
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解
题的关键．根据必然事件、随机事件的定义进行判断即可．
【详解】解：小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事
件．
故选：A．
2．（24-25九年级上·青海西宁·期末）下列语句所描述的事件中，必然事件是
A．经过红绿灯路口，遇到红灯 B．小明买1张彩票，中500万奖金
C．13个人中至少有2人的生日在同一个月 D．十拿九稳
【答案】C
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件，随机事件是解题的关键．
必然事件是指在一定条件下，每次试验或观察中一定会发生的事件；随机事件是指在一定条件下可能发生
也可能不发生的事件；由此判定即可．
【详解】解：A、经过红绿灯路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；
B、小明买1张彩票，中500万奖金是随机事件，不符合题意；
C、13个人中至少有2人的生日在同一个月是必然事件，符合题意；
D、十拿九稳是随机事件，不符合题意；
故选：C ．
3．（24-25九年级上·河南许昌·期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水中捞月 B．水落石出 C．水滴石穿 D．水到渠成
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事
件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A选项：水中捞月是不可能事件，故A选项符合题意；
B选项：水落石出是必然事件，故B选项不符合题意；
C选项：水滴石穿是必然事件，故C选项不符合题意；
D选项：水到渠成是必然事件，故D选项不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
4．（24-25九年级上·北京密云·期末）下列事件中，随机事件是（ ）
A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．在标准大气压下，将水加热到 并持续加热，则水会沸腾
【答案】C
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于
6是不可能事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为 是必然事件，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；
D、在标准大气压下，将水加热到 并持续加热，则水会沸腾是必然事件，不符合题意；
故选：C．
知识点02 初步认识概率
随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率
(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可
能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件).
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的
属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.
【即学即练2】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）从一副扑克牌中任意抽取1张，有下列事件：①这张牌是“A”；②这
张牌是“红桃”；③这张牌是“大王”；④这张牌是“黑色的”．请将这些事件发生的可能性从小到大排
列： ．（填序号）
【答案】③①②④
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题主要考查了随机事件发生的可能性的大小，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含
“A”、“红桃”、“小王”、“黑色的”的牌的张数各是多少．
先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“小王”、“黑色的”的张数各是多少，然后根据每张牌被
抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将
这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可．
【详解】解：一副扑克牌中含“A”4张，“红桃”13张，“大王”1张，“黑色的”26张，
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学科网（北京）股份有限公司∵1＜4＜13＜26，
∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：③①②④．
故答案为：③①②④．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）事件发生的可能性越 ，它的概率越接近 ；反之，事件发生的
可能性越 ，它的概率越接近 ．
事件 不可能事件 随机事件 必然事件
概率 0 1
【答案】 大 小
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查随机事件发生的可能性大小，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率，不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，
随机事件的概率大于0且小于1，进而求解即可．
【详解】解：事件发生的可能性越大，它的概率越接近 ；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接
近 ．
故答案为：大，小．
知识点03 用频率估计概率
通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数
增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.
m
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率 会在某一个常数附近摆动.
n
在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.
【即学即练3】
1．（24-25九年级上·福建宁德·期末）数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表：
累计抛掷次 1 2 3 5
100 200 500
数 000 000 000 000
盖面朝上次 1 1 3
61 123 309 617
数 238 854 090
盖面朝上频
0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618
率
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）．
【答案】0.62
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查的是利用频率估计概率．熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．
根据表格中的数据可知，盖面朝上频率在0.62左右波动，据此可得出结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵大量重复实验时，“盖面朝上”的频率在0.62左右波动，
∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.62．
故答案为：0.62．
2．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实
验活动．如图，在边长为 的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，
发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为
．
【答案】6.3
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可。
【详解】根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为 ，
故答案为：6.3
题型01 必然事件
例题：（24-25九年级上·天津滨海新·期末）下列描述的事件为必然事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．小明一次掷出 颗质地均匀的骰子， 颗全是 点朝上
C．如果 ， 都是实数，那么
D．从标号分别为 ， ， ， 的 张卡片中，随机抽出 张卡片标号为
【答案】C
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、
不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件
下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，此选项不符合题意；
、小明一次掷出 颗质地均匀的骰子， 颗全是 点朝上，是随机事件，此选项不符合题意；
、如果 ， 都是实数，那么 ，是必然事件，此选项符合题意；
、从标号分别为 ， ， ， 的 张卡片中，随机抽出 张卡片标号为 ，是不可能事件，此选项不符合
题意；
故选： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．经过长期努力学习，你会成为科学家
B．从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光
C．打开电视机，正在直播
D．在地球上抛出的篮球会下落
【答案】D
【知识点】事件的分类
【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，
可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此逐
一判断即可．
【详解】解：A. 经过长期努力学习，你会成为科学家，是随机事件；
B. 从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光，是随机事件；
C. 打开电视机，正在直播 ，是随机事件；
D. 在地球上抛出的篮球会下落，是必然事件；
故选：D．
2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意五边形的外角和为
B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
C．367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
D．一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”
【答案】C
【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小，判断相应事件的类型即可．
【详解】A. ∵任意多边形的外角和为 ，∴任意五边形的外角和为 是不可能事件；
B. 抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件；
C. 367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件；
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学科网（北京）股份有限公司D. 一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”， 是随机事件．
故选：C．
3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．13个人中至少有两个人出生月份相同
B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．2025年有366天
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件
的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．
【详解】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平均
分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意；
B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；；
C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意；
D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意，
故选：A．
题型02 不可能事件
例题：（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，
3，4，5，6），下列事件是不可能事件的是（ ）
A．朝上的点数为6 B．朝上的点数大于0
C．朝上的点数大于7 D．朝上的点数为2
【答案】C
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然
事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，
即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小可知：
选项 、 、 的事件都有可能发生，选项 的事件不可能发生，
选项 的事件是不可能事件，
故选： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．明天早上会下雨
B．掷一枚硬币，正面朝上
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学科网（北京）股份有限公司C．任意一个三角形的内角和等于
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
【答案】C
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：必然事件指在一定条件
下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在
一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
利用不可能事件的定义分析得出答案．
【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、任意一个三角形，它的内角和等于 ，是不可能事件，故此选项符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形全等，是必然事件，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列事件属于不可能事件的是（ ）
A．明天买彩票中奖
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下
【答案】B
【知识点】事件的分类
【分析】本题主要考查了必然事件，不可能事件和随机事件的定义．在数学中，我们把在一定条件下一定
会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，
也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件，由此逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
【详解】解：A．明天买彩票中奖，是随机事件，故A不符合题意；
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球，是不可能事件，故B符合题意；
C．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故C不符合题意；
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下，是必然事件，故D不符合题意．
故选：B．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《新闻联播》 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．买一张电影票，座位号是偶数 D．水往高处流
【答案】D
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事
件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事
件的分类，逐一进行判断即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、是随机事件，不符合题意；
B、是随机事件，不符合题意；
C、是随机事件，不符合题意；
D、是不可能事件，符合题意；
故选D．
题型03 随机事件
例题：（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A． 个人中至少有2个人的生肖相同
B．随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球
【答案】C
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；事先
能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，掌握以上
知识是解题的关键．
本题根据随机事件的定义，逐一核对4个选项，即可求解；
【详解】解：对于选项A， 个人中至少有2个人的生肖相同，是必然事件，不符合题意；
对于选项B，随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7，是必然事件，不符合题意；
对于选项C，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；
对于选项D，从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球，是不可能事件，不符合题意．
故选：C；
【变式训练】
1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）下列事件属于随机事件的是（ ）
A．通常加热到 时，水沸腾 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和为 D．从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球
【答案】B
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握必然事件，随机事件的概念及判定是解题的关键．
必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中必然会发生的事件叫必然发生的事件，简称必然
事件；随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现的事件，并且在大量重复试验中具有某种规律性
的事件叫做随机事件；由此判定即可．
【详解】解：A、通常加热到 时，水沸腾是必然事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和为 是必然事件，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D、从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球是必然事件，不符合题意；
故选：B ．
2．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）下列事件中，是不确定事件的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．打开电视正在播放重庆卫视电视台的节目
C．同位角相等，两条直线平行
D．对顶角相等
【答案】B
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了事件的分类，正确理解随机事件（不确定事件）、必然事件、不可能事件的概念是解
题的关键：随机事件（不确定事件），是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据随机事件（不确定事件）、必然事件、不可能事件的定义解答即可．
【详解】解：A、平行于同一条直线的两条直线平行，是必然事件，故选项A不符合题意；
B、打开电视正在播放重庆卫视电视台的节目，是随机事件（不确定事件），故选项B符合题意；
C、同位角相等，两条直线平行，是必然事件，故选项C不符合题意；
D、对顶角相等，是必然事件，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．（24-25九年级上·北京密云·期末）下列事件中，随机事件是（ ）
A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．在标准大气压下，将水加热到 并持续加热，则水会沸腾
【答案】C
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于
6是不可能事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为 是必然事件，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；
D、在标准大气压下，将水加热到 并持续加热，则水会沸腾是必然事件，不符合题意；
故选：C．
题型04 事件发生的可能性大小
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学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）在一个不透明的口袋中，装有 个黄球和5个红球，这些球除颜
色外没有其他区别，小李从中随机摸出一个球，则摸到 球的机会大．
【答案】黄
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查了可能性大小．根据黄球的个数多于红球的个数即可得到答案．
【详解】∵在一个不透明的口袋中，装有 个黄球和5个红球，这些球除颜色外没有其他区别，小李从中
随机摸出一个球，黄球的个数多于红球的个数，
∴摸到黄球的机会大．，
故答案为：黄．
【变式训练】
1．（2024八年级下·江苏·专题练习）桌子上有一个不透明的盒子，其中装有形状、大小都相同的红球6个，
白球4个，摸出一个球记录它的颜色，再放回去，重复30次，摸出 球的可能性大．
【答案】红
【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了可能性的大小，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案，关键是根据概率
公式列出算式解答．
【详解】摸出红球的概率为 ，摸出白球的概率为 ，
∵ ，
∴摸出红球的可能性大．
故答案为：红．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16个黑
球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑球的
可能性大？
【答案】乙袋中取出黑球的可能性大
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】分别计算两个袋子中取出球的可能性的大小，然后比较即可得到答案．
【详解】解：甲袋中取出黑球的可能性为： ；
乙袋中取出黑球的可能性为： ；
，
乙袋中取出黑球的可能性大．
【点睛】本题考查了可能性的大小，解题关键是了解如何球可能性的大小．
3．（23-24八年级上·北京顺义·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次．
(1)“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？
(2)比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)相等；理由见解析
(2)朝上的点数不小于3发生的可能性大
【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率
【分析】此题考查可能性大小的比较；
（1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案；
（2）先求出朝上的点数小于3的概率和朝上的点数不小于3的概率，再进行比较即可．
熟练掌握概率公式的计算是解题的关键．
【详解】（1）解：相等；
因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为 点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、
6，
所以“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性都是 ；
故这两个事件发生的可能性大小相等；
（2）因为朝上的点数小于3的数有1，2，发生可能性是 ，
朝上的点数不小于3的数有3，4，5，6，发生可能性是 ，
所以“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生可能性大小不相等，朝上的点数不小于
3发生的可能性大．
题型05 概率的意义理解
例题：（23-24九年级上·浙江舟山·期中）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝
上的概率还是
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
【答案】C
【分析】此题主要考查了概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义．根据概率表示可能性大小，逐
一进行判断即可．
【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 ，实验次
数过少，不能得到钉尖朝上的概率是 ，不合理；
B、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票不一定有5张中奖，不合理；
C、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的
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学科网（北京）股份有限公司概率还是 ，合理；
D、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 ，中靶与不中
靶不是等可能事件，不合理；
故选C．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）“从江县明天降水概率是 ”，对此消息下列说法中正确的是
（ ）
A．从江县明天将有 的地区降水 B．从江县明天将有 的时间降水
C．从江县明天降水的可能性较小 D．从江县明天肯定不降水
【答案】C
【分析】本题考查概率的意义，概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件
就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．解题关键是理解概率的
意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小．
【详解】解：“从江县明天降水概率是 ”，
正确的意思是：从江县明天降水的机会是 ，明天降水的可能性较小．
故选：C．
2．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，一定有5次出现正面．
B．“从布袋中取出1个黑球的概率是0”，意思是取出1个黑球的可能性很小．
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷次数很多时，出现正面的频率会稳定在0.5附近．
D．“明天降雨的概率为 ”意思是明天有70%的时间在降雨．
【答案】C
【分析】本题考查概率，根据概率的意义进行判断即可．
【详解】解：A．虽然抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，但是抛掷2次也不一定有1次正
面朝上，因此选项A不符合题意；
B．“从布袋中取出1个黑球的概率是0”，说明布袋中没有黑球，因此选项B不符合题意；
C．由于是大量反复抛掷，抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷次数很多时，出现正面的频率会稳定在0.5附近．
说法正确，此选项符合题意
D．明天的降雨概率是 ，说明下雨的可能性是 ，不代表 的时间会下雨，原说法不正确，不符
合题意；
故选：C．
题型06 关于频率与概率关系说法正误
例题：（23-24九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D
【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项．
【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意；
B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意；
C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意；
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验
中，事件发生的频率可以估计概率．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
B．确定事件发生的概率是1
C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同
D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校 的
男生引体向上成绩不及格
【答案】A
【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可．
【详解】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意；
B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意；
C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意；
D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，
不能说明该校 的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系．
2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则 的值（ ）
A．一定是 B．一定不是
C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在 附近摆动，呈现一定的稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机
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学科网（北京）股份有限公司事件， 是它的频率，随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可
能发生的事件．
题型07 由频率估计概率
例题：（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）某商场“元旦”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由
转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一
区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000
落在“洗衣液”区域的次数
60 122 240 295 472 604
落在“洗衣液”区域的频率
请估计当 很大时，获得“洗衣液”的概率是 ．（精确到 ）
【答案】
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
【详解】解：概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定得到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的
频率去估计事件发生的概率．由统计数据，可知落在“洗衣液”区域的频率逐渐稳定在 ，故获得“洗
衣液”的概率为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）某企业技术革新后，其产品的合格率提升明显，随机抽检这一产品
2000件，发现该产品合格的频率已达到 ，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果
要求保留2位小数）．
【答案】0.99
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据随机抽检这一产品2000件，
发现该产品合格的频率已达到 ，所以估计合格件数的概率为 ，问题得解．
【详解】解：∵随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到 ，
∴依此我们可以估计该产品合格的概率为 （结果保留2位小数），
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
2.（24-25九年级上·浙江台州·期末）一只不透明的袋子中装有若干个黑球和红球，这些球除颜色外都相同．
某课外学习小组做摸球试验：
将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下表：
摸球次数m 200 300 400 1000 1500 2000
摸到红球的频数n 115 184 236 595 902 1202
摸到红球的频率 （结果保留三位小数） 0.575 0.613 0.590 0.595 0.601 0.601
根据以上数据，当摸球次数很大时，估计摸到红球的概率为 （精确到0.01）．
【答案】0.60
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固
定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据表格可知，摸到红球的频率在0.600左右摆动，
所以根据以上数据估计，摸到红球的概率约为0.60．
故答案为：0.60．
题型08 用频率估计概率的综合应用
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）对某篮球运动员进行 分球投篮测试，结果如下表：
投篮次数 10 50
命中次数
命中率
(1)计算并直接填写表中投篮 次、 次相应的命中率；
(2)这个运动员投篮命中的概率约是______；
(3)估计这个运动员 分球投篮 次能得多少分．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) 分．
【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用
【分析】本题主要考查了用频率估计概率．从表中可以看出：随着投篮次数的增加，命中的频率接近 ，
所以这个运动员 分球投篮命中的概率大约是 ．
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学科网（北京）股份有限公司根据表中的数据分别求出投篮 次、 次相应的命中率即可；
用频率估计概率．随着投篮次数的增加，命中的频率接近 ，所以这个运动员 分球投篮命中的概率
大约是 ；
由 可知这个运动员 分球投篮命中的概率大约是 ，估计投篮 次命中 次，共得 分．
【详解】（1）解：投篮 次的命中率为 ，
投篮 次的命中率为 ；
故答案为： ， ；
（2）解：这个运动员投篮命中的概率约是 ，
故答案为： ；
（3）解：估计这个运动员 分球投篮 次能得： 分，
答：估计这个运动员 分球投篮 次能得 分．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的
数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，
经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示：
根据表中数据，回答下列问题：
每次打捞鱼数
每次打捞鱼中带标记的鱼
数
打捞到带标记的鱼的频率
(1)表中 ______， ______；
(2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到 ）；
(3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？
【答案】(1) ，50
(2)
(3)这片鱼塘的价值大约是80000元．
【知识点】用频率估计概率的综合应用
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
（1）根据频率=频数÷总数求解即可；
（2）利用频率估计概率即可；
（3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可．
【详解】（1）解： ， ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ，50；
（2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为 ；
故答案为： ；
（3）解：这个鱼塘中鱼约有 （条），
（元），
答：这片鱼塘的价值大约是80000元．
2．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求
得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下：
…
掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000
…
…
小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305
…
…
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695
…
…
小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x
…
【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次
数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )；
【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留π)
【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是 平方米
【知识点】用频率估计概率的综合应用
【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据圆的面积公式得到圆的面积 （平方米），利用圆的面积 频率值 圆的面积即可得到
结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1） ，
随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近，
故答案为：0.305，0.3；
（2）∵圆的面积 （平方米），
∴整个封闭图形的面积 （平方米），
答：估计整个封闭图形的面积是 平方米．
一、单选题
1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）成语“守株待兔”表示（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事
件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题
关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解即可得．
【详解】解：“守株待兔”可能发生，也可能不发生，是随机事件，
故选：A．
2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．“明天会天晴”是随机事件
B．射击运动员射击一次，命中八环是必然事件
C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件
D．“太阳从西方升起”是必然事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了随机事件，必然事件与不可能事件．解题的关键在于明确各名词的含义．依据各选项
中事件的可能性进行判断即可．
【详解】解：A．“明天会天晴”是随机事件，故选项正确，符合要求；
B．射击运动员射击一次，命中八环是随机事件，故选项错误，不符合要求；
C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是随机事件，故选项错误，不符合要求；
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学科网（北京）股份有限公司D．“太阳从西方升起”是不可能事件，故选项错误，不符合要求；
故选：A．
3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每
次摸到的都是红球，下面说法正确的是（ ）
A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球
C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球
【答案】C
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查了可能性，根据可能性大小逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 盒子里不一定都是红球，故该选项不正确，不符合题意；
B. 他第6次摸到的不一定还是红球，故该选项不正确，不符合题意；
C. 他第6次摸到的可能还是红球，故该选项正确，符合题意；
D. 盒子里不一定还有其他颜色的球，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．（23-24七年级下·全国·课后作业）有一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20张卡片中，有5张卡片的背
面注明了一定的奖金额，其余卡片的背面是一张哭脸，若翻到它就不得奖．游戏的参与者有3次翻卡片的
机会．某参与者前两次翻卡片均得若干奖金，如果翻过的卡片不能再翻，那么这位参与者第三次翻卡片获
奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，根据剩下的卡片以及剩下的有奖的卡片可得到概率，准确得
到概率是解题的关键．
【详解】解：∵20张卡片中有5张卡片有奖，这位参与者翻了2张均中奖，
∴还剩18张，其中有3张会中奖，
∴这位参与者第三次翻卡片获奖的概率是： ，
故选：B．
5．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示：
抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598
“正面向上”的频率（
）
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是 ，所以“正面向上”的概率是 ；
20 / 29
学科网（北京）股份有限公司②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是 ；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次．其中合理推断的序号是
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】A
【知识点】关于频率与概率关系说法的正误
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值
就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可．
【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是 ，“正面向
上”的概率不一定是 ，故①错误；
大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附
近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 ，故②正确；
若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．
故③正确；
故选：A．
二、填空题
6．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都
相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是 事件．（填“必然”“不可能”或
“随机”）
【答案】随机
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可得解．
【详解】解：∵一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同，
∴从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是随机事件，
故答案为：随机．
7．（2025八年级下·全国·专题练习）请写出一个随机事件，使其发生的可能性比随机事件“抛一枚质地均
匀的硬币，正面朝上”的可能性小： ．
【答案】一个不透明的袋子里装着 个红球， 个白球，且 个球除颜色外，形状大小完全相同，摸出红球
的概率．（答案不唯一）
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查了随机事件发生的可能性，随机事件：“在一个不透明的袋子里装着 个红球， 个白球，
且 个球除颜色外，形状大小完全相同，摸出红球”的概率
1 1
是 ，“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的概率是 ，其中 ．
3 2
21 / 29
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：一个不透明的袋子里装着 个红球， 个白球，且 个球除颜色外，形状大小完全相同，摸出
红球的概率．
故答案为：一个不透明的袋子里装着 个红球， 个白球，且 个球除颜色外，形状大小完全相同，摸出红
球的概率．
8．（23-24七年级下·全国·课后作业）从 ，0， ，1， ， 中随机选择一个数，则选到非负数的概
率为 ．
【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率、带“非”字的有理数
【分析】本题考查了概率的求解，确定非负数的个数即可求解，得到非负数的个数是解题的关键．
【详解】解： ，0， ，1， ， 中非负数有： ，
一共有6个数，非负数有3个，
∴选到非负数的概率为： ，
故答案为： ．
9．（23-24七年级下·全国·课后作业）在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法：①不同次数
的试验，正面向上的频率可能会不相同；②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为 ；③多次重
复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，其中正确的是 ．
【答案】 /
【知识点】由频率估计概率
①③ ③①
【分析】根据概率的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查了概率的意义，利用概率的意义是解题关
键．
【详解】解：①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同，说法正确；②当抛掷的次数n很大时，
正面向上的次数更接近 ，而不一定为 ，说法错误；③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一
个常数附近摆动，并趋于稳定，说法正确．
故答案为：①③．
10．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在边长为 的小正方形网格中，已知 ， 在网格格点上，
在剩余的格点中任选一点 ，恰好能使 的面积为 的概率是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了概率公式的应用．由在格点中任意放置点 ，共有 种等可能的结果，恰好能使
的面积为 的有 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】如答图，因为在剩余格点中任选一点 ，共有 种等可能的结果，其中恰好能使 的面积为
的结果有 种，所以恰好能使 的面积为 的概率为 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）指出下列哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪
些事件是随机事件?
(1)一次数学测试中，女生成绩好于男生成绩；
(2)一个有理数的绝对值是3；
(3)两个全等三角形的对应角相等；
(4)明天一定是晴天；
(5)三角形的内角和为 ；
(6)经过一个路口，正好遇到绿灯；
(7)标准大气压下，将水加热到 时，水会沸腾；
(8)等腰三角形的一个角为 ，则另两个角都为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)随机事件
(2)随机事件
(3)必然事件
(4)随机事件
(5)不可能事件
(6)随机事件
(7)必然事件
(8)随机事件
【知识点】等腰三角形的定义、全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用、事件的分类
【分析】本题考查事件的分类，三角形的内角和，等腰三角形定义，全等三角形性质等知识，必然事件：
在一定条件下，一定会发生的事件；随机事件：在一定条件下，有可能发生也有可能不发生；不可能事件：
在一定条件下，一定不会发生的事件；解题的关键在于熟练掌握相关概念．
（1）根据相关定义判断即可；
（2）根据绝对值概念和相关定义判断即可；
（3）根据全等三角形性质和相关定义判断即可；
（4）根据相关定义判断即可；
（5）根据三角形的内角和定理，以及相关定义判断即可；
（6）根据相关定义判断即可；
（7）根据相关定义判断即可；
（8）根据相关定义判断即可；
【详解】（1）解：一次数学测试中，女生成绩好于男生成绩；
该事件有可能发生也有可能不发生，为随机事件；
（2）解：一个有理数的绝对值是3，
该事件有可能发生也有可能不发生，为随机事件；
（3）解：两个全等三角形的对应角相等，
该结论为教材上定理性质，在一定条件下，一定成立，为必然事件；
（4）解：明天一定是晴天，
明天有可能是晴天也有可能不是晴天，为随机事件；
（5）解：三角形的内角和为 ；
该结论在一定条件下，一定不成立，为不可能事件；
（6）解：经过一个路口，正好遇到绿灯，
经过一个路口，可能遇到绿灯，也可能不是绿灯，为随机事件；
（7）解：标准大气压下，将水加热到 时，水会沸腾，
该结论在一定条件下，一定成立，为必然事件；
（8）解：等腰三角形的一个角为 ，则另两个角都为 ，
等腰三角形的一个角为 ，则另两个角可以都为 ，也可以为 和 ，
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学科网（北京）股份有限公司该事件为随机事件．
12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）将下列事件按照发生的可能性由小到大进行排列．
（1）有一个分数的分子比分母小；
（2）一名10岁儿童每小时可以跑10km；
（3）正数大于负数．
【答案】按照发生的可能性由小到大排列为（2）（1）（3）
【知识点】事件的分类
【分析】此题主要考查了可能性大小，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小
为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可
能性及可能性的大小．据此回答即可．
【详解】解：（1）有一个分数的分子比分母小，为随机事件，发生的可能性在0至1之间；
（2）一名10岁儿童每小时可以跑 ，为不可能事件，发生的可能性为0；
（3）正数大于负数，为必然事件，发生的可能性为1．
∴按照发生的可能性由小到大排列为（2）（1）（3）．
13．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列随机事件是否属于等可能事件，若属于，有几种等可能的
结果？
(1)从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况；
(2)一次射击命中的环数；
(3)一枚硬币投抛一次．
【答案】(1)不属于等可能事件
(2)不属于等可能事件
(3)一枚硬币投抛一次，正面或反面朝上的可能性相等，属于等可能事件．有两种等可能的结果：正面朝上、
反面朝上
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查等可能事件，根据等可能事件出现的概率相等逐个判断即可．
【详解】（1）解：从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况不属于等可能事件；
（2）解：一次射击命中的环数不属于等可能事件；
（3）解：一枚硬币投抛一次，正面或反面朝上的可能性相等，属于等可能事件．有两种等可能的结果：
正面朝上、反面朝上．
14．（21-22九年级上·全国·单元测试）对下列说法谈谈你的看法：
(1)某彩票的中奖机会是 ，如果我买 张彩票一定有 张会中奖；
(2)我和同学玩飞行棋游戏，我掷了 次骰子还没掷得“ 点”，说明我掷得“ 点”的机会比其他同学掷
得“ 点”的机会小；
(3)我们知道，抛掷一枚普通硬币得到正面和反面的机会各为50%，出就是说，虽然没人能保证抛掷1000次
会得到500次正面和500次反面，但是，我敢保证得到正面的次数会非常接近得到反面的次数．
【答案】(1)见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2)见解析
(3)见解析
【知识点】概率的意义理解、关于频率与概率关系说法的正误
【分析】（1）根据概率的意义分析即可求解．
（2）根据概率的意义分析即可求解；
（3）根据频率和概率的关系，进行估算．
【详解】（1）解：不同意．频率和机会在实验次数很大时可以非常接近，但并不一定完全相等；
（2）不同意．若骰子质量分布均匀，掷得6点的次数随着抛掷次数的增多而逐渐稳定于 ，实验次数较少
时得到的机会估计值不可靠；
（3）这种说法是合理的．
【点睛】考查利用频率估计概率，概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．随机事件可能发生，
也可能不发生，概率在0和1之间．
15．（23-24七年级下·山东济南·期末）一个布袋中有8个红球和 个白球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是红球的概率；
(2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率
是 ，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答）
【答案】(1)
(2)取走了7个白球
【知识点】已知概率求数量、根据概率公式计算概率
【分析】（1）布袋中有8个红球和16个白球，共24个，即可得；
（2）设取走x个白球，则 ，即可得．
【详解】（1）解：布袋中有8个红球和16个白球，共24个，
故从袋中摸出一个球是红球的概率是P＝ ；
（2）解：设取走x个白球，
则 ，
解得 ，
即取走了7个白球．
【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能
性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．
16．（23-24七年级下·全国·课后作业）某批乒乓球的质量检验结果如下表：
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学科网（北京）股份有限公司抽取的乒
乓球数
优等品的
个数
优等品的
频率
(1)填写表中的空格；
(2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位）
【答案】(1) ， ，
(2)
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
（1）根据表格中数据计算填表即可；
（2）利于频率估计概率求解即可．
【详解】（1）解： ， ， ；
（2）由表中数据可判断优等品频率在 左右摆动，于是利于频率估计概率可得这批乒乓球优等品概率
的估计值是 ．
17．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）为了解学生参加体育活动的情况，学校对初一学生进行了抽样调查，
调查结果如下表：
体育项目 篮球 足球 羽毛球 乒乓球 其他
人数
(1)请根据表格数据绘制扇形统计图；
(2)若该校初一学生共有 人，请估计喜欢足球的学生人数；
(3)在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，抽到喜欢篮球的学生的概率是多少？
【答案】(1)图见解析
(2)约为 人
(3)抽到喜欢篮球的学生的概率是
【知识点】概率的意义理解、求扇形统计图的某项数目、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】本题考查了扇形统计图的绘制、用样本估计总体、随机事件的概率，熟练掌握知识点解答即可．
（1）先根据表格数据计算各体育项目人数所占百分比，再绘制扇形统计图即可；
（2）根据该校初一学生共有 人，喜欢足球的学生人数所占百分比，相乘得出答案即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）根据随机事件的概率表示，得出答案即可．
【详解】（1）解： （人），
∴篮球人数所占百分比 ，足球人数所占百分比 ，羽毛球人数所占百分比
，乒乓球人数所占百分比 ，其他人数所占百分比 ，
绘制扇形统计图如下，
；
（2）解：∵该校初一学生共有 人，由（1）得喜欢足球的学生人数所占百分比 ，
∴估计喜欢足球的学生人数 （人）；
（3）解：∵在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，由（1）得喜欢篮球的学生人数所占百分比
，
∴抽到喜欢篮球的学生的概率是 ，
答：抽到喜欢篮球的学生的概率是 ．
18．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图①，转盘的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4.如
图②，正方形 顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，
指针所落扇形中的数字是几（当指针落在边界上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳
几个边长．
阅读以上游戏规则，回答下列问题：
(1)若嘉嘉从圈A起跳，则他落回到圈A的概率 ________；
(2)若淇淇从圈B起跳，则他与（1）中嘉嘉落回到圈A的概率一样大吗？通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)一样大，见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性
【分析】此题考查了用概率公式求概率．熟练掌握利用概率公式求概率是解决本题的关键；
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学科网（北京）股份有限公司（1）由共有4种等可能的结果，落回到圈 的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）利用概率公式求解，再进行判断即可得答案
【详解】（1） 共有4种等可能的结果，落回到圈 的只有1种情况，
落回到圈 的概率 ，
故答案为： ；
（2）概率一样大，理由如下：
当转盘转1次时，淇淇从圈B起跳可能落在A，D，C，B，
共有4种等可能的情况，
其中淇淇落到圈A的情况只有1种，
所以淇淇落到圈A的概率为 ，
故淇淇与嘉嘉落到圈A的概率一样大.
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