文档内容
勾股定理期中期末重要题型复习(10 类热点题型讲练)
目录
【考点一 判断是否是一组勾股数】........................................................................................................................1
【考点二 判断是否构成直角三角形】....................................................................................................................3
【考点三 勾股定理与无理数问题】........................................................................................................................5
【考点四 已知两点坐标求两点距离】....................................................................................................................7
【考点五 勾股定理与面积问题】............................................................................................................................9
【考点六 勾股定理与网格问题】..........................................................................................................................12
【考点七 勾股定理与折叠问题】..........................................................................................................................15
【考点八 验证勾股定理问题】..............................................................................................................................21
【考点九 勾股定理的应用问题】..........................................................................................................................26
【考点十 利用勾股定理求最短路径问题】..........................................................................................................35
【考点一 判断是否是一组勾股数】
例题：（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，勾股数是（ ）
A．13，14，15 B．1，1，
C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
3．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）下列各组数据中是勾股数的是( )
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【考点二 判断是否构成直角三角形】
例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c．下列条件
不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【变式训练】1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．8，12，13
2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）以下列长度为边的三角形，能判断为直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．2，3，4 C． ， ， D． ， ，3
3．（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的 ，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【考点三 勾股定理与无理数问题】
例题：（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图， ， 于点C， 连接 ， 以点O为
圆心， 长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，点 ， 在数轴上所表示的数分别为0，3， 于点 ，
，以点 为圆心， 长为半径画弧，交数轴于点 ，若点 所表示的数为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，数轴上的点 表示的数是 ，点 表示的数是1， 于
点 ，且 ，以点 为圆心， 为半径画弧交数轴于点 ，则点 表示的数为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上找出表示3的点A，则 ，过点A作直线
垂直OA，在 上取点B，使 ，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C
表示的实数是（ ）A． B．4 C． D．
【考点四 已知两点坐标求两点距离】
例题：（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点 到原点的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，点 到原点的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)， ，以点 为
圆心， 长为半径画弧，交 轴的正半轴于 点，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，点 是平面坐标系中一点，则点 到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【考点五 勾股定理与面积问题】
例题：（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其中两个正方形的面积，则A的面积为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·吉林·期中）如图， 是 的高，分别以线段 为边向外作正
方形．若其中3个正方形的面积如图所示，则以 为边的正方形的面积为 ．
2．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边形的
四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为 ， ， ， ．若 ， ，则 ．
3．（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为 ， ， ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足 的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为
， ，直角三角形面积为 ，也满足 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出 ， ，
的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 __________．
【考点六 勾股定理与网格问题】
例题：（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点
都在格点上，以 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，求 的长 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·天津河西·期末）如图，网格中的小正方形边长均为1， 的三个顶点均在格点上，
则 的长度为（ ）A． B．4 C． D．
2．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在 的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格
点（网格线的交点）上，则边 上的高为 ．
3．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形 的面积 ________；
(2)四边形 的周长 ________；
(3) 与 有什么关系？请说明理由．
【考点七 勾股定理与折叠问题】
例题：（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片 沿对角线BD折叠，折叠后，边
的对应边 交AD于 ．
(1)求证： 长方形各内角均为 ；
(2)若 ， ，求 的长．【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张
长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在 中， ， ， ，如图①，将直角边 沿直线 折叠，使它落
在斜边 上，点C与点E重合，请求出 的长；
操作二：如图②，在长方形 中， ， ，在 边上取一点P，将 沿直线 折叠，
点C恰好与 边上的点E重合，求 的长．
2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在 中， ，进行如下操作：
(1)如图1，将 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点 与 重合，折痕为 ，若 ， ，
求 的长；
(2)如图2，将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，若 ， ，求
的长．3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和
交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【考点八 验证勾股定理问题】
例题：（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思
想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用
来验证勾股定理的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，
这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理 ．
(2)如图2，在 中， 是 边上的高， ，求 的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54， ，求中间小正方形的边长．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形
都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： .
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知： 中， ， ， ， .
求证： .
证明：由图可知 ，
， ______，正方形 边长为______，
，
即 ．
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角
，其中 ， ，过点D作 ，垂足为点E
（2）求证： ， ；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，
若 ， ，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【考点九 勾股定理的应用问题】
例题：（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子 长5米，荡到最高点D时秋干
离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段 的长是4米，求秋千的起始位置距离地
面的高度（线段 的长）．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，一个梯子 长25米，顶端A靠在墙 上（墙与地面垂直），
这时梯子下端B与墙角C距离为7米．(1)求梯子顶端A与地面的距离 的长；
(2)若梯子的顶端A下滑到E，使 ，求梯子的下端B滑动的距离 的长．
2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影
响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段 是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路
线，A是某个大型农场，且 ．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
3．（23-24八年级下·山东德州·期中）吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点
处， 为附近的一条街道，已知点 与直线 上两点 、 的距离分别为 和 ， ，
若吊车周围 以内会受噪声影响．(1)求 的度数；
(2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说
明理由．
4．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长
，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为 的岸上，开始时绳子 的长为 ．（假设
绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以 的速度收绳， 后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少 ？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？
5．（23-24八年级上·重庆万州·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，
且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工
过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路
长．
6．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，
出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 丈，芦苇
生长在 的中点O处，高出水面的部分 尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面
平齐，即 ， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度 ；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现
代符号语言可以表示为：若已知水池宽 ， 芦苇高出水面的部分 ，则水池的深度
可以通过公式 计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【考点十 利用勾股定理求最短路径问题】
例题：（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方体 ， ， ， ，
一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到 点，求它走的最短路径是多少？【变式训练】
1．（23-24九年级上·吉林长春·期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm
的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路径，依据是 ．
（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯
的宽 ，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点 处出发，翻越木块后到达点
处需要走的最短路程．
2．（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分
别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距
1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家．
(1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说
明作图方法或步骤；
(2)求出小智走过的最短路程．
3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
