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第 2 章第 07 讲 解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6 类热点题型
讲练)
目录
【类型一 利用二次根式的非负性求值】........................................................................................................1
【类型二 利用乘法公式进行计算】................................................................................................................4
【类型三 整体代入求值】................................................................................................................................6
【类型四 新定义型运算】................................................................................................................................9
【类型五 二次根式的分母有理化】..............................................................................................................12
【类型六 复合二次根式的化简】..................................................................................................................18
【类型一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足
，则该直角三角形的斜边长为 ．
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知 则 的值是 ．
2．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知 ，则 的算术平方根是 ．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如果实数 、 满足 ，则 的平方根为 ．
4．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知直角三角形两边 的长满足 ，则
第三边的长 ．
5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知实数a，b满足关系式 ．
(1)求a，b的值；
(2)求 的算术平方根．
6．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为 的三边长，且b、c满足
，a为方程 的解，求 的周长，并判断 的形状．【类型二 利用乘法公式进行计算】
例题：（2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算： ．
【变式训练】
1．（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算： ．
2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算： ．
3．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算：
4．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
5．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【类型三 整体代入求值】
例题：（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知 ，求 ．【变式训练】
1．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如果 ， ，那么 ．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知 ，那么 的值等于 ．
3．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知 ，求代数式 的值．
4．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）已知： ，求 的值．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知 ，求下列式子的值：
(1) ；
(2)
【类型四 新定义型运算】
例题：（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：
，则计算 的结果为 ．
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，
，如： ，那么 ．
2．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为
；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取
，第三次“F运算”的结果是11．
若 ，
（1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ；（2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ．
3．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）对于任意的正实数 和 ，我们定义新运算：
，如： ，求： 的值．
4．（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将 与 称为一对
“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
(1)已知： ，求：
① ________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程： ；
(2)代数式 中 的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算： ．
【类型五 二次根式的分母有理化】
例题：（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将 分母有理化，
解：原式 ．运用以上方法解决问题：
(1)将 分母有理化；(2)观察上面的解题过程，请直接写出结果： ______．
(3)计算 的值．
【变式训练】
1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）像 ， ，
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互
为有理化因式．例如： 与 ， 与 ， 与 等都是互为有理化因式．进行
二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)比较 与 的大小，并说明理由．
2．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．
例：化简 ．
解： ．
请回答下列问题．
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：① __________；② __________．
(2)应用：化简 ．
(3)拓展： __________．含 的式子表示， 为正整
数）3．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题：
已知 ，求 的值 他是这样解答的：
，
．
， ．
．
．
请你根据小诚的解题过程，解决如下问题：
(1) ______ ；
(2)化简 ；
(3)若 ，求 的值．
4．（2023春·河北邢台·八年级校考期中）【阅读材料】在二次根式中，如： ，
，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利
用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数
的过程），例如： ， ．
【解决问题】
(1)化简 的结果为______；(2)已知 ， ．
①化简 ______， ______；
②求 的值；
(3)计算： ．
【类型六 复合二次根式的化简】
例题：（2023春·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简 ；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ．
【变式训练】
1．（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数
，是 且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵
∴ ；请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1) ；
(2)
2．（2023春·全国·八年级期中）像 ， ……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复
合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如： ；
再如： ．请用上述方法探索并解
决下列问题：
(1)请你尝试化简：
① ______；
② ______．
(2)若 ，且 ， ， 为正整数，求 的值．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）像 这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二
次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ；(3)若 ，且 为正整数，求a的值．
