文档内容
第 4 章 三角形（单元提升卷）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）
1．（2020秋•朝阳期中）不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．学校的栅栏门
【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：A、自行车的三角形车架是利用三角形的稳定性，故此选项不合题意；
B、三角形房架是利用三角形的稳定性，故此选项不合题意；
C、照相机的三脚架是利用三角形的稳定性，故此选项不符合题意；
D、学校的栅栏门不是利用三角形的稳定性，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形
的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
2．（2021春•柳南区校级期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正
确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△ABC的中线
【分析】利用已知条件可得∠BAE＝∠CAE，然后可得AE是△ABC的角平分线．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的角平分线，关键是掌握三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
3．（2021秋•北仑区期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，1 B．2，3，6 C．6，8，11 D．1.5，2.5，4
【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、6+8＞11，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、1.5+2.5＝4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线
段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条
线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（2021秋•连城县期中）在△ABC中，若∠A+∠B﹣∠C＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，即可判断．
【解答】解：∴∠A+∠B﹣∠C＝0，
∴∠C＝∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形的分类，是一个基础题．
5．（2020秋•丛台区校级期末）如图，△ABC的BC边上的高是（ ）
A．BE B．AF C．CD D．CF
【分析】根据三角形的高解答即可．
【解答】解：△ABC的BC边上的高是AF，
故选：B．
【点评】此题考查三角形的角平分线、高和中线，关键是根据三角形的高的概念判断．
6．（2021秋•邗江区期中）△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4．过C作∠BAC的角平分线的垂线，
垂足为D，连接BD，CD，则S△BDC 的最大值为（ ）A．10 B．15 C．12 D．14
【分析】延长AB，CD交点于E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，
则S△BDC ＝ S△BCE ，当BE⊥BC时，S△BEC 最大面积为20，即S△BDC 最大面积为10．
【解答】解：如图：延长AB，CD交点于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；
∵DE＝DC，
∴S△BDC ＝ S△BEC ，
∴当BE⊥BC时，S△BDC 面积最大，
即S△BDC 最大面积＝ × ×10×4＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BDC ＝ S△BEC 是解题的关键．
7．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连接BE，CE，
CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积＝△ACD的面积＝ △ABC，由E是AD的
中点，得出△ABE的面积＝△DBE的面积＝ △ABC的面积，进而得出△BCE的面积＝
△ABC的面积，再利用CF＝2EF，求出△BEF的面积．
【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝ △ABC＝6，
∵E是AD的中点，
∴△ABE的面积＝△DBE的面积＝ △ABC的面积＝3，
△ACE的面积＝△DCE的面积＝ △ABC的面积＝3，
∴△BCE的面积＝ △ABC的面积＝6，
∵CF＝2EF，
∴△BEF的面积＝ ×6＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是根据中点找出三角形的面积与原三角
形面积的关系．
8．从一个n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，若把这个多边形
分割成9个三角形，则n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为n﹣2，从而
可得出答案．【解答】解：由题意知，n﹣2＝9，则n＝11．
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形的对角线，一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，
形成的三角形个数为n﹣2．
9．（2020秋•秦都区期末）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，
∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝ ，∠EFC＝ ，∠ADC
＝ ，则 、 、 三者间的数量关系是（ ）
α β
γ α β γ
A． ＝ + B． ＝2 ﹣ C． ＝ +2 D． ＝2 ﹣2
【分析】根据平行线的性质得到∠B＝∠EFC＝ ，由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD，
β α γ β γ α β α γ β α γ
根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC＝∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC＝
β
∠B+∠ACB，于是得到结果．
【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝ ，
∴∠B＝∠EFC＝ ，
β
∵CD平分∠BCA，
β
∴∠ACB＝2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD，
∵∠ADC＝ ，
∴∠BCD＝ ﹣ ，
γ
∵∠MAC是△ABC的外角，
γ β
∴∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵∠MAC＝ ，
∴ ＝ +2（ ﹣ ），
α
即 ＝2 ﹣ ，
α β γ β
故选：B．
β γ α
【点评】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形
是解题的关键．
10．（2020秋•涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，
则∠BMD的度数为（ ）A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°
【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，
∴∠MBD＝ ，∠BDM＝ ，
∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，
故选：C．
【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形内角和和角平分线的定义解答．
二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分，共24分。注意认真看清题目的条件和要填写
的内容，尽量完整地填写答案）
11．（2021春•嵩县期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是
2 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣
BC．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的
差等于AB﹣BC是解题的关键．
12．（2020秋•饶平县校级期中）直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是 4 5 度．
【分析】根据△ACB为Rt△，利用三角形内角和定理求出∠CAB+∠ABC＝90°，再利用角平
分线的性质即可求出两锐角的角平分线所夹的锐角的度数．
【解答】解：如图所示
△ACB为Rt△，AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F．∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°
∵AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，
∴∠FAB+∠FBA＝ ∠CAB+ ∠ABC＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和角平分线的性质等知识点的理解和掌握，
此题难度不大，要求学生应熟练掌握．
13．（2018秋•海淀区校级期中）小为同学和小辰同学研究一个数学问题：
尺规作图：作三角形的高线．
已知：△ABC．
尺规作图：作BC边上的高AD．
他们的作法如下：
①分别以B，E为圆心，大于 BE长为半径画弧，两弧交于点F．
②连接AF，与BC交于点D，则线段AD即为所求．
③以A为圆心，AB为半径画弧，与BC交于点E．
老师说：“你们的作法思路正确，但作图顺序不对．”
请回答：其中顺序正确的作图步骤是（填写序号） ③①② ．
判断线段AD为BC边上的高的作图依据是 到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线
上 ．
【分析】利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）可得到正确的作图步骤，然后根据线段
垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AD⊥BC．
【解答】解：作法如下：先以A为圆心，AB为半径画弧，与BC交于点E，再分别以B，E为
圆心，大于 BE长为半径画弧，两弧交于点F，然后连接AF，与BC交于点D，因为根据到
线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以线段AD⊥BC，即AD为高．故答案为③①②；到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂
线）．
14．（2021秋•延庆区期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使
△AOC≌△BOD，所添加的条件的是 CO ＝ DO （答案不唯一） ．
【分析】添加CO＝DO，再加上条件AO＝BO，对顶角∠AOC＝∠BOD，然后利用SAS判定
△AOC≌△BOD即可．
【解答】解：添加CO＝DO，
在△AOC和△BOD中 ，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
故答案为：CO＝DO（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有
两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（2020春•江阴市期中）如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且S△BEF ＝
3cm2，则S△ABC 为 1 2 cm2．
【分析】根据三角形的中线的性质求出S△BEC ，计算即可．
【解答】解：∵F是CE边的中点，
∴S△BEC ＝2×S△BEF ＝6cm2，
∵E是AD边的中点，
∴S△ABC ＝2×S△BEC ＝12cm2，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
16．（2019秋•厦门期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，
过点D作DE⊥AB，垂足为E．若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是 40 ° ．
【分析】根据角平分线的定义得∠CAB＝40°，由直角三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了角平分线的定义和直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
17．（2019秋•德城区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一
个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，
N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应
角相等，图中判断三角形全等的依据是 SS S ．
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结
合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，
∵在△MCO和△NCO中 ，
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC是∠AOB的平分线．故答案为：SSS．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数
学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
18．（2018春•槐荫区期末）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的
垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线
上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定
△EDC≌△ABC的理由是 ASA ．
【分析】根据垂直的定义、全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABD＝∠EDC＝90°，
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
故答案为：ASA．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如
果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）
19．（2021秋•梅里斯区期末）如图，AE＝AD，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于O．
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，连接BC、AO，请直接写出图2中所有的全等三角形（除△ABE≌△ACD外）．
【分析】（1）根据“AAS”证明△ABE≌△ACD，从而得到AB＝AC；
（2）根据全等三角形的判定方法可得到4对全等三角形．
【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD 中，
∴△ABE≌△ACD （AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：∵AD＝AE，
∴BD＝CE，
而△ABE≌△ACD，
∴CD＝BE，
∵BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB（SSS）；
∴∠BCD＝∠EBC，
∴OB＝OC，
∴OD＝OE，
而∠BOD＝∠COE，
∴△DOB≌△EOC（SAS）；
∵AB＝AC，∠ABO＝∠ACO，BO＝CO，
∴△AOB≌△AOC（SAS）；
∵AD＝AE，OD＝OE，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．
20．（2021秋•天门期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16
厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，
点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 1 2 厘米；
②BP＝ 4 t 厘米；
③CP＝ （ 1 6 ﹣ 4 t ） 厘米；
④CQ＝ a t 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．【分析】（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长；
（2）根据∠B＝∠C，可知：分两种情况：①若△DBP≌△QCP，②若△DBP≌△PCQ，根
据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．
【解答】解（1）由题意得：①BD＝12，②BP＝4t；③CP＝16﹣4t，④CQ＝at，
（2）∵BP＝4t，BD＝12，CP＝16﹣4t，CQ＝at，
∵∠B＝∠C，
∴分两种情况：
①若△DBP≌△QCP，
则 ，
∴ ，
∴ ，
②若△DBP≌△PCQ，
则 ，
∴ ，
∴ ．
，综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1．
故答案为：12，4t，（16﹣4t），at．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程，
注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
21．（2020•射阳县校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点
E为AD上一点，且ED＝BD．
（1）求证：△ABD≌△CED；
（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．【分析】（1）证出△ADC是等腰直角三角形，得出AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，由SAS
证明△ABD≌△CED即可；
（2）由角平分线定义得出∠ECD＝ ∠ACD＝22.5°，由全等三角形的性质得出∠BAD＝
∠ECD＝22.5°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
在△ABD与△CED中， ，
∴△ABD≌△CED（SAS）；
（2）解：∵CE为∠ACD的角平分线，
∴∠ECD＝ ∠ACD＝22.5°，
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线定义，
熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（2021•张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是
BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝
CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可
得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出BE＝CD＝1，求出CE＝BC﹣BE＝1，得出CE＝CD，△AED
的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中， ，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD；
（3）解：∵△ABE≌△BCD，
∴BE＝CD＝1，
∵AB＝BC＝2CD＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∴CE＝CD，∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积＝ （1+2）×2﹣
×2×1﹣ ×1×1＝ ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、梯形面积公式以及三角
形面积公式等知识；证明三角形全等是解题的关键．
23．（2020•南通模拟）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．
（1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C﹣∠B之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）由三角形内角和定理得出∠BAC＝70°．由角平分线定义得出∠BAD＝∠DAC＝
∠BAC＝35°．由直角三角形的性质得出∠BAE＝40°，即可得出结果；
（2）由直角三角形的性质得出∠EAC＝90°﹣∠C，由角平分线定义得出∠DAC＝ ∠BAC，
再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC＝35°．
又∵AE是BC上的高，
∴∠AEB＝90°．
在△BAE中，∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣35°＝5°．
（2）∠DAE＝ （∠C﹣∠B），证明如下：
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝ ∠BAC．
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∴∠DAC＝ （180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC
＝ （180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
＝ （∠C﹣∠B）．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质；熟练掌握三
角形内角和定理是解题的关键．
24．（2014秋•秦淮区期中）先阅读材料，再结合要求回答问题．
【问题情景】
如图①：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，
且线段BE，EF，FD满足BE+FD＝EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．
【初步思考】
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG．
先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是
∠ EAF ＝ ∠ BAD ．
【探索延伸】
若将问题情景中条件“∠B＝∠ADC＝90°”改为“∠B+∠D＝180°”（如图②），其余条件
不变，请判断上述数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【实际应用】
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心
南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向
以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时
后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处且相距210海里．试求此时两舰艇的位置
与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．
【分析】【初步思考】利用△AEF≌△AGF，可得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系；
【探索延伸】首先证明△ABE≌△ADG（SAS），再得出△AEF≌△AGF（SSS），即可得出答
案；
【实际应用】首先得出∠OAC+∠OBC＝180°，得出符合探索延伸中的条件，进而得出答案．【解答】解：【初步思考】∠EAF＝ ∠BAD；
【探索延伸】∠EAF＝ ∠BAD仍然成立．
证明：如图，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
又∵EF＝BE+DF，DG＝BE，∴EF＝DG+DF＝GF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS）．
∴∠EAF＝∠GAF．
又∵∠GAF＝∠DAG+∠DAF，
∴∠EAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
而∠EAF+∠BAE+∠DAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝ ∠BAD．
【实际应用】
如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C．
∵1.5小时后，舰艇甲行驶了90海里，舰艇乙行驶了120海里，
即AE＝90，BF＝120．
而EF＝210，∴在四边形AOBC中，有EF＝AE+BF，
又∵OA＝OB，且∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件．
∴∠EOF＝ ∠AOB．
又∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∴∠EAF＝ ∠AOB＝70°．
答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定方法是解题
关键．
