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第 4 章 三角形（压轴 30 题专练）
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD
＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论
错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
2．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相
交于G、H（均不与△ABC的顶点重合），S四边形BCHG ，S△AGH 分别表示四边形BCHG和
△AGH的面积，则 的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2021秋•青山区期中）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，
∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（ ）
A．2 B．7 C．16 D．17
4．（2021秋•鄞州区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝2∠D，连结AC，∠DAC+∠ACB
＝180°，下列哪个选项的值知道，就能求出CD的长（ ）A．AC和AD B．AB和AC C．AC和BC D．AB和BC+AD
5．（2021春•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB
至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF ＝36，
则S△ABC 为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2021秋•长沙期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD
＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有
（ ）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
7．（2021秋•广汉市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交
CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；
③BE＝ CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正
确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
二．填空题（共10小题）
8．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在
AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若
CE∥AB，则∠DOC的度数为 ．9．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2 ，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣ ，
∠BAD＝30°，则∠BDC＝ ．（用含 的式子表示）
α α
α
10．已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°，
则△ABO的面积最小值为 ．
11．如图，△ABC中，点E、F分别在BC、AB边上，AF＝CE，连接AE、CF交于点D，DF＝
2DE，∠B+∠EDF＝180°，∠B+∠CAD＝90°，AC＝4．则DF的长为 ．
12．（2021秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点
B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，
若点E是CD的中点，下列结论：①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：
2：3；④S△ACD ＝2S△DNE ．其中正确的结论有 ．（填写序号即可）
13．（2021秋•梁溪区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的
高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关
系是 ．14．（2021秋•武昌区校级期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上
取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC ＝5S△ADE ，BH＝1，则BC＝ ．
15．（2021秋•东台市月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，
∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，
点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE
与△CQP全等．
16．（2020秋•江夏区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在AC，BC上，
AB＝BE，连接BD，DE和AE，并且∠AED＝∠ACB，延长BA，ED交于点F，连接CF，取
CF中点M，连接BM交AC于点N，若∠ABM＝3∠ACB，CN＝a，则△BNC的面积为 ．
（用含a的式子表示）
17．（2018秋•蚌埠期中）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延
长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝
∠BAF+∠C；③∠F＝ （∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是 ．三．解答题（共13小题）
18．（2021春•南开区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，
点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB＝ ．
（2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线
于点D．
①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝ °．
②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；
若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与
∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个
角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
19．（2021春•东坡区校级月考）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们
把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于
点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下列问题：
（1）在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式 ．
（2）在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；
（3）在图②中，若设∠C＝ ，∠B＝ ，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与
∠C，∠B之间存在着怎样的数量关系（用 ， 表示∠P），并说明理由；
α β
（4）如图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
α β20．（2021秋•松桃县期末）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交
AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．
21．（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是
线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG
上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．22．（2021秋•济南期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB
＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝ ．
（1）如图1，当 ＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
α
（2）如图2，当0＜ ＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若
α
不成立，请说明理由；
α
（3）拓展与应用：如图3，当 ＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别
连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
α
23．（2021秋•思明区校级期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做
“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝
时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；
问题解决：（2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），
①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；
②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路
CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的
总造价．24．（2021秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．
（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．
（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，
BD＝CD，证明：GD＝DF．
25．如图1，点D、E、F分别是△ABC三边上的点，且有∠ADF+∠DEC＝180°．
（1）求证：∠EDF＝∠B；
（2）在图2中线段BC上取一点M，连接DM，使得∠BDM＝∠BMD，画出图形，当∠DFE
＝∠DEF，∠AFE＝∠BDE时，求证：∠DME＝∠A．
26．（2021秋•路北区期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E
从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单
位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，
当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．
（1）证明：AD∥BC．
（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情
况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△DEG与△BFG全等的情况．27．（2020秋•椒江区校级月考）在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的
三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧
三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，
以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”）“智慧三角形”；
（2）若∠OAC＝20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；
（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．（直接写出答案）
28．（2021春•镇江期末）直线AB、CD为平面内两条直线，点M、点N分别在直线AB、CD上，
点P（P不在直线AB、CD上）为平面内一动点．（1）如图1，若AB、CD相交于点O，∠MON＝40°；
①当点P在△OMN内部时，求证：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；
②小芳发现，当点P在∠MON内部运动时，∠MPN、∠OMP、∠ONP还存在其它数量关系，
这种数量关系是 ；
③探究，当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有
种；
（2）如图2，若AB∥CD，请直接写出∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是
．
29．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝
ED．
（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD；
（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝
AB＝4．求点E到BC的距离．30．（2021春•高明区校级期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的
数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，
求∠A的度数．
