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第六章 概率初步
6.2 频率的稳定性
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2021春·七年级课时练习）在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最
大，应将它填在（ ）
A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格
【答案】A
【分析】填在最高位即可．
【详解】解：转盘中共有1至9位数，9在第一位时，数最大．故选 ．
【点睛】解决本题的关键是理解最高位上的数越大，得到的数越大．
2．（2021春·七年级课时练习）从一副扑克牌中任取一张摸到大王与摸到小王的可能性（
）
A．相等 B．不相等 C．有时相等，有时不等 D．无法确定
【答案】A
【分析】从一副扑克牌中任取一张牌，只要求出抽出大王与小王的概率，再进行比较即可
解答．
【详解】解：一副牌有54张，大王与小王各一张，任取一张摸到大王与摸到小王的可能性
均为 ，故选 ．
【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的
可能性就大；反之也成立；若包含的情况相同，那么它们的可能性就相等．
3．小张用一枚质地均匀的硬币做抛掷试验，前10次掷的结果都是反面向上，那么下一次
掷得正面向上的概率为P(A)，则（ ）
A．P(A)=1 B．P(A)=0 C．P(A)=0.5 D．P(A)≥0.5
【答案】C
【分析】根据概率的意义就是事件出现的机会的大小，硬币出现正面向上与反面的机会相
等，据此即可选择正确选项．
【详解】因为每次掷硬币正面朝上的概率都是 ，前面的结果对后面的概率是没有影响的，
所以出现正面向上的概率是相同的．
故选C．
【点睛】本题考查了概率的知识，概率等于所求情况数与总情况数之比．
4．下列说法正确的是（ ）A．调查全国初中毕业生的视力适合用普查
B．a2一定是正数是必然事件
C．掷一枚硬币，正面朝上的概率是
D．垂线最短
【答案】C
【分析】利用普查和抽样调查概念、必然事件、概率等基础知识直接进行判断即可
【详解】解：A、调查全国初中毕业生的视力适合用抽样调查，说法错误；
B、a2一定是正数或0，所以a2一定是正数是随机事件，说法错误；
C、掷一枚硬币，正面朝上的概率是 ，说法正确；
D、垂线段最短，说法错误；
故选C．
【点睛】本题考查普查和抽样调查概念、必然事件、概率等基础知识，熟悉基础概念是解
题关键
5．下列说法中错误的是
A．概率很小的事件不可能发生
B．不可能事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于或等于0且小于或等于1
D．必然事件发生的概率为1
【答案】A
【分析】根据概率的意义，可得答案．
【详解】解： 概率很小的事件发生可能性小，但依然可能发生，此选项错误；
B.不可能事件发生的概率为0，此选项正确；
C.随机事件发生的概率大于或等于0且小于或等于1，此选项正确；
D.必然事件发生的概率为1，此选项正确；
故选A．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生
的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
6．（2022秋·全国·九年级专题练习）某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
击中靶心的频率 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是( )
A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861【答案】D
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越
来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据表格数据可知：
根据频率稳定在0.861，估计这名运动员射击一次时“击中靶心”的概率是0.861．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不
是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来
估计概率．
二、填空题
7．事件A发生的概率为 ，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生______次．
【答案】25.
【分析】根据概率的意义解答即可．
【详解】解：事件A发生的概率为 ，大量重复做这种试验，
则事件A平均每100次发生的次数为：100× ＝25．
故答案为25．
【点睛】本题考查了概率的意义，熟记概念是解题的关键．
8．李老师组织本班学生进行跳绳测试，根据学生测试的成绩，列出了如下表格，则成绩为
“良”的频率为______.
成绩 优 良 及格 不及格
频数 10 22 15 3
【答案】0.44
【分析】用“良”的频数除以总数即可求解.
【详解】根据题意得：
成绩为“良”的频率为：
故答案为：0.44
【点睛】本题考查了频率，掌握一个数据出现的频率等于频数除以总数是关键.
9．给出4个事件：①任意画一个三角形，其内角和是90°；②袋中装有3个黑球、6个白
球（这些球除颜色外都相同），随机摸出一个球，恰好是白球；③掷一枚质地均匀的骰子
（六个而上分别刻有1到6的点数），向上一面的点数恰好为偶数；④任意画一个扇形、
恰好是轴对称图形，按发生的可能性从小到大排列，事件的序号依次是________.【答案】①③②④
【分析】根据不可能事件、可能事件、必然事件分别求出概率对比即可.
【详解】解：①任意一个三角形的内角和为90°，是不可能事件，概率为0；
②恰好为白球的概率为 ；
③向上的一点为偶数的概率为 ；
④扇形为轴对称图形，发生的概率为1；
故答案为①③②④.
【点睛】本题考查不可能事件、可能事件、必然事件的区分，还有概率的算法，基础题型.
10．（2023春·全国·七年级专题练习）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，
结果如下表所示：
种子个数 200 300 500 700 800 900 1000
发芽种子个
187 282 435 624 718 814 901
数
发芽种子率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901
下面有四个推断：
①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；
②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定
性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；
③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；
④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计 种子中大约有 的种子不
能发芽.
其中合理的是______.
【答案】②④
【分析】根据某农科所在相同条件下作某作物种子发芽率的试验表,可得大量重复试验发芽
率逐渐稳定在0.9左右,于是得到种子发芽的概率约为0.9,据此求出1000kg种子中大约有
100kg种子是不能发芽的即可.
【详解】①需要大量试验才可估算发芽率,故错误;
②正确;
③频率与概率不一定相等,故错误;
④正确;
故答案为:②④.
【点睛】本题考查频率与概率的区别,关键还是在概念上区别两种.
三、解答题
11．（2022秋·九年级单元测试）对下列说法谈谈你的看法：(1)某彩票的中奖机会是 ，如果我买 张彩票一定有 张会中奖；
(2)我和同学玩飞行棋游戏，我掷了 次骰子还没掷得“ 点”，说明我掷得“ 点”的机
会比其他同学掷得“ 点”的机会小；
(3)我们知道，抛掷一枚普通硬币得到正面和反面的机会各为50%，出就是说，虽然没人能
保证抛掷1000次会得到500次正面和500次反面，但是，我敢保证得到正面的次数会非常
接近得到反面的次数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据概率的意义分析即可求解．
（2）根据概率的意义分析即可求解；
（3）根据频率和概率的关系，进行估算．
【详解】（1）解：不同意．频率和机会在实验次数很大时可以非常接近，但并不一定完全
相等；
（2）不同意．若骰子质量分布均匀，掷得6点的次数随着抛掷次数的增多而逐渐稳定于 ，
实验次数较少时得到的机会估计值不可靠；
（3）这种说法是合理的．
【点睛】考查利用频率估计概率，概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．随机
事件可能发生，也可能不发生，概率在0和1之间．
12．（2023春·七年级统考单元测试）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一
个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，
当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计
数据：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数
60 122 240 298 604
m
落在“可乐”区域的频率
0.6 0.61 0.6 0.59 0.604
（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可
乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？【答案】（1）0.6；472；（2）0.6；0.6；（3）144°
【分析】（1）根据频率的定义计算n＝298时的频率和频率为0.59时的频数；
（2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率
估计概率得“可乐”的概率约是0.6；
（3）可根据获得“洗衣粉”的概率为1−0.6＝0.4，然后根据扇形统计图的意义，用360°乘
以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角．
【详解】解：（1）298÷500≈0.6；0.59×800=472；
补全表格如下：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数
60 122 240 298 472 604
m
落在“可乐”区域的频率
0.6 0.61 0.6 0.6 0.59 0.604
（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的
概率约是0.6；
故答案为：0.6；0.6；
（3）（1﹣0.6）×360°=144°，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋
势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是______（填序号）．
①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%．
②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是
30%．③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是
和 ．
④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件．
【答案】③④
【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可；
【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误．
②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是
30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，
不是准确值；
③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是
0.48和0.51，此说法正确；
④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件，此说法正确；
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了概率的意义以及概率与频率的区别，正确区分他们是解题的关键．
2．（2021春·全国·七年级专题练习）将某中学九年级组的全体教师按年龄分成三组，情况
如下表所示，则表中a的值是_________.
第二
第一组 第三组
组
频
6 10 a
数
频
b c 0.2
率
【答案】4
【分析】首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据
总数，从而求出a的值．
【详解】解：∵1−20%=80%，
∴(6+10)÷80%=20，
∴20×20%=4.
即a=4.
故答案为4.
【点睛】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．
3．某小学有学生两千多名，从学生中至少选( )人，能使这些人中一定有两个人生日
相同.从学生中至少选( )人，能使这些人中一定有两个人属相相同.
【答案】 367 13【分析】根据一年的天数、生肖数及学生数得到相应的答案即可．
【详解】解： 一年最多有366天，如果选366个人，他们中生日可能都不相同，再选择
一个的话就一定和366个人中某个人的生日相同，
∴至少选367人；
有12个属相，如果选12个人，他们中的属相可能都不相同，再选一个的话就一定和12
人中某个人的属相相同，所以至少要选13个人．
故答案为367；13
【点睛】正确理解实际问题，理解抽屉原理是解决本题的关键．
4．为响应“向雷锋同志学习”的号召，某校举行了一场“学习雷锋好榜样”歌咏比赛．组
委会规定：任何一名参赛选手的成绩x满足60≤x<100，赛后整理所有参赛选手的成绩如下
表：
分数段 频数 频率
60≤x<70 30 0.15
70≤x<80 m 0.45
80≤x<90 60 n
90≤x<100 20 0.1
根据上表提供的信息，可知n＝_________.
【答案】0.3
【分析】根据60≤x<70，可知其分数段内的频数为30，频率为0.15，可求出总人数，然后
n= ，从而得结果．
【详解】解：∵60 x<70，可知其分数段内的频数为30，频率为0.15，
∴30÷0.15=200(人)，
⩽
∴n= =0.3.
故答案为0.3.
【点睛】本题考了频数（率）分布表，用到的知识点是频数，频率，总数之间的关系，频
率= ，知道任何两个可求出另外一个，从而求出解．
5．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出
10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
黑棋数 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为_______枚．
【答案】40
【分析】根据表格中的数据求出摸出黑棋的概率，然后求出棋子的总个数，再减去黑棋子
的个数即可．
【详解】黑棋子的概率= = ，棋子总数为10÷ =50，所以，
白棋子的数量=50﹣10=40（枚）．
故答案为40．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识
点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
二、解答题
6．下表是根据对初一（1）班的50名同学平时最爱吃的食物的种类进行的问卷调查绘制成
的统计表，请填满缺少的项并回答后面的问题．
肉
蔬菜类 瓜果类 水产类
类
男生 22 1 2
女生 4 5 3
频率 64% 14% 12%
（1）选择适当的统计图表示男生平时最爱吃的食物的种类情况；
（2）就给出的初一（1）班的同学平时最爱吃的食物的种类情况，请你结合自己的年龄特
点简略谈谈自己的看法．
【答案】（1）表内依次填入3，10，10%；图形见解析；(2)见解析．
【分析】(1)根据表中所给的关系，结合频率的计算方法；可得表内依次填入3，10，
10%．据此可作出条形统计图；
(2)根据(1)的数据，作出合理的建议即可，答案不唯一．
【详解】解：（1）表内依次填入3，10，10%；
（2）建议同学们多吃蔬菜、水果、水产，补充各种维生素，为了身体的健康应少吃肉类食品．（答案不唯一）
【点睛】本题考查频数和频率分布表，学生分析、处理数据的能力，并要求学生根据图表
得出结论．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）为了解黔东南州某县2016届中考学生的体育考试得
分情况，从该县参加体育考试的4 000名学生中随机抽取了100名学生的体育考试成绩作
样本分析，得出如下不完整的频数统计表和频数直方图．
成绩分组 频数
25≤x<30 4
30≤x<35 m
35≤x<40 24
40≤x<45 36
45≤x<50 n
50≤x<55 4
(1)求m，n的值，并补全频数直方图；
(2)若体育得分在40分以上(包括40分)为优秀，请问该县中考体育成绩优秀的学生人数约为
多少？
【答案】（1）m=12，n=20（2）2400
【分析】(1)根据频数分布直方图即可求得m的值，然后利用总人数100减去其它各组的人
数就是n的值；
(2)利用总人数4000乘以优秀的人数所占的比例即可求得优秀的人数．
【详解】解：(1)根据频数分布直方图可得：m=12，
则n=100−4−12−24−36−4=20，
；
(2)优秀的人数所占的比例是： =0.6，
则该县中考体育成绩优秀学生人数约为：4000×0.6=2400(人).
故答案为(1)m=12，n=20；(2)2400.【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进
行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目(每位同学
仅选一项)．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目 频数 频率
篮球 30 0.25
羽毛球 m 0.20
乒乓球 36 n
跳绳 18 0.15
其他 12 0.10
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)频数分布表中的m＝_________，n＝_________；
(2)在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为_________.
【答案】(1)24，0.30；(2)108°.
【分析】(1)先求出样本总数，进而可得出m、n的值；
(2)根据(1)中n的值可得出，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数；
【详解】解：(1)∵喜欢篮球的是30人，频率是0.25，
∴样本数=30÷0.25=120，
∵喜欢羽毛球场的频率是0.20，喜欢乒乓球的是36人，
∴m=0.20×120=24，n=36÷120=0.30；
(2)∵n=0.30，
∴0.30×360°=108°.
故答案为(1)24，0.30；(2)108°.
【点睛】本题考查的是扇形统计图，熟知通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量
同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数
的百分数是解答此题的关键．
