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第 01 讲 因式分解(10 类热点题型讲练)
1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；
2.会用提公因式法分解因式；
3.会用运用公式法分解因式.
知识点01 因式分解的概念
因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，
也叫做把这个多项式分解因式.
知识点02 提公因式法因式分解
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最
好能一次性提取完.
知识点03 运用公式法因式分解
②运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
题型01 判断是否是因式分解
【例题】（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练】
1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·山东威海·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
题型02 已知因式分解的结果求参数
【例题】（2024上·重庆南川·八年级统考期末）若关于x的多项式 可以分解为 ，则
常数 ．
【变式训练】
1．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）已知二次三项式 有一个因式是 ，则 的值为
.
2．（2023下·湖南益阳·七年级统考期末）多项式 可以因式分解为 ，则系数
．
题型03 已知因式分解中错题正解
【例题】（2023上·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式 时，甲看错了 ，分解
结果为 ；乙看错了 ，分解结果为 ，则正确的分解结果为 ．
【变式训练】
1．（2021下·浙江绍兴·七年级绍兴市元培中学校考期中）在分解因式 时，小明看错了b，分解结
果为 ；小张看错了a，分解结果为 ，求a，b的值．
题型04 公因式
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）下列各式中，没有公因式的是（ ）A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
题型05 提公因式法因式分解
【例题】（2023上·全国·八年级课堂例题）把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ；
(3) ， (4) ．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级专题练习）把下列各式进行因式分解：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
2．（2023上·八年级课时练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型06 判断能否用平方差公式因式分解
【例题】（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
① ② ③ ④A．①② B．①④ C．③④ D．②③
题型07 判断能否用完全平方公式因式分解
【例题】（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
1．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式 可以用完全平方公式进行因式分解，则
的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型08 综合运用公式法因式分解
【例题】（2023上·八年级课时练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
2．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1) ．(2) ．
(3) ．
题型09 综合提公因式和公式法因式分解
【例题】（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【变式训练】
1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式：
(1) ；
(2) ．
2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式：
(1) ；
(2) ．
题型10 运用因式分解求多项式的值
【例题】（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果 ，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【变式训练】
1．（2022上·湖南衡阳·八年级校考期中）长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为
12，则 值为 ．
2．（2023上·湖北武汉·八年级期末）若 ，则代数式 值为 .一、单选题
1．（2023上·甘肃金昌·八年级统考期末） 分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·八年级竞赛）若多项式 因式分解得 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2024上·云南昆明·八年级统考期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024上·河南商丘·八年级统考期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
5．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023上·江西赣州·九年级统考期末）因式分解： ．
7．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）分解因式： ．
8．（2023下·湖南郴州·七年级校考期中）因式分解： 的公因式是 ．
9．（2023上·福建福州·八年级统考期末）若关于 的二次三项式 含有因式 ，则实数 的
值是 ．
10．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）已知 ，则 的值
为 ．
三、解答题
11．（2024上·河南洛阳·八年级统考期末）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)12．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
13．（2023下·全国·八年级假期作业）因式分解：
(1)（2a-1）（a＋1）-7（a＋1）；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
14．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）完成下面各题
(1)若二次三项式 可分解为 ，则 ______；
(2)若二次三项式 可分解为 ，则 ______； ______；
(3)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
15．（2024上·湖北十堰·八年级统考期末）下面是某同学对多项式 因式分解的过
程．
解：设 ，
则原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）解答下列问题
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
．提取公因式
．平方差公式
．两数和的完全平方公式
．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
16．（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）综合与实践
特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出
最终答案的一种方法，综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式 有一个因式是 ，求m的值．
解：由题意，设 （A为整式），
由于上式为恒等式，为了方便计算，取 ，
则 ，解得 __ ■ _ _．
(1)“■”处m的值为______；
(2)已知多项式 有一个因式是 ，求b的值；
(3)若多项式 有因式 和 ，求a，b的值；
