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第 01 讲 函数
课程标准 学习目标
1．掌握函数的概念以及表示方法；
①掌握函数的概念
②会求函数的值
2．会求函数的值，并确定自变量的取值范围；
知识点01 函数的概念
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
函数值： 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，分别给出了变量 与 之间的相应关系， 不是 的函数的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每
一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．根据定义
判断即可．
【详解】解：根据函数的定义可知对于自变量x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，
选项B中图象不符合这一特征，
选项B图象不能表示y是x的函数，
故选：B．
知识点02 函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
【微点拨】
1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一
个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以
是多个.比如： 中，当y的值为4时， 的值为±2.
【即学即练2】
1.下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦·时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（
）
用电量x（千瓦·时） 1 2 3 4 …
应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 …
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦·时，则应交电费4.4元 D．若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时
【答案】D
【分析】根据表格数据可得每度电的费用及二者的函数关系，据此求解即可．
【详解】解：A、由于应交电费随用电量的增加而增大，故x、y都是变量，x是自变量，y是因变量，故选
项正确，不符合题意；
B、根据表格中的数据可知：用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故选项正确，不符合题意；C、用电量为8千瓦时时，应交电费=0.55×8=4.4（元），故选项正确，不符合题意；
D、由表可知：所交电费为2.75元时，用电量为5千瓦时，故选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】题目主要考查根据表格得出相应的函数关系，理解题意，由表格得出相关信息是解题关键．
2．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器
内水面高度 随时间 变化的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面
积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所
以一开始水面高度 上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
故选： ．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 运
动，至点 处停止．点 运动的路程为 ， 的面积为 ，且 与 之间满足的关系如图2所示，则当
时，对应的 的值是（ ）
A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解
题关键．根据图象求出 和 ，再分析当点 在 上运动时，当点 在 上运动时的 的高为
4，据此求出 的值即可．
【详解】解：当点 运动到点 处时， ， ，即 ， ，
，
， ，
当点 在 上运动时， ，
，，
当点 在 上运动时， ，
，
，
故选：B
题型01 函数的概念及图象识别
【典例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念、函数图象识别
【分析】本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．函数是对于 的任意取值，
都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断．
【详解】解： 、 、 都符合函数的定义，只有 选项的图象，一个 对应的 值不止一个，不能表示
是 的函数．
故选：C
【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各曲线中，不能表示 是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念
【分析】根据函数的定义，判断解答即可．
本题考查了函数的定义的理解，正确理解定义中的一一对应原则是解题的关键．
【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
故A不符合题意；
B、满足对于x的每一个取值，y有唯一一个值与之对应关系，
故B不符合题意；C、满足对于x的每一个取值，y都有两个值与之对应关系，
故C符合题意；
D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
故D不符合题意；
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中， 不是 函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念、函数图象识别
【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值与之对应，则
叫 的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键．
【详解】解： 、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应，
∴ 是 函数，该选项不合题意；
、自变量 每取一个值， 有两个值和它对应，
∴ 不是 函数，该选项符合题意；
、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应，
∴ 是 函数，该选项不合题意；
、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应，
∴ 是 函数，该选项不合题意；
故选： ．
【变式3】（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
B．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
C．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
4
D．在 中， 是常量， ， 是自变量， 是 的函数
3
【答案】B
【知识点】函数的概念
【分析】根据函数的定义解答即可．
本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量．
【详解】解： 与 不是唯一的值对应，故选项错误；
B．当 取一值时， 有唯一的值与之对应，故选项正确；C． 与 不是唯一的值对应，故选项错误；
4
D．在 中， 、 是常量， 是自变量， 是 的函数，故选项错误．
3
故选B．
题型02 函数的三种表示方法之列表法
【典例2】（23-24七年级下·陕西·期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行
高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示．
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 …
下列说法正确的是（ ）
A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米
B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米
C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同
D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米
【答案】C
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行
逐一判断即可求解．
【详解】解：由表格数据可得， 秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞
行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意；
由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意；
由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是 （米），故D不符合题意；
故选：C．
【变式1】（23-24七年级下·四川达州·期末）李强一家自驾车到离家 的九寨沟旅游，出发前将油箱
加满油．下表记录了轿车行驶的路程 与油箱剩余油量 之间的部分数据：
30
轿车行驶的路程 0 100 200 400 …
0
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶100km耗油8L
C．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余 油【答案】C
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】根据表格中信息逐一判断即可．
【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为 ，故A正确，不符合题意；
B、 时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符
合题意；
C、有表格知：该车每行驶 耗油 ，则 ，故C错误，符合题意；
D、当 时， ，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向
前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过
，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
…
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
…
刹车距离（m） 0 5 10 …
下列说法中错误的是（ ）
A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离
B．刹车时的车速每增加 千米，刹车距离就增加
C．当刹车距离为 时，刹车时的车速为
D．当刹车时的车速为 时，与其前方距离为 的车辆不会追尾
【答案】C
【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、函数的三种表示方法
【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可．
【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意；
B、根据表格，刹车时的车速每增加 千米，刹车距离就增加 ，正确，不符合题意；
C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为 ，当 ，得到
，解得 ，不正确，符合题意；
D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为 ，当 ，得到
，正确，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了函数的表达方式及其意义，正确理解各自表达方式的意义是解题的关键．
【变式3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习
强国” ，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积
分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（ ）
学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7
周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．从第 天到第 天，周积分的增长量为50分
D．天数每增加 天，周积分的增长量不一定相同
【答案】C
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、在这个变化过程中，有两个变量，学习的天数和周积分，周积分随着学习时间的变化而
变化，因此学习天数是自变量，周积分是因变量，故选项A不符合题意；
B、从表格是的数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，因此选项B不符合题意；
C、从第3天到第4天，周积分的增长量为 分，因此选项C符合题意；
D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，有 分、 分， 分的不等，因此选项D不符合题
意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的表示方法，理解常量与变量，函数的定义是正确判断的前提．
题型03 函数的三种表示方法之解析式
【典例3】（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣
传单，校园附近有一家印刷社，收费 （元）与印刷数量 （张）之间的关系如表：
印刷数量 （张）
收费 （元）
(1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是
(2)从上表可知：收费 （元）随印刷数量 （张）的增加而
(3)若要印制1000张宣传单，收费 元
【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费
(2)增加
(3)150【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、函数的三种表示方法
【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问
题的关键．
（1）由表格中数据变化可得答案；
（2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案；
（3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：
上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费，
故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费；
（2）解：从上表可知：收费 （元）随印刷数量 （张）的增加而增加，
故答案为：增加；
（3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为 （元），
所以印刷1000张的费用为： （元），
故答案为：150．
【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期末）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为
标准大气压，并得到几组对应的数据如下：
1
加热时间 0 20 30
0
1
液体温度 8 28 38
8
(1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的
值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当加热 时该液体沸腾，求该液体的沸点．
【答案】(1) ，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量
(2)
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、函数的概念、函数的三种表示方法
【分析】本题考查的是函数的应用，函数的定义，理解题意是关键；
（1）由加热时间每增加 ，液体温度升高 ，可得则每秒液体升高的温度为 ，从而可得
解析式；
（2）直接根据每秒液体升高的温度为 ，再列式计算即可；
【详解】（1）解：由表格可知，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量；
加热时间每增加 ，液体温度升高 ，
则每秒液体升高的温度为 ，得 ，∴y与t之间的关系式是 ，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量．
（2）解： ，
当 时， ，
∴该液体的沸点是 ．
【变式2】（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为 的篱笆围一个长方形花圃，其一
边靠墙(墙长 ，另外三边是篱笆，其中 不超过 设垂直于墙的两边 的长均为 ，长方形花
圃的面积为 ．
(1)判断 是否符合题意，并说明理由
(2)求 与 之间的关系式
(3)根据关系式补充表格：
观察表中数据，写出 随 变化的一个特征： ．
【答案】(1) 不符合题意，理由见详解
(2)
(3)18，16， 随 的增大先增大后减小
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法
【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键．
（1）根据 ，且 ，可得 ，再将 代入求值后与墙长9米比较可得；
（2）根据长方形的面积公式即可得 关于 的函数关系式；
（3）将 、 代入求值可完善表格，由表格中 随 的增减性可得．
【详解】（1）解： 不符合题意，
由题意得， ，
当 时， ，
不符合题意；
（2）解： ；
（3）解：当 时， ，
当 时， ，
完成表格如下：（米） 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5
2
（米 13. 1 17. 1 17. 1 13.
） 5 6 5 8 5 6 5
由表可知， 随 的增大先增大后减小，
故答案为： 随 的增大先增大后减小．
【变式3】（23-24七年级下·广东佛山·期中）小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开
车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能
停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过 ）
进行了测试，测得的数据如下表：
．．
刹车时车速 0 10 20 30 40 50
．
．．
刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5
．
请回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)当刹车时车速为 时，刹车距离是 ；
(3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ；
(4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超
速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里）
【答案】(1)刹车时车速，刹车距离
(2)20米
(3)
(4)汽车是超速行驶，理由见解析
【知识点】求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法
【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关
键．
（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据刹车时车速每增加 ，刹车距离增加 m，可得答案；
（4）结合（3）的结论得出可得车速为 ，进而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；（2）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
当刹车时车速为 时，刹车距离是20m；
故答案为：20；
（3）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
与v之间的关系式为： ，
故答案为： ；
（4）解：当 时， ，
，
，
答：推测刹车时车速是 ，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
题型04 函数的三种表示方法之图象法
【典例4】（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的
是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
根据函数图象分析即可．
【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运
动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
【变式1】（23-24七年级下·全国·期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器
内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度 与注水时间 的
图象大致为图中的（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器
内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度 与注水时间 的函数
图象．
【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来
的高度一定大于0，则可以判断 、 一定错误；
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间 不变，
当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水， 随 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的
高度 不再变化．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化
的情况．
(1)上午8时的温度是多少？16时呢？
(2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？
(3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？
(4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？(5)图中的点 A 表示的是什么？点 B 呢？
【答案】(1)上午8时的温度是 ，16时的温度是
(2)这一天的最高温度是 是在 14时达到的；最低温度为 ，是在 4时达到的
(3)这一天的温差为 ，经过了
(4)4时到14时温度在上升，0时到4时和14时到24时温度在下降
(5)点A 表示0时温度为 ，点 B 表示16时温度为 ；
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获得有关信息．
（1）根据图象求解即可；
（2）根据图象求解即可；
（3）用最高点表示的温度减去最低点的温度即可求出温差；用最高点表示的时间减去最低点的时间求解
即可；
（4）根据图象的变化趋势求解即可；
（5）根据横坐标，纵坐标的含义求解即可；
【详解】（1）解：上午8时的温度是 ，16时的温度是 ；
（2）解：这一天的最高温度是 ，是在 14时达到的；最低温度为 ，是在 4时达到的；
（3）解：这一天的温差为 ，经过了 ；
（4）解：4时到14时温度在上升，0时到4时和14时到24时温度在下降；
（5）解：点A 表示0时温度为 ，点 B 表示16时温度为 ；
【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开
口，壁厚不计．容器A底面积为 ，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均
匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图．
(1)注水速度为 ，容器A高度为 ．
(2)请计算容器B的底面积是多少？
(3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？
(4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像．
【答案】(1) ，(2)容器B的底面积是
(3)将容器A注满水需要
(4)见解析
【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当 时，
容器A由底部小孔慢慢进水，在 时达到容器A顶部，当 时，水漫过容器A顶部，容器A高
度增速加快，当 时容器A装满水，直到 时容器B装满水；
（1）根据在 时达到容器A顶部根据 时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求
注水速度和容器A高度，；
（2）根据 时注水总量为 ，设容器B的底面积是 ，根据注水总量列方程求解
即可；
（3）根据当 时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要
时间即可；
（4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可．
【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当 时，容器A由底部小孔慢慢进水，在 时达到容
器A顶部，当 时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当 时容器A装满水，直
到 时容器B装满水，
∴当 时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为
，容器A高度为 ，
∴注水速度为
故答案为： ， ；
（2） 时注水总量为 ，
设容器B的底面积是 ，
由题意可得：
解得 ，
∴容器B的底面积是 ；
（3）当 时，容器A高进水量为 ，
∴小孔注水速度为 ，
∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B，
∴将容器A注满水需要时间为 ；
（4）当 时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为 ，当 时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变，
当 时容器A装满水，容器B水面高度上升，
直到 时容器B装满水，此时水深 ，
故函数图象为：
题型05 求自变量的取值范围
【典例5】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在函数 中，自变量x的取值范围是
．
【答案】
【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，解不等式
即可．
【详解】解：根据题意得： ，
，
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级上·上海·单元测试）要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时
出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为
，其时间t的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围
【分析】根据题意和题目中的数据，可以直接写出河道剩水量 （立方米）和水泵抽水时间 （小时）的
函数关系式，然后再令 求出 的值，即可写出 的取值范围．本题考查一次函数的应用，解答本题的
关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
【详解】解：由题意可得，
，
当 时， ，可得 ，
的取值范围为 ，
故答案为： ， ．【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为 的等腰三角形中，底边长为 ，腰长为
，则 关于 的函数解析式为 ，定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围
【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可．
【详解】∵在周长为 的等腰三角形中，底边长为 ，腰长为 ，
∴ ，整理得 ，
由等腰三角形可得 ，
∴ ，解得 ，
∴ 关于 的函数解析式为 ，定义域为 ，
故答案为： ， ．
【变式3】（24-25八年级上·上海·单元测试）现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y
与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围
【分析】根据总本数减去借出的本数等于余下的本数，可得函数关系式，根据总本数除以每人借的本数，
可得答案．本题考查了一次函数的应用，利用了总本数减去借出的本数等于余下的本数．
【详解】解：∵现有300本图书借给学生阅读，每人5本
∴余下的本数 和学生人数 之间的函数表达式为 ，
其中自变量是 ，
故答案为： ， ．
题型06 求自变量的值或函数值
【典例6】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数 ，则 ．
【答案】 /【知识点】分式的求值、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了函数求值，分式求值，把 代入函数关系式即可求解，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．
【详解】解：当 时，
，
故答案为： ．
【变式1】（2024·山西·三模）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标
与摄氏温标 之间的函数关系为 ，热力学温标 与摄氏温标 之间的函数关
系为 ．当热力学温度 时，所对应的华氏温度为 ．
【答案】
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查求自变量或函数值，先将T值代入 中求得c值，再将c值代入
中求解即可．
【详解】解：由题意，将 代入 中，得 ，
将 代入 中，得 ，
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量
与售价y（元）之间的关系如下表：
质量 1 2 3 4
售价
元
则y与x的关系式为 ，若卖出苹果 ，售价为 元．
【答案】 12.1
【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式
【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是从表中所给信息中推理出x与y的关系，推理时要注意寻
找规律．再代入求值．
根据表中所给信息，判断出卖出1千克苹果 元，每增加1千克增加1.2元，列出函数关系式即可；
再代入已知量，可求未知量．
【详解】由表中信息可知，卖出1千克苹果 元，每增加1千克增加1.2元，
所以，卖出的苹果数量x（千克）与售价y（元）之间的关系是： ．当 时， ．
故答案为： ， 12.1．
【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知气温 （℃）与海拔高度 的函数关系式为
．
（1）变量是 ，常量是 ；
（2）当函数值为 时，对应的自变量的值为 ．
【答案】 和 和
【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查函数的概念及求自变量的值，熟练掌握定义是解题关键．
（1）根据变量与常量的定义即可得答案；
（2）把 代入 求出 的值即可得答案．
【详解】解：（1）在 中， 随 的变化而变化， 、 是常数，不发生变化，
∴变量是 和 ，常量是 和 ，
故答案为： 和 ， 和
（2）当 时， ，
解得： ，
故答案为：
题型07 动点问题画函数图象
【典例7】（23-24七年级下·山东青岛·期末）．如图1，四边形 是长方形，动点E从点B出发，沿
匀速运动，到达点A停止运动，速度为 ，设点E的运动时间为 ， 的面积
为 ，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．S的最大值为
C．当 时， D．当 时，
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图2中各个关键点的横坐标判断出动点 在图1中的位置是解决本题的关键．理解当 时，点 可能在 边上，也可能在 边上是解决本题的易错点．
由图2中各个关键点的横坐标可得动点 从点 运动到点 、 、 所用的时间，根据点 的速度可得动
点 在相应时间内行走的路程，那么可得长方形各边长，即可判断A选项的正误；易得点 在 边上时，
的面积最大，那么可得 的最大值，可判断B选项的正误；当 时，点 在 边上，可得 的
长，进而可得 的值，可判断C选项的正误；当 时，点 可能在 边上，也可能在 边上，分
别求得点 的运动路程，除以速度即可得到t的值，即可判断D选项的正误．
【详解】解：由题意得：点 从点 运动到点 、 、 所用的时间分别是 ，
∵点 的速度为 ，
∴ ．
∴ ．
∵四边形 是长方形，
∴ ．故A错误，不符合题意；
当点 在 边上时， 的面积最大．
．故B正确，符合题意．
当 时，点 在 边上， ．
∴ ．故C错误，不符合题意．
当 时，点 可能在 边上，也可能在 边上．
①点 在 边上时，
，
，
②点 在 边上时，
∴点 运动的路程为 ．
，
故D错误，不符合题意．
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形 中，点P从点A出发，匀速沿
向点 运动，连接 ，设点 的运动距离为 ， 的长为 ， 关于 的函数图象如图2所示，则当点 为 中点时， 的长为 ．
【答案】
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图
2可以得出 ， ， ，由勾股定理可以求出a的值，当P为 的中点时 ，
由股定理求出 长度．
【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象 时 ，则 ，
P从A向B移动的过程中， 是不断增加的，而P从B向D移动的过程中， 是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即 时， ，此时 ，
即 ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ，
，
当P为 的中点时 ，
，
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图， 中， 是 边的中点， 是 边上的一个动
点，连接 ．设 的面积是变量 ， 的长是变量 ，小明对变量 和 之间的关系进行了探究，
得到了以下的数据：请根据以上信息，回答下列问题：
(1)自变量和因变量分别是什么？
(2) 和 的值分别是多少？
(3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说 的面积是怎样变化的？
【答案】(1)自变量是 的长 ，因变量是 的面积
(2) ，
(3)见解析
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查了动点问题的函数图像，三角形的面积，解题的关键是数形结合．
（1）根据题意即可求解；
（2）根据表格数据可得 ， ， 的高是 ，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）当 时， ，当 时， ，再根据三角形的面积
公式可求解析式，根据函数的性质可得 的面积变化情况．
【详解】（1）解：自变量是 的长 ，因变量是 的面积 ；
（2）解： 时， ； 时， ，
， ， 的高是 ，
时， ，
，
当 时， ，
，
， ；
（3）解：当 时， ，
，即 ；
当 时， ，
，即 ；
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．
【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知动点 以 的速度沿如图1所示的边框以
的路径运动，记 的面积为 ， 与运动时间 的关系如图2所示，若
，请回答下列问题：(1)图1中 ， ， ．
(2)求图2中m，n的值；
(3)分别求出当点P在线段 和 上运动时s与t的关系式．
【答案】(1) ； ；
(2) 的值为 ， 的值为
(3) ；
【知识点】函数解析式、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查动点问题的函数图像，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数
形结合的思想方法．解题的关键是读懂图像信息．
（1）因为点 速度为 ，所以根据图2的时间可以求出线段 ， 和 的长度；
（2）由图像可知 的值就是 的面积， 的值就是运动的总时间，由此即可解决；
（3）先用 表示出点 到 的水平距离，再根据三角形的面积公式求出面积．
【详解】（1）解：由图2可知，点 从 的运动时间为 ，
∴ ，
由图2可知，点 从 的运动时间为： ，
∴ ，
由图2可知，点 从 的运动时间为 ，
∴ ．
故答案为： ； ； ．
（2）解：根据题意得： ，
，．
∴图2中 的值为 ， 的值为 ．
（3）解：由图2可知，点 在 上运动时， ，
∴ ，
即 ，
由图2可知，点 在 上运动时， ，
∴ ，
即 ．
∴点 在线段 上运动时 与 的关系式为 ，点 在线段 上运动时 与 的关系式为
．
题型08 从函数的图象获取信息
【典例8】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图
书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，
玲玲刚好到达图书馆．图中折线 和线段 分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的
时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟．
(2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值．
【答案】(1)0.125；0.5
(2)
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系：
（1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可；
（2）根据题意，列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：由图象可知：玲玲的速度为： 千米/分钟，
小华返回学校的速度为： 千米/分钟．
故答案为：0.125；0.5；
（2）由题意，得： ，
解得： ．
【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车
上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后
继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)图中自变量是__________，因变量是__________；
(2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟；
(3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度．
【答案】(1)离开家的时间，离家的距离
(2)900；4
(3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分
【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别
作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
（1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离
家的距离；
（2）根据函数图象进行回答即可；
（3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可．
【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时
间，因变量是离家的距离，
故答案为：离开家的时间，离家的距离；
（2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米，
李老师在小明家停留了 （分钟），
故答案为：900；4；
（3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为 （米/分）．
【变式2】（24-25八年级上·山东济南·开学考试）甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程 与乙行驶的时间 的关系如图①所示，其中 表示甲运动的
图象，甲、乙两人之间的路程差 与乙行驶的时间 的关系如图②所示，请你解决以下问题：
(1)图②中的自变量是______，因变量是______；
(2)甲的速度是______ ，乙的速度是______ ；
(3)结合题意和图①，可知图②中： ______， ______；
(4)求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为 ？
【答案】(1)乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差
(2)25，10
(3)1.5，10
(4) 或
【知识点】从函数的图象获取信息、有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；
（3）根据题意和图象中的数据，可以分别得到 、 的值；
（4）由图象可知甲乙相距 有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题．
【详解】（1）解：图②中的自变量是乙行驶的时间，因变量是甲、乙两人之间的路程差；
故答案为：乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差；
（2）解：由图可得，
甲的速度为： ，
乙的速度为： ，
故答案为：25，10；
（3）解：由图可得，
，
，
故答案为：1.5，10；（4）解：由题意可得，
前 ，乙行驶的路程为： ，
则甲、乙两人路程差为 是在甲乙相遇之后，
设乙出发 时，甲、乙两人路程差为 ，
，
解得， ，
，得 ；
即乙出发 或 时，甲、乙两人路程差为 ．
【变式3】（23-24六年级下·山东东营·期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出
发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s( )与甲行驶的时间为t（ ）之间的关系
如图所示．
(1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点．
(2)求甲、乙各自的速度；
(3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离；
(4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米．
【答案】(1)
(2)甲的速度是40千米/时，乙的速度是80千米/时
(3)120千米
(4) 或
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键．
（1）根据函数图象，两个相距为0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，
最后达到最大停止即可得到答案；
（2）由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时，即可求出甲的速度．根据当 时，
两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度；（3）当乙到达终点A地时，求出甲离开出发地A地的路程，即为甲乙两人的距离；
（4）分为相遇前和相遇后两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
在点M时， ，此时两人相遇，
点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，
点P表示两人距离为 ，此时甲到达终点；
故答案为：N；
（2）解：由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时，
∴甲的速度为 （千米/时）
∵当 时，两人相遇，
∴两人的速度之和为 （千米/时）
∴乙的速度为 （千米/时）
（3）解：当乙到达终点A地时，甲离开出发地A地有 （千米），
∴当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米；
（4）解：相遇前，甲乙两人相距180千米，则
（小时），
相遇后，甲乙两人相距180千米，则
∵当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米，之后两人距离逐渐增大，
∴ （小时），
综上所述，甲出发 小时或 小时时，甲、乙两人相距180千米．
一、单选题
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）变量y与x之间的关系式为 ，当自变量 时，因变量y
的值是（ ）
A． B． C．1 D．5【答案】D
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．将自变量 代入该函数解析
式进行计算求解．
【详解】解：当自变量 时，
因变量 ，
故选：D．
2．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元
购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查函数的常量与变量、列函数关系式，根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即
可求解．
【详解】解：函数关系式为 ，在这个问题中，变量是 ， ．
故选：B．
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查了函数函数的概念，熟悉掌握函数的概念是解题的关键．
根据函数的概念逐一判断图象即可．
【详解】解：根据函数的定义：当 每取一个值时， 都有一个值和 一一对应．∵ 这三个图象当 每取一个值时， 都有一个值和 一
一对应，
∴这三个图象能表示为 是 的函数；
∵ 此图象当 时， 的取值会有两个 与其对应，
∴此图不能表示为 是 的函数；
故选：D．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1，在长方形 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位
长度的速度，沿 运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为 ， 的面积为y．如果y关
于x的变化情况如图2所示，则 的面积是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据三角形面积计算公式可知当点P 运动到点C，D之间
时， ，此时面积不变，结合函数图象可知，当 时，面积开始不变，当 ，面积继
续变化，则 ，0到4秒后点P从点B运动到点C，可得 ，再根据三角形面积计算
公式求解即可．
【详解】解：动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，
，此时面积不变，
由函数图象可知，当 时，面积开始不变，当 ，面积继续变化，
∴ ，0到4秒后点P从点B运动到点C，
∴ ，
∴ ，故选：C．
5．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀
速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直
至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离 （千米）与货车行驶时间 （小时）之
间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地
之间的距离为120千米；③图中点 的坐标为 ；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其
中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．根据函数图象得到3小时行驶120千
米，即可判断①②，根据快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用 分钟，得到点 的横坐标，进而求
得纵坐标，判断③，设快递车从乙地返回时的速度为 千米 时 则返回时与货车共同行驶的时间为
小时此时两车还相距 千米，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：①设快递车从甲地到乙地的速度为 千米 时，由图像可得
，
，
故①正确；
②因为 千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，
故②错误；
③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用 分钟，
所以图中点 的横坐标为 ，
纵坐标为 ，
故③正确；
④设快递车从乙地返回时的速度为 千米 时 则返回时与货车共同行驶的时间为 小时，此时两
车还相距 千米，由题意，得 ，
，
故④正确．
其中正确的是：①③④．
故选C．
二、填空题
6．（23-24七年级下·四川成都·期末）长方形的周长为8，其中一边为x，面积为y，则y与x的关系式为
．
【答案】 /
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查列函数表达式，根据长方形的面积等于两条邻边的乘积，列出关系式即可．
【详解】解：由题意，得：长方形的另一条边长为： ，
∴ ；
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列 与 的关系中， 不是 的函数关系的是 ．（填序
号）
； ； ； ； ； ．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
【答案】
【知识点】函数的概念
②③
【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一
确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯
一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，
而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数，
故答案为：②③．
8．（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池，现需注满水，水池深 ．现以不变的流量注水，水的
深度与对应的注水时间如下表：
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 0.5 1 1.5 2
（1）自变量是 ，因变量是 ；
（2）能推出注满水的时间是 ．
【答案】 注水时间 水的深度【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系
【分析】（1）根据自变量与因变量的定义判断即可；
（2）根据水的深度 每小时注水深度 注水时间，写出 关于 的函数关系式，求出当 时对应的 的值
即可．
本题考查函数的表示方法及常量与变量，掌握常量与变量、自变量与因变量的定义是本题的关键．
【详解】解：（1）依题意，自变量是注水时间，因变量是水的深度．
故答案为：注水时间，水的深度；
（2）根据表格数据，得 ，
得 ，
当 时，得 ，
解得 ，
注满水的时间是 ．
故答案为： ．
9．（23-24七年级下·福建三明·期中）宁化儿童公园的摩天轮可抽象成图中的一个圆，圆上一点离地面的
高度 与旋转时间 之间的关系如图所示．根据图中的信息，摩天轮的直径为 ．
．
【答案】
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】根据最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的直径．本题考查了动点问题的函数图
象问题，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实
际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
【详解】解：依题意，由图得出摩天轮的最高点为 ，最低点为 ，
∴ ，
摩天轮的直径为 ．
故答案为： ．
10．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）如图①，在 中， ，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线 运动到点B停止． 的长y随点P的运动时间x（s）变化的函数图象
如图②所示，则AB的长是 ．
【答案】13
【知识点】从函数的图象获取信息、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知， ，点 运动的总时间为 ，进而求出
的长，再由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：由图可知： ，点 运动的总时间为 ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ；
∴故答案为：13．
三、解答题
11．（23-24八年级下·广西桂林·阶段练习）一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油
0.6升，如果设剩油量为 （升），行驶路程为 （千米）
(1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；
(2)用含 的代数式表示 ；（写出自变量的取值范围）
(3)当 时， 是多少？当 时， 是多少？
【答案】(1)行驶路程，剩油量
(2)
(3)42，40
【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识．
（1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案；
（2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式；
（3）分别令 ，及 代入即可得出答案．
【详解】（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量，
故答案为：行驶路程，剩油量；（2）根据每行1千米，耗油0.6升及总油量为48升可得： ，
由题意可得 ，
∴ ，解得
故答案为： ；
（3）当 时， ；
当 时， ，解得 ；
故答案为：42，40．
12．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，圆柱的高是 ，底面半径是 ，体积是 ，当r由小
到大变化时，V也随之发生了变化．
(1)在这个变化中，自变量是_______，因变量是_______．
(2)体积V与底面半径r的关系式为_______．
(3)当底面半径由 变化到 时，圆柱的体积增加了多少立方厘米？
【答案】(1)底面半径（或r），体积（或V）
(2)
(3)
【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查变量之间的关系，理解自变量与因变量的定义是解题关键．
（1）根据常量和变量的定义来判断自变量、因变量和常量；
（2）圆柱体的体积等于底面积乘以高，底面积等于 乘以半径的平方，将它用含有V和r的关系式表达出
来即可；
（3）利用圆柱的体积计算方法计算增加的体积即可．
【详解】（1）解：根据函数的定义可知，对于底面半径的每个值，体积按照一定的法则有一个确定的值
与之对应，所以自变量是：半径，因变量是：体积．
（2）解：根据圆柱体的体积计算公式： ．
（3）解：体积增加了 ．
13．（23-24七年级下·福建三明·期中）温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据下图，讨论某地某天
温度变化的情况：(1)上午 时的温度是____度； 时的温度是____度；
(2)这一天最高温度是____度，是在____时达到的；
(3)这一天最低温度是___ ，从最低温度到最高温度经过了____小时；
(4)图中 点表示的是________， 点表示的是__________．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 时的温度是 ； 时的温度是
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据图象即可得出答案；
（2）根据图象即可得出答案；
（3）根据图象即可得出答案；
（4）根据图象即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可得：上午 时的温度是 度； 时的温度是 度；
（2）解：由图象可得：这一天最高温度是 度，是在 时达到的；
（3）解：由图象可得：这一天最低温度是 ，从最低温度到最高温度经过了 小时；
（4）解：由图象可得：图中 点表示的是 时的温度是 ， 点表示的是 时的温度是 ．
14．（23-24八年级下·全国·期中）一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4 内只进水不出
水，在随后的14 内既进水又出水，在第18 后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，
容器内的水量）（单位： ）与时间x（单位： ）之间的关系如图所示．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)每分钟的进水量为_____ ，每分钟的出水量为_____ ；
(2)求m的值；
(3)若在某一时间x（ ） 时，容器内水量恰好为30 ，直接写出此时x的值为_____．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查通过图象求信息．
（1）通过图象先求出每分钟进水量，再求出每分钟出水量即可；
（2）通过图象先求出第 时容器内的水量，继而求出m的值；
（3）先用第 时容器内的水量减去某一时间x时容器内水量恰好为30 ，结果除以每分钟出水量，后
加上 即可得到x的值．
【详解】（1）解：由图可知，
∵从某时刻开始的4 内只进水不出水，
∴每分钟进水量为： ，
∵在随后的14 内既进水又出水，
∴每分钟出水量为： ，
故答案为： ；
（2）解：由图可得，
∵第 时容器内的水量有： ，
∴ ，
∴m的值为 ；
（3）解：∵在第18 后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，
∵第 时容器内的水量有： ，
∴由题意得： ，
故答案为： ．
15．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的
一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野 （度）随车速 （千米/时）变化而变化的情况．
速度v(千米/时) 50 100 b 400
视野f(度) a 40 20 10
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____；
(2)结合图象，表格中 _____， _____；
(3)若高铁司机视野不小于 度，则高铁行驶的速度最快是______；
(4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量．
【答案】(1)高铁的速度，司机的视野
(2) ，
(3) 千米/时
(4)某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由函数图象即可得出答案；
（2）由表格可得 ，计算即可得出答案；
（3）由函数图象即可得出答案；
（4）写出生活中的例子即可．
【详解】（1）解：由图象可得：在这个变化过程中，自变量是高铁的速度，因变量是司机的视野；
（2）解：由表格可得： ，
∴ ， ；
（3）解：由函数图象可得，若高铁司机视野不小于 度，则高铁行驶的速度最快是 千米/时；
（4）解：某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可）
16．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小
凡从路边超市买了一些学习用品，如图反映了他们两人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系，请根据图象提供的信息回答问题：
(1) 和 中，_______描述小凡的运动过程；
(2)________谁先出发，先出发了_______分钟；
(3)_______先到达图书馆，先到了______分钟；
(4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/时？（不包括中间停留的时间）
【答案】(1)
(2)小凡，10
(3)小光，10
(4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度分别为10千米/时、7.5千米/时
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（3）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（4）根据函数图象中的数据结合平均速度等于路程除以运动时间求得小乐从学校到图书馆的平均速度；
【详解】（1）解：由题意知，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，即此时时间变化但路程不变，
∴ 描述小凡的运动过程；
故答案为
（2）由图可得， 和 中， 描述小凡的运动过程， 描述小光的运动过程，小凡先出发，先出发了10分
钟，
故答案为：小凡，10；
（3）由图可得，小光先到达终点，先到了 分钟，
故答案为：小光，10；
（4）小凡从学校到图书馆的平均速度为 千米/时，
小光从学校到图书馆的平均速度为 千米/时17．（2023·广西桂林·模拟预测）如图①，四边形 中， ， ．
(1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线 运动到点D停止．设运动时间为a，
的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求 的长．
(2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线 运动到点C停止．同时，动点Q
从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线 运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到
边上时，连接 ，当 的面积为8时，求t的值．
【答案】(1)
(2) 或 或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题的函数图象
【分析】本题是四边形综合题，考查的是四边形动点问题与函数结合，熟悉掌握四边形动点问题的解决办
法和函数图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键．
（1）由函数图象可知，点 从 出发，从点 到 耗时16秒，即 ，再由 ，
即可求解；
（2）由题意得，当 运动到 停止的时间为 ，而点 运动到 的时间为6，故只能有点 、 都在
边上，此时有以 为底边， 为高的三角形 ，再分按点 在 上方、点 在点 下方两种情况，分
别求解即可．
【详解】（1）由函数图象可知，点M从A出发，从点C到D耗时16秒，即 ，
此时 ，即 ，解得： ，
∴ ；
（2）由题意得，当 运动到 停止的时间为 ，而点 运动到 的时间为 ，
当点 、 都在 边上，此时有以 为底边， 为高的三角形 ，
设运动的时间为 ，则 ， ，而 ，
当点 在 上方时，则 ，的面积 ，解得： （满足条件）；
当点 在点 下方时， ，
的面积 ，解得： （满足条件）；
当点 在 上时，点 运动到 时， ，解得 ，
综上， 或 或 ．
18．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1， 两地之间有一条笔直的道路， 地位于 两地
之间，甲从 地出发驾车驶往 地，乙从 地出发驾车驶向 地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘
客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达 地．图2中线段 和折线段 分别表示甲、
乙两人与 地的距离 与甲行驶的时间 的变化关系，其中 与 交于点 ．
(1)在图2中表示的变量是______，因变量是______；
(2)乙比甲晚出发______ ， 两地相距______ ；
(3)请直接写出甲的速度为______；
(4) ______， ______；
(5)在图2中点 表示的含义是______；
(6)请直接写出当 ______ 时，甲、乙相距 ．
【答案】(1)甲行驶的时间；甲、乙两人与 地的距离
(2)
(3)
(4)
(5)乙出发 后(或甲出发 后)两人相遇，相遇地点距 地
(6) 或 或14
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查了函数的图象，从图象上获取信息，求出甲乙两人的速度是正确解答的关键．（1）根据函数的定义解答即可；
（2）由图象可得乙比甲晚出发 两地相距 (千米)；
（3）根据点 的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度；
（4）根据两车的速度可得答案；
（5）根据点 的坐标解答即可；
（6）分两种情况，① 时，② 时，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与 地的距离；
故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与 地的距离；
（2）解：由图象可知，乙比甲晚出发的是 两地相距 (千米)；
故答案为： ；
（3）解：甲的驾车速度为： ；
故答案为： ；
（4）解：由题意可得， ，
乙的驾车速度为： ，
所以 ，
故答案为： ；
（5）解：在图2中点 表示的含义是乙出发 后(或甲出发 后)两人相遇，相遇地点距 地 ；
故答案为：乙出发 后(或甲出发 后)两人相遇，相遇地点距 地 ；
（6）解：分两种情况，① 时，
，
解得： ，
② 时，
乙的速度为 ，
∴ ，
∴ ，
综上，当 或6.5或14时，甲，乙相距 ．
故答案为： 或 或14．
