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第 04 讲 解题技巧专题：求一次函数的表达式
(5 类热点题型讲练)
目录
【题型一 已知一点求正比例函数的表达式】........................................................................................................1
【题型二 已知一点求一次函数中K值或b值】....................................................................................................4
【题型三 已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】..........................................................................7
【题型四 两直线平移，求直线的表达式】..........................................................................................................11
【题型五 已知两点求一次函数的表达式】..........................................................................................................15
【题型一 已知一点求正比例函数的表达式】
例题：（23-24八年级下·广西防城港·期末）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 之间的函数解析式；
(2)当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设出函数表达式是解题
的关键．
（1）根据正比例的定义设 ，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；
（2）求得 和 时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围．
【详解】（1）解：设该正比例函数的解析式为 ，
把 ， 代入 ，得 ，
∴y与x之间的函数解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
，
∴y 随x的增大而减小，∴当 时， ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）已知正比例函数图象经过点 ．
(1)求此正比例函数的解析式；
(2)点 是否在此函数图象上？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点 不在此函数图象上，理由见解析
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题主要考查了求正比例函数图象的性质，求正比例函数值：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设此正比例函数的解析式为 ，
把 代入 中得： ，
∴此正比例函数的解析式为 ；
（2）解：点 不在此函数图象上，理由如下：
在 中，当 时， ，
∴点 不在此函数图象上．
2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知正比例函数 的图象经过点 ，求：
(1)该函数的表达式；
(2)若点 在此函数图象上，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握以上知
识点是解此题的关键．
（1）将 代入 求出 的值即可得出函数的表达式；
（2）将 代入 得： ，求出 的值即可．
【详解】（1）解：将 代入 得： ，
解得： ，
该函数的表达式为： ；（2）解：将 代入 得： ，
解得： ．
3．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知 与 成正比例关系，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数解析式．
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值．
【答案】(1)
(2)10
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象
【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式，
（1）设关系式为 ，再将数值代入求值即可；
（2）将点 代入关系式，求出解即可．
【详解】（1）解：根据题意，设 ．
当 时， ，
，
解得 ，
与 之间的函数解析式为 ．
（2）把 代入 ，得 ，
解得 ，
的值为10．
4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数 ，且当 时， ．
(1)写出 与 之间的函数解析式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值；
(3)画出这个正比例函数的图像．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查正比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握例函数的图像与性质．（1）将 ， ，代入 中，求出 值，即可求解；
（2）将点 代入正比例函数的解析式中，即可求解；
（3）根据题意可得该正比例函数过点 ，(2,1)， ，在坐标系中描点，连线即可．
【详解】（1）解： 正比例函数 中，当 时， ，
，
解得： ，
与 之间的函数解析式为： ；
（2） 点 在函数 的图象上，
，
解得： ；
（3）根据题意可得点 ，(2,1)， 在正比例函数 的图像上，
正比例 的函数图像如下：
【题型二 已知一点求一次函数中K值或b值】
例题：（2024上·安徽六安·八年级统考期末）已知直线 经过点 ．
(1)求a的值；
(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数解析式和一次函数平移，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式；
（1）把 代入即可求出a的值；（2）根据正比例函数图象经过原点，确定k的值即可．
【详解】（1）解：把 代入 ,
可得 ，
解得 ；
（2）解：因为正比例函数图象经过原点，
所以，将该直线向下平移3个单位长度使其成为正比例函数，
所以， ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数 的图象经过点 ．
(1)求此一次函数的表达式．
(2)判断点 是否在该函数图象上，并说明理由．
【答案】(1)一次函数表达式为 ；
(2)点 在该函数图象上，理由见解析．
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）把 代入（ ）得到的函数表达式中，求出 的值，与点的纵坐标 比较即可判断；
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：把点 代入 得： ，
解得 ，
故所求一次函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
故点 在该函数图象上．
2．（23·24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知一次函数 ，当 时， ．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1) ；
(2)16．
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将 时， 代入 得： ，
解得∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
．
3．（2023上·浙江杭州·八年级杭州育才中学校考阶段练习）已知一次函数 ，其中 ．
(1)若点 在y的图象上，求k的值．
(2)当 时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质；
（1）将点 代入关系式，求出 ，即可求解；
（2）①当 时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；②当
时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；
掌握一次函数的性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键．
【详解】（1）解： 点 在 的图象上，
，
解得： ；
故答案为： ；
（2）解：①当 时，即： ，
当 时，函数的最大值为9，
当 时， ，
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；
②当 时，即： ，
当 时，函数的最大值为9，
当 时， ，
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；综上所述：一次函数解析式为 或 ；
4．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知一次函数 ，当 时， ．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点 在该函数的图象上，求a的值；
(3)将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移．解题的关键是待定系数法求
函数解析式．
（1）根据待定系数法解出解析式即可；
（2）把 ， 代入解析式解答即可；
（3）根据一次函数的几何变换得出解析式，再求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 中，
可得： ，
解得： ，
所以一次函数的解析式为： ；
（2）解：把 ， 代入 中，
可得： ，
解得： ；
（3）解：一次函数 的图象向上平移7个单位后的解析式为： ，
把 ，代入 ，得
把 代入 ，得 ，
∴图象与坐标轴的交点坐标为 ，
【题型三 已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】
例题：（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知y与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当 时，求x的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了正比例函数的定义，求自变量的值；掌握正比例函数定义是关键．
（1）由题意设 ，把x与y的值代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）把 代入所求函数式中，即可求得自变量的值．
【详解】（1）解：∵y与 成正比例，
∴设 ，
当 时， ，则 ，
即 ，
∴ ，
即 ；
（2）解：当 时，即 ，
解得： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 的函数表达式；
(2)试判断点 是否在（1）中的函数图像上，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不在，理由见解析
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数的图像上点的坐标特征，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设 ，再由当 时， ，求出 的值即可得解；
（2）当 时，求出 的值，与 进行比较即可．
【详解】（1）解： 与 成正比例，
设 ，
当 时， ，
，
解得： ，，即 ，
与 的函数表达式为 ；
（2）点 不在（1）中的函数图像上，理由如下：
在 中，当 时， ，
点 不在（1）中的函数图像上．
2．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）已知 和 成正比例，当 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若点 是该函数图象上的一点，求a的值．
【答案】(1)
(2)8
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌
握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中所求表达式，将 代入解方程即可得到答案．
【详解】（1）解： 和 成正比例，
设 ，
代入 得 ，解得 ，
；
（2）解：由（1）知 ，
点 是该函数图象上的一点，
把点 代入 ，得 ，解得 ．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 的函数表达式；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，也考查了一次函数的性质．
（1）利用正比例的意义设 ，再把已知对应值代入求出k，从而得到y与x的函数表达式；
（2）直接把 代入（1）的解析式，计算即可作答．
【详解】（1）解：∵ 与 成正比例，
∴设 ，
把 代入得
解得 ，
所以 ，整理得
所以y与x的函数表达式为 ；
（2）解：依题意，把 代入 ，得
解得 ．
4．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)当 时，求y的值；
(3)若点 ， 都在该函数的图象上，且 ，试判断 ， 的大小关系．
【答案】(1)
(2)12
(3)
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】本题考查正比例函数的图象和性质：
（1）设 ，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将 代入（1）中解析式进行求解即可；
（3）根据正比例函数的性质，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，设： ，
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴当 时， ；（3）∵ ， ，
∴ 随 的增大而增大，
∵点 ， 都在该函数的图象上，且 ，
∴ ．
6．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知 与 成正比例函数关系，且当 时， ．
(1)写出 与 之间的函数解析式；
(2)若 的取值范围为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了正比例函数解析式以及图像，求解一元一次不等式的解集，根据正比例函数的定义求
出正比例函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据正比例关系设 ，再根据 ， 求出 的值即可；
（2）分别令 ， ，求出 值即可得到范围．
【详解】（1）解：设 ，
将 ， 代入，得： ，
解得 ，
∴ ，即 ．
（2）解：当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
∴ ．
【题型四 两直线平移，求直线的表达式】
例题：（23-24八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象由函数
的图象向下平移1个单位得到．
(1)求这个一次函数的表达式；(2)直线 上存在 两点，求 的面积；
【答案】(1)
(2)
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题
【分析】（1）根据“左加右减，上加下减”下减原则即可得答案．
（2）根据 是直线 上两点，确定两点的坐标，后计算 的面积．
本题考查了一次函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握平移规律是解题的关
键．
【详解】（1）解：一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位得到，
∴ ， ，
∴一次函数的表达式 ．
（2）∵ 是直线 上两点，
∴ ， ，
解得： ，
∴ ，
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数 的图象与直线 平行，且经过点 ，
求一次函数解析式．
【答案】【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式．根据互相平行的两直线解析式的k值相等，
得到一次函数的解析式为 ，再把点 代入解析式求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象与直线 平行，
∴ ，
∴一次函数为 ，
∵一次函数过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为： ．
2．（22-23八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）将直线 向下平移2个单位长度后得到直线 ．
(1)写出直线 的函数解析式；
(2)判断点 是否在直线 上．
【答案】(1) ；
(2)不在，理由见解析．
【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题
【分析】（1）根据上加下减的规律求解即可；
（2）把 代入 求出函数值即可判断．
【详解】（1）直线 向下平移 2 个单位长度得到的直线的函数解析式为 ；
（2）当 时， ，
∴点 不在直线 上．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律是解答本
题的关键．
3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点 在直线 上，分别
过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C．
(1) ， ；
(2)求过点C且平行于 的直线 的解析式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，求出 ， 的值是解题的
关键．（1）把点 分别代入函数解析式即可得到答案；
（2）写出点A和点B的坐标，根据题意求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式即可．
【详解】（1）∵点 在直线 上，
∴ ， ，
解得 ， ，
故答案为： ， ，
（2）由（1）可得，点 ，
分别过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C．
∴点C的坐标是 ，
∵直线 平行于 ，
∴可设直线 的解析式为 ，
把点 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
4．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据下列条件，分别确定一次函数的解析式：
(1)图象过 ， ；
(2)直线 与直线 平行，且过点 ；
(3)在坐标系中画出以上两函数图象，与x轴交点分别为A、B，两直线的交点C，求 的面积
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的 值相等
求解是解题的关键．
（1）设直线解析式为 ，把点 、 的坐标代入解析式得到关于 、 的二元一次方程组，求解得
到 、 的值，即可得解；
（2）根据平行直线的解析式的 值相等求出 ，然后把经过的点代入求出 的值，即可得解；
（3）根据题意画出图象，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设直线解析式为 ，图象过 ， ，
，
解得 ，
故一次函数解析式为 ；
（2）解： 直线 与直线 平行，
，
直线过点 ，
，
解得 ，
故直线解析式为 ；
（3）解：令 ，则 ， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
画出图象如图，
∴ ．【题型五 已知两点求一次函数的表达式】
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数图像经过点 、 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形面积．
【答案】(1)
(2)8
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】此题考查了一次函数的解析式和一次函数图像与坐标轴的交点问题．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出一次函数图像与x轴的交点，得到三角形两直角边的长，即可求出答案．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ，
∵一次函数图像经过点 、 ，
∴ ，
解得： ，
所以，这个一次函数的解析式为 ，
（2）设一次函数图像与x轴交于点C，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）在直角坐标系内，一次函数 的图象经过三点
．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求m的值．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查了求一次函数及求自变量的值，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把 代入一次函数即可得解．
【详解】（1）解：把 代入 中得：
，解得： ，
∴这个一次函数解析式为： ；
（2）解：把 代入： 中得：
，
∴ ；
2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知一次函数 ，它的图象经过 ， 两点．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)当 时，求函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法
求函数表达式的方法．
（1）把点 ， 的坐标分别代入 ，得到二元一次方程组，然后求得k、b的值，即可得到
答案；
（2）根据 ，y随x的增大而增大，即可得出对应自变量取值范围函数值y的取值范围．
【详解】（1）解：把点 ， 的坐标分别代入 ，
得： ，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为： ．
（2）当 时， ；当 时， ，
∵ ，y随x的增大而增大，
∴当 时， ．
3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知y是x的一次函数，且当 时， ；当 时， ．求：
(1)这个一次函数的表达式．
(2)当 时，函数y的值．
(3)当 时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质．
（1）设 ，利用待定系数法求解即可；
（2）将 代入一次函数解析式，即可求解；
（3）根据 的值，可知 随 的增大而减小，分别求出 和 对应的 的取值，即可求解．
【详解】（1）解：设 ，
∵当 时， ；当 时， ，
∴ ，
解得 ，
函数解析式为 ；
（2）解：将 代入 得， ；
（3）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
把 代入得， ，
解得： ，
∴当 时， ，
∴当 时，自变量x的取值范围为 ．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系内有三点 、 、 ．
(1)求图象经过点 的正比例函数解析式；
(2)求经过点 ， 的直线的函数解析式；
(3)判断点 是否在直线 上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不在；理由见解析【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，是
基础知识，难度适中．
（1）设图象经过点 的正比例函数解析式为 ，将点 代入 ，利用待定系数法即可求出
该正比例函数的解析式；
（2）设 两点所在直线的函数解析式为 ，利用待定系数法即可求出函数
的解析式；
（3）当 时， ，即可判断．
【详解】（1）设图象经过点 的正比例函数解析式为 ，
，
图象经过点 的正比例函数的解析式为 ；
（2）设 两点所在直线的函数解析式为 ，
解得
经过点 的直线的函数解析式为 ；
（3）不在，理由如下：当 时， ，
点 不在直线 上．
5．（23·24八年级上·江西吉安·期末）一次函数 的图象与x、y轴分别交于点 ， ．
(1)求该函数的解析式，并说明点 是否在函数图象上；
(2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求 的最小值．并求取得最
小值时P点的坐标．
【答案】(1) ，在(2)存在，最小值为 ，
【分析】（1）用待定系数法求解即可；把横坐标的值代入函数解析式中，求出函数值，是否等于点的纵
坐标，即可判断；
（2）取点C关于x轴的对称点 ，连接 ，则 的最小值为 长度；求出直线 的解
析式，即可求得它与x轴的交点，此点即为点P的坐标；由勾股定理可求得 的长度，从而求得
的最小值．
【详解】（1）解：∵ 过 ，
∴将点A，B的坐标代入 得 ，解得： ，
∴解析式为： ；
当 时， ，所以点在函数图象上
（2）解：存在一点P，使 最小；
∵ ， ，且C为BO的中点，
∴点C的坐标为 ，
如图，作C关于x轴对称点 ，则 ，连接 ，
则 ，
即当 三点共线时， 取得最小值，且最小值为 长度；
又∵ ， 且D为AB的中点，
∴点D的坐标为
连接 ，设 的解析式为 ，
把点 代入 得 ，
把点 代入 ，得 ，
∴ 是 的解析式，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 的最小值 ，
∴由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，最短距离，对称性，勾股定理，直线与坐标轴的交点等知
识，正确求出函数解析式是关键．
6．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）已知函数 的图象与经过点 ，点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)求 的面积；
(3)若在直线 上存在点C，使 ，求出点C的坐标．
【答案】(1)
(2)3
(3) 或
【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，坐标与图形，解题的关键是熟
练掌握并运用相关知识．
（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）设直线 与 轴交点为 ，求出点 坐标，根据 求解即可；
（3）根据题意可知 是线段 的中点，或A是线段 的三等分点，且C点在A点的左侧，结合点A、B
的坐标求解即可．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象经过点 ，点 ，
，解得： ．
这个一次函数的解析式为： ．
（2）解：设直线 与 轴交点为 ，令 ，则 ，点 坐标为(0,2)
，
（3）解：如图，
在直线 上，且 ，
① 是线段 的中点，
， ．
的坐标为 ，
；
②A是线段 的三等分点，且C点在A点的左侧，
的坐标为 ，
，
综上所述， 或 ．
7．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知直线 经过点 ，交x轴于点 ，直线 交直线 于点B．
(1)求直线 的解析式和点B的坐标．
(2)求 的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得 是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 ．
【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解
题的关键．
（1）利用待定系数求出直线 的函数表达式，再联立直线 ， 的函数表达式，可得点 的坐标；
（2）根据 ， ，即可求解；
（3）根据题意可得当 是直角三角形时，需分 和 两种情况，即可求解．
【详解】（1）设直线 的函数表达式为 ．
图象经过点 ， ，
，
解得 ，
直线 的函数表达式为 ．联立 ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
（2） ， ，
；
（3） 点 在 轴上，
，
当 是直角三角形时，需分 和 两种情况．
①当 时，点 在图中 的位置：
点 和点 均在 轴上，
轴．
，
；
②当 时，点 在图中 的位置：
设 ，
， ， ，
， ， ， ，
．
在 中， ，
在 中， ，
，
即 ，解得 ，
．
综上可知，在 轴上存在点 ，使得 是直角三角形，点 的坐标为 或 ．
