文档内容
单元提升卷 05 三角函数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知α是第四象限角，sinα＝－ ，则cosα等于（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】B
【分析】根据平方公式求解即可.
【详解】因为α是第四象限角，sinα＝－ ，所以cos α＝ ＝ .
故选：B.
2．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据向量平行求得 ，再根据二倍角公式求 .
【详解】由 ，可得 ，即
，解得： 或 （舍），
.
故选：C
3．要得到函数 的图像，只需把函数 的图像（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1【分析】根据题意，由辅助角公式可得 ，然后结合三角函数的平移变换，即可得到结
果.
【详解】因为 ，
即只需要把函数 的图像向右平移 个单位长度即可.
故选：D
4．计算 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 看成 ，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案.
【详解】
.
故选：D．
5．函数 其中 ， ， ，它的图象如图所示，则它是由 怎样变换得
到的（ ）
A．横坐标先向左平移 单位，再缩小为原来的 ，然后纵坐标拉伸为原来的2倍
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2B．横坐标先缩小为原来的 ，再向左平移 单位，然后纵坐标拉伸为原来的2倍
C．横坐标先向右平移 单位，再缩小为原来的 ，然后纵坐标拉伸为原来的2倍
D．横坐标先缩小为原来的 ，再向左平移 单位，然后纵坐标拉伸为原来的2倍
【答案】D
【分析】根据图象解出三角函数解析式，再根据平移的原则一一判断即可.
【详解】因为 ， ， ，
由图可得 ， ， ， ，
由五点法作图可知： ， ， ，
对A， 的横坐标向左移动 单位得 ，
然后纵坐标伸为原来的2倍，得 ，所以A错误；
对B， 的横坐标缩小为原来的 ，得 ，
再向左平移 单位得 ，
纵坐标拉伸为原来的2倍得 ，故B错误；
对C， 横坐标先向右平移 单位得 ，
再缩小为原来的 得 ，纵坐标拉伸为原来的2倍得 ，所以C错误；
对D， 横坐标先缩小为原来的 得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3再向左平移 单位得 ，
纵坐标拉伸为原来的2倍得 ，故D正确.
故选：D.
6．已知函数 ，则下面结论中不正确的是（ ）
A． 最小正周期为 B．函数 关于 对称
C．函数 在区间 有最大值为 D．函数 在区间 单调递增
【答案】D
【分析】利用二倍角公式、两角差的余弦、正弦公式化简函数，然后结合正弦函数的性质判断各选项．
【详解】
，
因此其最小正周期是 ，A正确；
时， ， 是其图象的一条对称轴，B正确；
时， ， ，
在 上递减且 ，在 上递增，
所以 时， 取得最小值 ， 时， 取得最大值 ，C正确，D错误，
故选：D．
7．已知函数 ，若方程 在 上恰有5个不同实根，则m的
取值范围是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出方程 的根，然后根据方程 在 上恰有5个不同实根列出不等关系，进
而求解.
【详解】因为函数 ，
当 时，方程 可化为 ，解得
，则当 时， ，
当 时，方程 可化为 ，解得 ，
则当 时，
因为根据方程 在 上恰有5个不同实根，
所以这5个不同实根为 ，则 ，
故选：D.
8．如图，摩天轮的半径为 m，其中心 点距离地面的高度为 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且
转一圈，若摩天轮上点 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（ ）
A．转动 后点 距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第 和第 点 距离地面的高度相同
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5D．摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于 m的时间长为
【答案】D
【分析】设转动过程中，点 离地面距离的函数为 ，由题意求得解析式，然后逐项
求解判断.
【详解】设转动过程中，点 离地面距离的函数为：
，
由题意得： ，
，则 ，
所以 ，
选项A，转到 后，点 距离地面的高度为：
，故A不正确；
选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，
故B不正确；
选项C，因为
，
，
所以 ，
即第 和第 点 距离地面的高度不相同，故C不正确；
选项D，令 ，
则 ，由 ，
解得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6所以 ，
即摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于 m的时间为 ，
故D正确；
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，值为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据二倍角的余弦公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的余弦公式
即可判断C；根据二倍角的正弦公式即可判断D.
【详解】对于A， ，故A符合题意；
对于B， ，故B符合题意；
对于C，
，故C不符合题意；
对于D， ，故D符合题意.
故选：ABD.
10．下列说法中正确的是（ ）
A．对于定义在实数 上的函数 中满足 ，则函数 是以2为周期的函数
B．函数 的单调递增区间为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7C．函数 为奇函数
D．角 的终边上一点坐标为 ，则
【答案】AB
【分析】根据周期的定义，判断A；根据正切函数的单调性，判断B；根据诱导公式化简函数，即可判断
C；根据三角函数的定义，即可判断D.
【详解】A.若对 ，满足 ，则函数 是以2为周期的函数，故A正确；
B.令 ，解得： ， ，
所以函数的单调递增区间为 ， ，故B正确；
C. 为偶函数，故C错误；
D. 角 的终边上一点坐标为 ， ，则 ，故D错误.
故选：AB
11．若函数 （ ）在 有且仅有 个零点，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 在 单调递增
C． 在 有且仅有 个解
D． 的取值范围是
【答案】AD
【分析】化简已知得到 ，所以选项D正确；令 得到 ，即可判断
选项A正确；求出 即可判断选项B错误；求出 在 有且仅有 个解.所以选
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8项C错误.
【详解】由题得 .
∵ ，
因为函数在 有且仅有 个零点，所以 ，
所以 的取值范围是 ，所以选项D正确；
对于选项A，令 .
令 ，所以 的图象关于直线 对称，所以该选项正确；
对于选项B，因为 ，
所以 在 不是单调递增，所以该选项错误；
对于选项C， ，所以当 或 时，
，所以 在 有且仅有 个解.所以该选项错误.
故选：AD
12．关于函数 ，下列说法中正确的有（ ）
A． 是偶函数 B．在区间 上为增函数
C． 的值域为 D．函数 在区间 上有六个零点
【答案】AD
【分析】化简函数的解析式得 ， ,作出图象,结合图象逐一
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9判断即可.
【详解】因为 是偶函数，
所以 ，
所以
， ，
作出函数 的图象,如图所示:
因为 ，定义域为 ，且
，所以 为偶函数,故A正确；
当 时, ， ，则函数不单调,故B错误;
由图可得函数的值域为 ,故C错误;
因为 ,
所以 在区间 上零点个数即为 在区间 上的交点个数,
由图可知 在区间 上的交点个数为6,故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是作出函数的图象，利用函数图象来判断较难的C选项，对于D选项将其
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10转化为 与直线 的交点个数问题即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若圆的半径是2cm，则 的圆心角与圆弧所围成的扇形的面积是
【答案】 /
【分析】由扇形面积公式计算.
【详解】由题意圆心角为 ，又半径为 ，
所以面积为 （ ），
故答案为： ．
14．已知 ，则
【答案】
【分析】由平方差公式及同角三角函数的平方关系可得 ，再根据 的范围求出 ，利用两角和
的余弦公式展开 并求值.
【详解】 ，
又 ，则 ，
，
.
故答案为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1115．如果锐角 满足 ，则 的值是 ．
【答案】 /
【分析】由对数的运算性质，同角三角函数的基本关系可得 ，进而可得 ，
代入所求式结合对数函数的运算性质即可得出答案.
【详解】解： 锐角 满足 ，
锐角 满足 ，
，即 ，
，
， ，
是锐角， ， ，
，
综上所述，结论是： ．
故答案为：
16．已知函数 （其中 ， ， ）的图象如图 所示，它刻画了质点 做匀速
圆周运动（如图 ）时，质点相对水平直线 的位置值 （ 是质点与直线 的距离（米），质点在直线
上方时， 为正，反之 为负）随时间 （秒）的变化过程．则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12①质点 运动的圆形轨道的半径为 米；
②质点 旋转一圈所需的时间 秒；
③函数 的解析式为： ；
④图 中，质点 首次出现在直线 上的时刻 秒．
【答案】
【分析】根据图象可以解出函数解析式，通过匀速圆周运动（即简谐运动）与函数的关系可以求出半径和
运动一周的时间，由图 质点 首次出现在直线 上的时刻就是函数在 上最左侧的零点，可以解出第
个空的答案.
【详解】
已知函数 （其中 ， ， ）的图象如图 所示，
结合解析式与图象得到 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为在 处取到最大值，所以 ，（ ），
因为 ，解得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13所以解析式为 .
因为图象刻画了质点 做匀速圆周运动（如图 ）时，质点相对水平直线 的位置值 （ 是质点与直线
的距离（米），质点在直线 上方时， 为正，反之 为负）随时间 （秒）的变化过程，
所以振幅 就是圆的半径，得到半径为 米，
质点 旋转一圈所需的时间就是一个周期，因为 ，所以周期为 ，所以 秒，
因为图 中，质点 首次出现在直线 上的时刻就是函数在 上最左侧的零点，
所以 ，解得 秒.
故答案为： ； ； ； ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知 ．
(1)写出 的最小正周期以及 的值；
(2)求 的单调递增区间．
【答案】(1)最小正周期 ，
(2)
【分析】（1）根据给定条件，结合余弦函数性质求出周期，再将 代入计算作答.
（2）根据已知条件，结合余弦函数的单调增区间求解作答．
【详解】（1）依题意， ，
所以 的最小正周期 ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14（2）由（1）知 ，
由 得： ，
所以函数 的单调递增区间是 .
18．已知 ， ．
(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的余弦公式运算求解；
（2）根据两角差的余弦公式可得 ，再结合倍角公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ．
（2）因为 ，
所以 ．
19．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)将函数 的图象先向左平移 个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到函数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15的图象，当 时，求函数 的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数式为 形式，然后结合正弦函数性质得最小
正周期；
（2）由三角函数图象变换得 的表达式，再结合正弦函数性质得值域．
【详解】（1）
，
所以函数 的最小正周期为 ；
（2）将函数 的图象先向左平移 个单位，得 ，
然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得 ，
由 ，则 ，所以 ，
所以 ．
20．已知 ， ，函数 ， ．
(1)求函数 的对称轴方程；
(2)将函数 按照 的方向平移后得到的函数是奇函数，求 最小时的 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用坐标法计算数量积，求得 得解析式后再对解析式作恒等变换；
（2）按照图像平移的规则求解.
【详解】（1） ，
；
对称轴为 ，即 ；
（2）先将 向下平移2个单位，得到 ，再将 向左平移 个单位得到奇函数
，
，欲使得 最小，则 ，即 ；
综上， 得对称轴方程为 ， .
21．如图，函数 的图象与y轴交于点 ，最小正周期是 .
(1)求函数 的解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17(2)已知点 ，点P是函数 图象上一点，点 是PA的中点，且 ，求 的值.
【答案】(1) ，对称轴方程为 ，对称中心为
(2) 或
【分析】（1）根据周期是 可得 的值，再由图象与y轴交于点 ，求得 的值，从而可得函数解析
式，根据余弦函数的性质可求得函数 图象的对称轴方程和对称中心；
（2）点 是PA的中点，点 ，利用中点坐标公式求出 的坐标，点 是该函数图象上一点，
代入函数解析式，化简,求解 的值.
（1）
由题意，得 .
由 的图象与y轴交于点 ，得 ，可得 ，
∵ ，∴ .
∴函数 .
由 ，可得对称轴方程为 ，
由 ，可得对称中心为 .
（2）
点 是PA的中点，∴点P的坐标为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18又∵点P是函数 图象上一点，∴ ，
整理可得 .
∵ ，∴ ，∴ 或 ，
解得 或
22．已知函数 的部分图象大致如图．
(1)求 的解析式，及其单调递增区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍得到函数 的图象．若关于x的方程 在 上有两个不同的实数解 和 ，求实
数m的取值范围，及 的值．
【答案】(1) ， ，
(2) ，
【分析】（1）根据题意，结合三角函数的性质，即可求出 的解析式，再令
， ，即可求出函数 的单调递增区间；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19（2）根据题意，将函数 的图象进行变换，可得 ， 再根据正弦函数的图象可得
实数m的取值范围，再根据三角函数的对称性，即可求出结果.
【详解】（1）由图象可知 ，又函数过点 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
又因为函数过点 ，所以 ， ， ，
又 ，故 ，则 ．
下面求 的单调增区间：
令 ， ，
整理得 ， ，所以 的单调增区间是 ， ．
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到曲线C：
，
再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象．
由 在 上有两个不同的实数解，
即 在 上有两个不同的实数解，
因为 ，设 ，则 ，
则需直线 与 的图象在 两个不同的公共点．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20作出函数 ， 的图像，如下图所示：
可得实数m的取值范围为 ．
设 在 上有两个不同的实数解为 和 ，
而方程 在 上有两个不同的实数解为 和 ，
则 ， ，
由三角函数的对称性可得： ，即有 ，化简得： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21
