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第 2 章第 07 讲 解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6 类热点题型
讲练)
目录
【类型一 利用二次根式的非负性求值】........................................................................................................1
【类型二 利用乘法公式进行计算】................................................................................................................4
【类型三 整体代入求值】................................................................................................................................6
【类型四 新定义型运算】................................................................................................................................9
【类型五 二次根式的分母有理化】..............................................................................................................12
【类型六 复合二次根式的化简】..................................................................................................................18
【类型一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足
，则该直角三角形的斜边长为 ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长 、 ，再根据勾股定理求解．
【详解】解： ，
， ，
该直角三角形的斜边长 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知 则 的值是 ．
【答案】9
【分析】根据根式的非负性结合非负式子和为0，它们分别等于0，即可得到答案；
【详解】解： ∵ ， ， ，
∴ ， ，解得： ， ，
∴ ．
故答案为：9．
【点睛】本题考查根式的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0，它们分别等于0．
2．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知 ，则 的算术平方根是 ．
【答案】4
【分析】由非负数的性质得出a和b的值，代入再求算术平方根即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
则 ，
∴ 的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a和b的值是解答本题的关键．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如果实数 、 满足 ，则 的平方根为 ．
【答案】 /3或 / 或3
【分析】根据算术平方根的非负性，求得 的值，进而得出 ，代入代数式，然后再求平方根即可求解．
【详解】解：∵实数 、 满足 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的平方根，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根的
定义是解题的关键．
4．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知直角三角形两边 的长满足 ，则
第三边的长 ．
【答案】 或 或
【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分三种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答
案．
【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足 ，
∴ ， ，
解得 （负值不合题意，舍去）， 或 ，当直角边长分别为2，2时，则第三边长为： ；
当直角边长分别为2，3时，则第三边长为： ；
当直角边长为2，斜边长为3，则第三边长为 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题考查勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，
那么 ．
5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知实数a，b满足关系式 ．
(1)求a，b的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】（1）由题意， ，
可得 ， ，
解得 ， ．
（2） 的算术平方根是 ．
【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，注意：几个非负数的和为0时，则每个数都是
0．
6．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为 的三边长，且b、c满足
，a为方程 的解，求 的周长，并判断 的形状．
【答案】 的周长为17， 是等腰三角形．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程 的解，即可得到 或1，
依据三角形三边关系，即可得到 ，进而得出 的周长，以及 的形状．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵a为方程 的解，
∴ 或1，当 时， ，
不能组成三角形，故 不合题意；
∴ ，
∴ 的周长 ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是
解题的关键．
【类型二 利用乘法公式进行计算】
例题：（2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】先计算平方差和完全平方差，再计算减法，化简即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解题关键是牢记公式．
【变式训练】
1．（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算： ．
【答案】2
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】原式．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，正确计算是解题的关键．
3．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】原式根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．
4．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差和完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题是对二次根式的混合运算的考查，熟练掌握二次根式的化简及运算法则是解决本题的关键．
5．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）首先计算零指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左往右依次计算，即可得到答案；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【类型三 整体代入求值】
例题：（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知 ，求 ．
【答案】
【分析】将 进行平方，再将 整体代入求值即可．
【详解】解：
将 代入得：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是整体代入法求值．
【变式训练】
1．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如果 ， ，那么 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解．【详解】解：∵ ， ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知 ，那么 的值等于 ．
【答案】
【分析】通过完全平方公式求出 ，把待求式的被开方数都用 的代数式表示，然后再进行计算．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用 的
代数式表示．3．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把 的值代入计算即可．
【详解】解： ，
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
4．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）已知： ，求 的值．
【答案】
【分析】根据 进行计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到
是解题的关键．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知 ，求下列式子的值：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件式得出 ，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；（2）将 ，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．
【类型四 新定义型运算】
例题：（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：
，则计算 的结果为 ．
【答案】 /
【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式运算，再进行二次根式的运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，理解新定义，将式子转化为二次根式的计算，并正确进行二次根式
计算是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，
，如： ，那么 ．
【答案】3
【分析】根据定义的新运输，将 ， 代入化简即可得出答案．
【详解】解： ，，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
2．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为
；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取
，第三次“F运算”的结果是11．
若 ，
（1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ；
（2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ．
【答案】 1
【分析】（1）若 ，根据题意进行计算即可得；
（2）由（1）得，若 ，第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ，再算出第
三次运算结果，第四次运算结果，第五次运算结果，第六次运算结果，根据所得规律进行计算即可得．
【详解】解：（1）若 ，第一次“F运算”的结果为： ，
第二次“F运算”的结果为： ，
故答案为： ， ；
（2）由（1）得，若 ，第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ，
第三次运算结果为： ，
第四次运算结果为： ，
第五次运算结果为： ，
第六次运算结果为： ，
∵
∴第2022次“F运算”的结果为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了数字类变化规律，解题的关键是理解题意，发现结果的变化规律．
3．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）对于任意的正实数 和 ，我们定义新运算：
，如： ，求： 的值．
【答案】
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵ ，∴根据题中的新定义得：
，
即：
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4．（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将 与 称为一对
“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
(1)已知： ，求：
① ________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程： ；
(2)代数式 中 的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算： ．
【答案】(1)①2；②
(2) ，10，2
(3)
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ；
故答案为：2② 由①得 ，已知 ，两式相加得到，
，
即 ，
则 ，解得 ，
经检验， 满足题意，
即方程 的解是 ；
（2）解：由二根式有意义的条件得到 ，
解得 ，
即 的取值范围是 ，x的最大值是10，x的最小值是2；
故答案为： ，10，2
（3）
【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
【类型五 二次根式的分母有理化】
例题：（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将 分母有理化，解：原式 ．运用以上方法解决问题：
(1)将 分母有理化；
(2)观察上面的解题过程，请直接写出结果： ______．
(3)计算 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2022
【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以 ，即可求出答案；
（2）根据平方差公式先分子和分母都乘以 ，即可求出答案；
（3）先分母有理化，最后合并即可．
【详解】（1）解：
=
= ；
（2）解：
；
故答案为： ；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解此题的关键是能正确进行分母有理化．
【变式训练】1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）像 ， ，
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互
为有理化因式．例如： 与 ， 与 ， 与 等都是互为有理化因式．进行
二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）利用有理化因式，化去分母中的根号即可；
（2）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可；
（3）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行比较即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解：∵
∴ ，
【点睛】本题考查分母有理化，掌握二次根式的运算是解题的关键．
2．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．例：化简 ．
解： ．
请回答下列问题．
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：① __________；② __________．
(2)应用：化简 ．
(3)拓展： __________．含 的式子表示， 为正整
数）
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)
【分析】（1）①分子分母都乘以 可得答案；② 分子分母都乘以 可得答案；
（2）把分母中的二次根号去掉，再合并同类二次根式即可；
（3）把分母中的二次根号去掉，再结合分配律，合并同类二次根式即可；
【详解】（1）解：① ；
② ；
（2）
；
（3）．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的运算中的规律探究，熟练的分母有理化是解本题
的关键．
3．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题：
已知 ，求 的值 他是这样解答的：
，
．
， ．
．
．
请你根据小诚的解题过程，解决如下问题：
(1) ______ ；
(2)化简 ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据小诚的解答过程计算即可．
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可的结果．
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
【详解】（1） ；
（2）原式
；
（3） ，
，
，即 ．．
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，分母有理化，平方差公式，解题的关键是根据已知进行解答．
4．（2023春·河北邢台·八年级校考期中）【阅读材料】在二次根式中，如： ，
，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利
用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数
的过程），例如： ， ．
【解决问题】
(1)化简 的结果为______；
(2)已知 ， ．
①化简 ______， ______；
②求 的值；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)① ； ；②
(3)
【分析】（1）结合题意，利用分母有理化、平方差公式计算即可；
（2）①利用分母有理化化简即可
②利用提公因式法把原式变形，代入计算即可；
（3）根据（1）的结论计算即可．
【详解】（1） ，
故答案为： ．
（2）①
；② ．
（3）原式 ．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的
关键．
【类型六 复合二次根式的化简】
例题：（2023春·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简 ；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ．
【答案】（1）④， ；（2） ；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误， ；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）；
（3）
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数
，是 且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵
∴ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据 ，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
；
（2）解：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级期中）像 ， ……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复
合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如： ；
再如： ．请用上述方法探索并解
决下列问题：
(1)请你尝试化简：
① ______；
② ______．
(2)若 ，且 ， ， 为正整数，求 的值．
【答案】(1)① ；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立 ， ， 的方程组求解．
【详解】（1）解：① ；
；
②
；
故答案为：① ；② ；
（2）解：，
，
， ， 均为正整数．
或 ，
或 ．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）像 这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二
次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ；
(3)若 ，且 为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)a的值为 或
【分析】（1）根据题目提供的方法将 ，化简为 ，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将 ，化简为 ，进而得到答案；
（3）将 化简为 ，继而得到 ， ， 再根据
为正整数，即可求出其值，代入即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
， ，
又 为正整数，
，或者 ，
当 时， ；
当 ， ，
综上所述，a的值为 或 ．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前
提．
