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第 01 讲 感受可能性、频率的稳定性
课程标准 学习目标
1．掌握必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些
①随机事件
特点对有关事件做出准确的判断；
②事件发生的可能性大小
2．理解事件发生的可能性是有大小的．(难点)
③频率的稳定性
3．理解频率和概率的意义；
知识点01 确定事件与随机事件
1、确定事件
（1）不可能事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．
（2）必然事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件
都是确定事件.
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学科网（北京）股份有限公司2.随机事件
在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.
【即学即练1】
1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的
手势，这个事件是（）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上说法均错误
2．（24-25九年级上·青海西宁·期末）下列语句所描述的事件中，必然事件是
A．经过红绿灯路口，遇到红灯 B．小明买1张彩票，中500万奖金
C．13个人中至少有2人的生日在同一个月 D．十拿九稳
3．（24-25九年级上·河南许昌·期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水中捞月 B．水落石出 C．水滴石穿 D．水到渠成
4．（24-25九年级上·北京密云·期末）下列事件中，随机事件是（ ）
A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．在标准大气压下，将水加热到 并持续加热，则水会沸腾
知识点02 初步认识概率
随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率
(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可
能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件).
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的
属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.
【即学即练2】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）从一副扑克牌中任意抽取1张，有下列事件：①这张牌是“A”；②这
张牌是“红桃”；③这张牌是“大王”；④这张牌是“黑色的”．请将这些事件发生的可能性从小到大排
列： ．（填序号）
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）事件发生的可能性越 ，它的概率越接近 ；反之，事件发生的
可能性越 ，它的概率越接近 ．
事件 不可能事件 随机事件 必然事件
概率 0 1
知识点03 用频率估计概率
通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数
增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.
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学科网（北京）股份有限公司m
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率 会在某一个常数附近摆动.
n
在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.
【即学即练3】
1．（24-25九年级上·福建宁德·期末）数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表：
累计抛掷次 1 2 3 5
100 200 500
数 000 000 000 000
盖面朝上次 1 1 3
61 123 309 617
数 238 854 090
盖面朝上频
0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618
率
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）．
2．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实
验活动．如图，在边长为 的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，
发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为
．
题型01 必然事件
例题：（24-25九年级上·天津滨海新·期末）下列描述的事件为必然事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．小明一次掷出 颗质地均匀的骰子， 颗全是 点朝上
C．如果 ， 都是实数，那么
D．从标号分别为 ， ， ， 的 张卡片中，随机抽出 张卡片标号为
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．经过长期努力学习，你会成为科学家
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学科网（北京）股份有限公司B．从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光
C．打开电视机，正在直播
D．在地球上抛出的篮球会下落
2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意五边形的外角和为
B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
C．367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
D．一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”
3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．13个人中至少有两个人出生月份相同
B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．2025年有366天
题型02 不可能事件
例题：（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，
3，4，5，6），下列事件是不可能事件的是（ ）
A．朝上的点数为6 B．朝上的点数大于0
C．朝上的点数大于7 D．朝上的点数为2
【变式训练】
1．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．明天早上会下雨
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．任意一个三角形的内角和等于
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列事件属于不可能事件的是（ ）
A．明天买彩票中奖
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《新闻联播》 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．买一张电影票，座位号是偶数 D．水往高处流
题型03 随机事件
例题：（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 个人中至少有2个人的生肖相同
B．随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球
【变式训练】
1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）下列事件属于随机事件的是（ ）
A．通常加热到 时，水沸腾 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和为 D．从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球
2．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）下列事件中，是不确定事件的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．打开电视正在播放重庆卫视电视台的节目
C．同位角相等，两条直线平行
D．对顶角相等
3．（24-25九年级上·北京密云·期末）下列事件中，随机事件是（ ）
A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．在标准大气压下，将水加热到 并持续加热，则水会沸腾
题型04 事件发生的可能性大小
例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）在一个不透明的口袋中，装有 个黄球和5个红球，这些球除颜
色外没有其他区别，小李从中随机摸出一个球，则摸到 球的机会大．
【变式训练】
1．（2024八年级下·江苏·专题练习）桌子上有一个不透明的盒子，其中装有形状、大小都相同的红球6个，
白球4个，摸出一个球记录它的颜色，再放回去，重复30次，摸出 球的可能性大．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16个黑
球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑球的
可能性大？
3．（23-24八年级上·北京顺义·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次．
(1)“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？
(2)比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小．
题型05 概率的意义理解
例题：（23-24九年级上·浙江舟山·期中）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
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学科网（北京）股份有限公司B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝
上的概率还是
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
【变式训练】
1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）“从江县明天降水概率是 ”，对此消息下列说法中正确的是
（ ）
A．从江县明天将有 的地区降水 B．从江县明天将有 的时间降水
C．从江县明天降水的可能性较小 D．从江县明天肯定不降水
2．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，一定有5次出现正面．
B．“从布袋中取出1个黑球的概率是0”，意思是取出1个黑球的可能性很小．
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷次数很多时，出现正面的频率会稳定在0.5附近．
D．“明天降雨的概率为 ”意思是明天有70%的时间在降雨．
题型06 关于频率与概率关系说法正误
例题：（23-24九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
B．确定事件发生的概率是1
C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同
D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校 的
男生引体向上成绩不及格
2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则 的值（ ）
A．一定是 B．一定不是
C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在 附近摆动，呈现一定的稳定性
题型07 由频率估计概率
例题：（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）某商场“元旦”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由
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学科网（北京）股份有限公司转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一
区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000
落在“洗衣液”区域的次数
60 122 240 295 472 604
落在“洗衣液”区域的频率
请估计当 很大时，获得“洗衣液”的概率是 ．（精确到 ）
【变式训练】
1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）某企业技术革新后，其产品的合格率提升明显，随机抽检这一产品
2000件，发现该产品合格的频率已达到 ，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果
要求保留2位小数）．
2.（24-25九年级上·浙江台州·期末）一只不透明的袋子中装有若干个黑球和红球，这些球除颜色外都相同．
某课外学习小组做摸球试验：
将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下表：
摸球次数m 200 300 400 1000 1500 2000
摸到红球的频数n 115 184 236 595 902 1202
摸到红球的频率 （结果保留三位小数） 0.575 0.613 0.590 0.595 0.601 0.601
根据以上数据，当摸球次数很大时，估计摸到红球的概率为 （精确到0.01）．
题型08 用频率估计概率的综合应用
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）对某篮球运动员进行 分球投篮测试，结果如下表：
投篮次数 10 50
命中次数
命中率
(1)计算并直接填写表中投篮 次、 次相应的命中率；
(2)这个运动员投篮命中的概率约是______；
(3)估计这个运动员 分球投篮 次能得多少分．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的
数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，
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学科网（北京）股份有限公司经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示：
根据表中数据，回答下列问题：
每次打捞鱼数
每次打捞鱼中带标记的鱼
数
打捞到带标记的鱼的频率
(1)表中 ______， ______；
(2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到 ）；
(3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？
2．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求
得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下：
…
掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000
…
…
小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305
…
…
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695
…
…
小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x
…
【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次
数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )；
【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留π)
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）成语“守株待兔”表示（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．“明天会天晴”是随机事件
B．射击运动员射击一次，命中八环是必然事件
C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件
D．“太阳从西方升起”是必然事件
3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每
次摸到的都是红球，下面说法正确的是（ ）
A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球
C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球
4．（23-24七年级下·全国·课后作业）有一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20张卡片中，有5张卡片的背
面注明了一定的奖金额，其余卡片的背面是一张哭脸，若翻到它就不得奖．游戏的参与者有3次翻卡片的
机会．某参与者前两次翻卡片均得若干奖金，如果翻过的卡片不能再翻，那么这位参与者第三次翻卡片获
奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示：
抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598
“正面向上”的频率（
）
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是 ，所以“正面向上”的概率是 ；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是 ；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次．其中合理推断的序号是
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
二、填空题
6．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都
相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是 事件．（填“必然”“不可能”或
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学科网（北京）股份有限公司“随机”）
7．（2025八年级下·全国·专题练习）请写出一个随机事件，使其发生的可能性比随机事件“抛一枚质地均
匀的硬币，正面朝上”的可能性小： ．
8．（23-24七年级下·全国·课后作业）从 ，0， ，1， ， 中随机选择一个数，则选到非负数的概
率为 ．
9．（23-24七年级下·全国·课后作业）在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法：①不同次数
的试验，正面向上的频率可能会不相同；②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为 ；③多次重
复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，其中正确的是 ．
10．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在边长为 的小正方形网格中，已知 ， 在网格格点上，
在剩余的格点中任选一点 ，恰好能使 的面积为 的概率是 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）指出下列哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪
些事件是随机事件?
(1)一次数学测试中，女生成绩好于男生成绩；
(2)一个有理数的绝对值是3；
(3)两个全等三角形的对应角相等；
(4)明天一定是晴天；
(5)三角形的内角和为 ；
(6)经过一个路口，正好遇到绿灯；
(7)标准大气压下，将水加热到 时，水会沸腾；
(8)等腰三角形的一个角为 ，则另两个角都为 ．
12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）将下列事件按照发生的可能性由小到大进行排列．
（1）有一个分数的分子比分母小；
（2）一名10岁儿童每小时可以跑10km；
（3）正数大于负数．
13．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列随机事件是否属于等可能事件，若属于，有几种等可能的
结果？
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学科网（北京）股份有限公司(1)从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况；
(2)一次射击命中的环数；
(3)一枚硬币投抛一次．
14．（21-22九年级上·全国·单元测试）对下列说法谈谈你的看法：
(1)某彩票的中奖机会是 ，如果我买 张彩票一定有 张会中奖；
(2)我和同学玩飞行棋游戏，我掷了 次骰子还没掷得“ 点”，说明我掷得“ 点”的机会比其他同学掷
得“ 点”的机会小；
(3)我们知道，抛掷一枚普通硬币得到正面和反面的机会各为50%，出就是说，虽然没人能保证抛掷1000次
会得到500次正面和500次反面，但是，我敢保证得到正面的次数会非常接近得到反面的次数．
15．（23-24七年级下·山东济南·期末）一个布袋中有8个红球和 个白球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是红球的概率；
(2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率
是 ，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答）
16．（23-24七年级下·全国·课后作业）某批乒乓球的质量检验结果如下表：
抽取的乒
乓球数
优等品的
个数
优等品的
频率
(1)填写表中的空格；
(2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位）
17．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）为了解学生参加体育活动的情况，学校对初一学生进行了抽样调查，
调查结果如下表：
体育项目 篮球 足球 羽毛球 乒乓球 其他
人数
(1)请根据表格数据绘制扇形统计图；
(2)若该校初一学生共有 人，请估计喜欢足球的学生人数；
(3)在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，抽到喜欢篮球的学生的概率是多少？
18．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图①，转盘的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4.如
图②，正方形 顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，
指针所落扇形中的数字是几（当指针落在边界上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳
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学科网（北京）股份有限公司几个边长．
阅读以上游戏规则，回答下列问题：
(1)若嘉嘉从圈A起跳，则他落回到圈A的概率 ________；
(2)若淇淇从圈B起跳，则他与（1）中嘉嘉落回到圈A的概率一样大吗？通过计算说明理由．
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