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第 4 章 三角形（基础 30 题专练）
1．（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类如下：
三角形 ；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．三角形按边的关系分为两类：
不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为底和腰不等的等腰三角形以及等边三角
形．另外，三角形还可以按角进行分类．
2．（2021秋•咸安区期末）如图，△ABC的面积可以表示为（ ）
A． AC•BD B． AB•AM C． BC•CE D． BM•AF
【分析】直接利用三角形面积公式进行判断．
【解答】解：根据题意得S△ABC ＝ •AC•BD＝ BC•AF．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△ ＝
×底×高．也考查三角形的高．3．（2021秋•松桃县期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定
性来增加其稳定性，
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
4．（2021秋•玉林期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，5，10 D．3，7，9
【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．
【解答】解：A．∵3+4＜8，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
B．∵5+6＝11，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
C．∵5+5＝10，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
D．∵7﹣3＜9＜7+3，
∴长度为3，7，9的三条线段能构成三角形，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边
差小于第三边是解题的关键．
5．（2021秋•全椒县期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5° B．4° C．8° D．6°
【分析】由角平分线的定义，得∠BAE＝25°，再根据三角形内角和定理得∠BAD＝30°，最后
利用角的和差关系得出答案．【解答】解：∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAE＝25°，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝5°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形内角
和定理是解题的关键，属于基础题．
6．（2021秋•岑溪市期末）下列给出的简记中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SSA
【分析】根据全等三角形的判定定理即可得答案．
【解答】解：判定两个三角形全等的方法有：SSS、ASA、SAS、AAS，
而SSA不能判定两个三角形全等．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即
AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本
题是一道较为简单的题目．
7．（2021秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则
△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD＝CD，进而得出△ABD的周长
＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，相减即可得到周长差．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣
CD﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2；
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式
是解题的关键．
8．（2021秋•沙坪坝区校级期末）数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列
四种图形，其中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、BE是△ABC中AC边上的高，符合题意；
B、BE不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
C、BE不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
D、AE是△EAC中AC边上的高，不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点
之间的线段叫做三角形的高．
9．（2021秋•恩施市期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，若∠A＝60°，
∠1＝96°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．24° C．25° D．26°
【分析】由∠A＝60°，得∠FEB+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，再由折叠的性质得
∠B'EF+∠EFC'＝∠FEB+∠EFC＝240°，从而得出答案．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°，
∴∠FEB+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵把△ABC沿EF对折，
∴∠B'EF+∠EFC'＝∠FEB+∠EFC＝240°，
∴∠1+∠2＝240°﹣120°＝120°，
∵∠1＝96°，
∴∠2＝120°﹣96°＝24°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角
相等是解题的关键．二．填空题（共11小题）
10．（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于
一点，这一点叫此三角形的 重 心．
【分析】根据三角形重心的定义即可求解．
【解答】解：三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心．
故答案为：重．
【点评】本题考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点．三角形的中线把三角形
分成了面积相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
11．（2021秋•黄冈期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，
则c＝ 7 ．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的
范围，再根据奇数的定义得出答案．
【解答】解：∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝7，b＝2，
由三角形三边关系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了三角形三边关系以及非负数的性质，此题实际上就是根据三角形三边关
系定理列出不等式，然后解不等式即可．
12．（2021秋•巨野县期末）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝20°，∠B＝
50°，则∠DCE＝ 15 ° ．
【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB＝110°，再由角平分线定义得∠ACE＝55°，利用外
角的性质得∠CED＝∠A+∠ACE＝20°+55°＝75°，再利用角的和差关系得出答案．
【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝110°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝ ＝55°，
∴∠CED＝∠A+∠ACE＝20°+55°＝75°，
∵CD是高，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CED＝90°﹣75°＝15°，故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，角的和差关系等知识，熟练
掌握三角形内角和定理是解题的关键．
13．（2022•渠县校级开学）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5，BC＝1，则
AF＝ 6 ．
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等
则重合的性质有AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6．
【解答】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6，
故答案为：6．
【点评】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键
是找清相互重合的对应边．
14．（2021秋•泰州期末）下面每组里面3条线段可以围成三角形的是 ①④ ．（填序号）
①8、4、5；②5、4、9；③4、4、8；④5、12、13．
【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．
【解答】解：①∵5﹣4＜8＜5+4，
∴能构成三角形，本选项符合题意；
②∵5+4＝9，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
③∵4+4＝8，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
④∵12﹣5＜13＜5+12，
∴长度为5，12，13的三条线段能构成三角形，本选项符合题意．
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边
差小于第三边是解题的关键．
15．（2021秋•金台区期末）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于
D ，∠ABD 与∠ACD 的
1 1 1
角平分线交于点D ，则∠BD C的度数是 84 ° ．
2 2【分析】根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，再根据角平分线的定义
得∠ABD +∠ACD ＝64°，∠D BA+∠D CA＝32°，再利用角的和差关系得出答案．
1 1 2 2
【解答】解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D ，
1
∴∠ABD +∠ACD ＝∠D BC+∠D CB＝ ，
1 1 1 1
∵∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点D ，
1 1 2
∴∠D BA+∠D CA＝ ，
2 2
∴∠CBD +∠BCD ＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠D BA+∠D CA）＝128°﹣32°＝96°，
2 2 2 2
∴∠BD C＝180°﹣（∠CBD +∠BCD ）＝180°﹣96°＝84°，
2 2 2
故答案为：84°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，利用整体思想是解题的关键．
16．（2021秋•吐鲁番市期末）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为x，则第三边长的
范围为 3 ＜ x ＜ 5 ．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得
答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系：4﹣1＜x＜4+1，
解得：3＜x＜5．
故答案为：3＜x＜5．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，属于基础，只要掌握三角形的三边关系定理即
可．
17．（2021秋•茂南区期末）已知三角形三边长分别为1，3，x，若x为奇数，则x值为 3 ．
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．
【解答】解：∵三角形三边长分别为1，3，x，
∴2＜x＜4，
∵x为奇数，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确把握三角形三边关系定理是解题关键．
18．（2021秋•肥西县期末）当三角形中一个内角 是另外一个内角 的 时，我们称此三角形
为“友好三角形”， 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个
β α
“友好三角形”的“友好角 ”的度数为 42 ° 或 84 ° 或 92 ° ．
α
【分析】分42°角是 、 和既不是 也不是 三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内
α
角和定理列式计算即可得解．
α β α β【解答】解：①42°角是 ，则友好角度数为42°；
②42°角是 ，则 ＝2 ＝84°，
α
∴友好角 ＝84°；
β α β
③42°角既不是 也不是 ，
α
则 + +54°＝180°，
α β
α β
所以， + +42°＝180°，
解得 ＝92°，
α α
综上所述，友好角度数为42°或84°或92°．
α
故答案为：42°或84°或92°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，
难点在于分情况讨论．
19．（2021秋•莱芜区期末）如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若
∠BDA'+∠CEA'＝80°，则∠A＝ 4 0 度．
【分析】根据折叠的性质得∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，再根据平角的定义得
∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED＝360°，从而有∠ADE+∠AED＝140°，再利用三角形内角
和定理求出∠A的度数．
【解答】解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，
∵∠BDA'+∠A'DE+∠ADE＝180°，∠AED+∠A'ED+∠CEA'＝180°，
∴∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED＝360°，
∵∠BDA'+∠CEA'＝80°，
∴2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣80°＝280°，
∴∠ADE+∠AED＝140°，
∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，运用整体思想求出
∠ADE+∠AED＝140°，是解题的关键．
20．（2021秋•汉寿县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分
∠DAC，∠B＝50°，则∠AEC＝ 115 ° ．【分析】先利用三角形的内角和定理先求出∠BAD、∠DAC，再利用角平分线的定义求出
∠DAE，最后利用外角和内角的关系求出∠AEC．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝40°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝50°．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝25°．
∴∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝115°．
故答案为：115°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外
角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•启东市期末）如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．
【分析】（1）利用三角形外角的性质即可得出答案；
（2）利用三角形外角的性质得3∠ABF＝93°，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝42°，∠CAE＝18°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠CBD＝27°，
∴∠BFE＝180°﹣27°﹣60°＝93°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝87°；
（2）∵∠BAF＝2∠ABF，∠BFE＝93°，∴3∠ABF＝93°，
∴∠ABF＝31°，
∴∠BAF＝62°．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角和是解题的关键．
22．（2021秋•单县期末）如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE＝BF，∠A＝∠B，∠CEB＝
∠DFA，求证：OC＝OD．
【分析】首先利用ASA证明△AFD≌△BEC，得BC＝AD，再由等角对等边得OA＝OB，从而
证明结论．
【解答】证明：∵AE＝BF，
∴AE+EF＝BF+EF，
即AF＝BE，
在△AFD和△BEC中，
，
∴△AFD≌△BEC（ASA），
∴BC＝AD，
∵∠A＝∠B，
∴OA＝OB，
∴AD﹣OA＝BC﹣OB，
∴OC＝OD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，证明
△AFD≌△BEC是解题的关键．
23．（2021秋•盱眙县期末）如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝FC．
（1）求证：∠D＝∠B；
（2）若∠A＝20°，∠D＝110°，求∠BEC的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质得∠A＝∠C，再利用等式的性质得AF＝CE，从而利用SAS
证明△ADF≌△CBE，可得结论；
（2）根据三角形内角和定理得∠AFD＝50°，再利用全等三角形的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝FC，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠D＝∠B；
（2）解：∵∠A＝20°，∠D＝110°，
∴∠AFD＝50°，
∵△ADF≌△CBE，
∴∠BEC＝∠AFD＝50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知
识，证明△ADF≌△CBE是解题的关键．
24．（2021秋•连云港期末）如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB
＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
【分析】（1）由BF＝CE，得BE＝CF，再利用SAS证明△ABE≌△DCF；
（2）由（1）知，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DFC，可知∠D＝72°，再利用三角形外角的性质
∠DFB＝∠C+∠D＝102°，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
（2）解：由（1）知，△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC，∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠DFB，∵∠A+∠D＝144°，
∴∠D＝72°，
又∵∠C＝30°，
∴∠DFB＝∠C+∠D＝102°，
∴∠AEC＝102°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三
角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的根据．
25．（2021秋•滦州市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，直线l经过点A，过B，
C两点作直线l的垂线，垂足分别为D，E，BD＝AE．
求证：AB⊥AC．
【分析】由∠ABC＝∠ACB，得AB＝AC，再利用HL证明Rt△ABD≌Rt△CAE，得∠DAB＝
∠ECA，由∠ECA+∠EAC＝90°，等量代换即可证明结论．
【解答】证明：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴△ABD和△CAE为直角三角形，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵BD＝AE，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠DAB＝∠ECA，
∵∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，证明
Rt△ABD≌Rt△CAE是解题的关键．
26．（2021秋•莱芜区期末）如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，EF＝BC，
EF∥BC，∠A与∠D相等吗？请说明理由．【分析】利用SAS证明△EFD≌△BCA，从而解决问题．
【解答】解：相等，理由如下：
∵AE＝DB，
∴AB＝DE，
∵EF∥BC，
∴∠FED＝∠CBA，
在△EFD与△BCA中，
，
∴△EFD≌△BCA（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明
△EFD≌△BCA是解题的关键．
27．（2021秋•永春县期末）如图，已知，AB＝AD，BC＝CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数．
【分析】（1）利用SSS即可证明△ABC≌△ADC；
（2）首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再根据全等三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：∵∠1＝30°，∠2＝50°，
∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵△ABC≌△ADC，
∴∠D＝∠B＝100°，
答：∠D的度数为100°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全
等三角形的判定方法（ASA，SAS，AAS，SSS，直角三角形的HL）是解题的关键．28．（2021秋•监利市期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC
＝112°，求∠BCF的度数．
【分析】根据三角形的高的定义，由CD是AB边上高，得∠BDF＝90°．根据三角形外角的性
质，得∠DBF＝∠BFC﹣∠BDF＝22°．根据三角形的角平分线的定义，由BE为角平分线，得
∠DBF＝∠CBF＝22°．根据三角形内角和定理，得∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FBC＝46°．
【解答】解：∵CD是AB边上高，
∴∠BDF＝90°．
∴∠DBF＝∠BFC﹣∠BDF＝112°﹣90°＝22°．
∵BE为角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF＝22°．
∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FBC＝180°﹣112°﹣22°＝46°．
【点评】本题主要三角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质、三角形内角和定
理，熟练掌握三角形的高的定义、三角形的角平分线的定义、三角形的外角的性质、三角形
内角和定理是解决本题的关键．
29．（2021秋•柯桥区期末）将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°
角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中，
（1）如图2，当OD平分∠AOB，求∠BOC的度数；
（2）当OC在直线EF上方，且∠COE＝30°时，求∠AOD的度数；
（3）若∠BOC＝ ，∠AOD＝ ，请直接写出 ， 满足的数量关系．
α β α β
【分析】（1）根据角平分线的定义得∠AOD＝∠DOB＝22.5°，再根据∠BOC＝
∠COD+∠DOB，即可得出答案；
（2）画出图形，根据平角为180°，可得答案；
（3）分∠AOD在∠AOB内部时， + ＝45°+90°＝135°，和∠AOD在∠AOB外部时，①旋转
角大于45°而小于90°， ﹣ ＝135°，②旋转角大于90°而小于180°， + ＝225°．
α β
【解答】解：∵OD平分∠AOB，
α β α β∴∠AOD＝∠DOB＝22.5°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠BOC＝∠COD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°；
（2）如图，
∵∠BOA+∠AOD+∠DOC+∠COE＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣90°﹣45°＝15°；
（3）当∠AOD在∠AOB内部时， + ＝45°+90°＝135°，
当∠AOD在∠AOB外部时，
α β
①旋转角大于45°而小于90°， ﹣ ＝135°，
②旋转角大于90°而小于180°， + ＝225°，
α β
【点评】本题考查了旋转，角的计算，三角板等知识，解题的关键是全面的讨论旋转中角度
α β
的关系．
30．（2021秋•路北区期末）如图1，△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上
的两点，沿直线DE折叠三角形纸片．
（1）如果折成图1的形状，求∠BDA′与∠A的关系；
（2）如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA'和∠A的关系，并说明理由；
（3）如果折成图3的形状，直接写出∠BDA'、∠CEA′和∠A的关系．
【分析】（1）根据折叠知∠DA'E＝∠A，由三角形外角的性质知∠DA'E+∠A＝∠BDA'，即可
得出答案；
（2）由∠BDA'+∠ADA'＝180°，∠CEA'+∠A'EA＝180°，得∠BDA'+∠CEA'＝360°﹣∠ADA'﹣
∠A'EA，再利用四边形内角和定理可得答案；
（3）由三角形外角的性质知∠BDA'＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A'+∠CEA'，从而解决问题．
【解答】解：（1）根据折叠的性质可知∠DA'E＝∠A，
∵∠DA'E+∠A＝∠BDA'，
∴∠BDA'＝2∠A；
（2）∠BDA'+∠CEA'＝2∠A，理由如下：
∵∠BDA'+∠ADA'＝180°，∠CEA'+∠A'EA＝180°，∴∠BDA'+∠CEA'＝360°﹣∠ADA'﹣∠A'EA，
∴∠BDA'+∠CEA'＝∠A+∠DA'E，
∵△A'DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA'E，
∴∠BDA'+∠CEA'＝2∠A；
（3）∠BDA'﹣∠CEA'＝2∠A，理由如下：
设DA'交AC于点F，
∵∠BDA'＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A'+∠CEA'，
∴∠BDA'＝∠A+∠A'+∠CEA'，
∴∠BDA'﹣∠CEA'＝∠A+∠A'，
∵△A'DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA'E，
∴∠BDA'﹣∠CEA'＝2∠A．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练
掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
