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第 02 讲 等可能事件的概率
课程标准 学习目标
①理解等可能事件 1. 理解等可能事件，并会求等可能事件的概率。
②求等可能事件的概率 2. 会求几何概率，并通过概率判断游戏是否共欧。
知识点01 等可能事件的概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作
P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种
m m
结果，那么事件A发生的概率P（A）= 。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤ ≤1，因此0≤P（A）
n n
≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
【即学即练1】
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）借助新媒体传播，去年的“淄博”和“哈尔滨”等城市大火了
一把，小澈想从下面4个萧山景点中任选一个制作抖音推广视频，那么“义桥老街”被选中的概率是
．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）2024年国庆期间，南明电影院同时上映了《志愿军：存亡之战》、
《浴火之路》、《只此青绿》3部电影，李明打算随机选一部电影观看，那么他选中《只此青绿》的概率
是 ．
3．（2024九年级·全国·竞赛）有一个圆形飞镖盘，上面画有五个圆，半径由小到大依次为 、
，如图所示，投中镖盘时，飞镖落在阴影部分的概率为 ．
知识点02 等可能性概率的计算方法
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进
行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，
如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的
估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
【即学即练2】
1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）某县每天上学时间约有4000辆私家车接送，小温同学随机对100辆
接送的私家车进行统计，结果如下表：
每辆私家车学生数
1 2 3 4
（名）
私家车（辆） 60 27 7 6
(1)估计抽查一辆私家车且它载有超过2名学生的概率．
(2)为减少高峰拥堵，倡议仅乘坐1名学生的私家车改为公共交通上学．若有 的对象能响应倡议，请估算
全县每天上学可减少多少辆私家车接送？
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明准备了一枚质地均匀的正二十面体的骰子（如图），已知1个面
标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余面标有“5”或“6”．因角度问题，小
华只能看到部分面，标有“5”的面和标有“6”的面有多少个无法知道．他们通过掷骰子对数字“5”朝上的
次数进行统计，结果如下：
掷骰子总次数 n 10 20 50 100 200 400
“5”朝上的次数m 1 4 9 21 39 81
“5”朝上的频率 0.100 0.200 0.180 0.210 0.195 0.203
(1)请估计：当n很大时，“5”朝上的频率将会接近______（结果精确到0.1）；
(2)估计标有“5”的面有 个，标有“6”的面有 个；
(3)小明和小华准备玩游戏：一人掷这个骰子，另一个人猜数，若所猜数字与掷出的数字相符，则猜数的人
获胜，否则掷骰子的人获胜．猜数的方法从下面两种中选一种：
①猜“是奇数”或“是偶数”；
②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”．
如果你来猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方法？怎么猜？
题型01 判断实验所得结果是否是等可能
例题：（23-24七年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮
C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球
【变式训练】
1．（23-24七年级·广东深圳·期末）下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（ ）
A．交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率
B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率
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学科网（北京）股份有限公司C．小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率
D．小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率
2．（23-24九年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张
不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝
下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机
地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依
次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8
C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5
题型02 根据列举法求概率
例题：（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，这是某小区地下车库示意图． ， 为人口， ， ，
为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从 出口驶出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·天津河北·期末）不透明的袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，这些球
除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率为 ．
2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火
发射，为了弘扬航天精神，某校组织了“航天梦报国情”演讲比赛，设立一等奖5名，二等奖20名，三等
奖50名，参赛选手共500名，则选手周颖获得奖励的概率为 ．
3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、
4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个
灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是 ．
题型03 与其知识科综合求概率
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）现有五张除正面外完全相同的小卡片，正面分别写着① ；
② ；③ ；④ ；⑤ ，现从中随机抽取一张，其中能判定图
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学科网（北京）股份有限公司中直线 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）从除写有为 ，−2， ， ， 数字不同外，其余完全相同的
张卡片中，任取一张，其数字的相反数大于−2的概率是 ．
2．（24-25九年级上·天津滨海新·期末）甲，乙，丙三张卡片正面分别写有 ， ， ，除正面
的代数式不同外，其余均相同．将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当 ， 时，则
取出的卡片上代数式的值为正数的概率为 ．
题型04 几何概率——面积法
例题：（2024·江苏苏州·二模）如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案
内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，它由五
块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，现随机向该图
形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 ．
2．（22-23七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山
五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚
小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率
是 ．
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学科网（北京）股份有限公司3．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随
机爬行，则它停在阴影部分的概率为 ．
题型05 几何概率——圆心角法
例题：（23-24七年级下·山东·期末）在五一期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘
（如图1），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针
正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元，20元的购物券（转盘被等分成20个扇
形）． 已知甲顾客购物150元．
(1)他得到50元的购物券的概率是多少？
(2)他获得购物券的概率是多少？
(3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得顾客获得购物券的概率是 并简要说明游戏规则．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图
所示，并规定：顾客消费300元（含300元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指
针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转
动转盘．
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学科网（北京）股份有限公司(1)某顾客正好消费280元，他可以转动转盘吗？
(2)某顾客正好消费450元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
(3)某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费252元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．
2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有 张纸牌
除数字外完全相同 ，它们分别标有数字 ， ， ， ， ， ， ， ，从中随机摸出一张纸牌，
若摸出纸牌上的数字是 的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是 的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获
胜的概率大？
_________ 填 ， 或
材料二：如图 ，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘 转盘被等分成 个扇形 ，并规定：
顾客每购买 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区
域，顾客就可以分别获得 元、 元、 元的购物券，则顾客转动一次转盘获得 元购物券的概率是
_________．
材料三：图 是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在 区域的概是_________．
题型06 根据概率求数量
例题：（24-25七年级下·全国·期中）一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．
已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是 ．
(1)求袋中共有多少个白球；
(2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的
概率．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜
色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为 ．
(1)分别求红球和绿球的个数．
(2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率．
(3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率．
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜
色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
(1)求盒子中黑球的个数；
(2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小；
(3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为 ，若能，请写出如何调整黑
球数量．
题型07 根据概率判断游戏是否公平
例题：（23-24七年级下·贵州毕节·期末）2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展
中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及
线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够
参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全
一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回．
(1)计算摸到小球数字为2的概率；
(2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明
理由．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3．
4，5，6，自由转动转 盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
(1)转出的数字小于7是 （从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”中选 一个填入），P （转出的
数字大于5）=
(2)现有两张分别写有数字3和5的卡片，自由转动转盘，当转盘停止时，转出的数字与两张卡片上的数字
分别作为三条线段的长度．则P （三条线段能构成 三 角 形 ）
(3)小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的 数字是3的倍数，小亮获胜，这个
游戏对双方公平吗?说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级下·河南焦作·期末）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上
1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指
向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜．
(1)转出的数字为3的概率是 ．
(2)转出的数字不大于3 的概率是 ．
(3)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？
一、单选题
1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）足球队员小航每场比赛的进球率约为 ，若他明天将参加一场足
球比赛，则下列说法正确的是（ ）
A．小航明天肯定进球
B．小航明天每射球10次必进球1次
C．小航明天一定不能进球
D．小航明天有可能进球
2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）现有分别写有1，2，3，4，x的五张卡片，它们除数字外其余完全相
同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，上面的数字是奇数的概率为 ，
则x可以是（）
A．0 B．2 C．4 D．5
3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指
针落在数字 ， ， ， 所示区域内可能性最大的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 号 B． 号 C． 号 D． 号
4．（24-25七年级下·全国·单元测试）在□内填上运算符号（“ ”“ ”“ ”或“ ”），使算式
的计算结果是分数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，二
人在距棋盘3米外随机投掷，若棋子落在已有棋子的方格中、压格线或掷到棋盘外则需重掷，掷到空格中
则占据该空格，当三颗相同棋子连成一条线时获胜．某局比赛棋盘棋子如图所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷
本次棋子嘉嘉获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜
色分为红、蓝、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指
的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右侧的扇形）．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，
指针指向蓝色扇形的概率为 ．
7．（2025·湖南·模拟预测）某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮 ，黄灯亮 ，
红灯亮 循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概
率是 ．
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学科网（北京）股份有限公司8．（23-24七年级下·全国·单元测试）在如图所示的3×3的方格中，任意涂黑一块白色方块，和原有的黑色
方块恰好构成轴对称图形的概率是 ．
9．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）在一个不透明的盒子里有5个红球，3个黄球和若干个白球
（这些球除颜色外无任何区别），通过若干次摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在0.2左右，则盒子
里白球的个数约为 ．
10．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从人口A驶入，行至
每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F口驶出的概率是 ．
三、解答题
11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）请你用10个球分别设计一个摸球游戏．（各球除颜色不同外其余均
相同）
(1)使摸到红球的概率是 ；
(2)使摸到红球和白球的概率都是 ．
12．（2025八年级下·全国·专题练习）已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：
在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全
相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数．
(1)随机事件有______，必然事件有______；
(2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上．
13．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有
数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成
功，三个游戏规则如下：
规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败；
规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败；
规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败．
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学科网（北京）股份有限公司请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由．
14．（23-24七年级下·山西太原·期末）在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球
3个，红球5个，黑球4个，它们除了颜色外其他都相同．
(1)从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性最大．
(2)“摸到黑球”是____事件，“摸到黄球”是_____事件．（填“不可能”“必然”或“随机”）
(3)求摸出的小球不是白球的概率．
15．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等
份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为
转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指
向的颜色即为转出的颜色．
(1)在图1转盘中转出数字6的概率为________．
(2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：
小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
16．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）为了促进学生的全面发展，丰富学生的课余生活，学校组织学生参
加公益活动．活动有义务植树、敬老院慰问、维护道路交通和社区服务．七年级5班共有50名同学，分配
其中15名同学去义务植树，20名同学去敬老院慰问，5名同学去维护道路交通，剩下的10名同学去社区
服务．
(1)“随机抽取一位同学是被分配去社区服务”属于______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)随机抽取一位同学是被分配去敬老院慰问的概率是多少？
(3)随机抽取一位同学是被分配去义务植树或维护道路交通的概率是多少？
17．（23-24七年级下·山东泰安·期末）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有
红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、
三等奖．
(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是_________事件．（填随机、必然、不可能）
(2)小明观察一段时间后发现，平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，
请你估算袋中白球的数量；
(3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖、二等奖的概率分别为多少？
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学科网（北京）股份有限公司18．（23-24七年级下·山东烟台·期末）“五一”期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满200元的顾客
可获得一次转转盘得奖券的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘
停止后，根据指针指向参照表格获得奖券（指针指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）．
区域颜色 奖券金额
黄 20元
蓝 50元
红 80元
空白 0元
(1)甲顾客购物100元，他获得奖券的概率是______；
(2)乙顾客购物300元并参与该活动，求他获得20元和80元奖券的概率；
(3)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为 ，50元和80元奖券获奖概率不变，通过计算
求出需要将多少个空白区域改为黄色？
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