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第十三章 三角形（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
2．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm
3．如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性
4．如图，△ABC的边BC上的高是（ ）
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
5．在下列条件中：①∠A+∠C＝∠B；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B
1
= ∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（
）A．100° B．105° C．110° D．115°
7．如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为 28cm，AB 比 AC 长 6cm，则△ACD 的周长为
（ ）
A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm
8．如图，光线 照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角，
若已知∠1＝4α5°，∠3＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
9．如图，将△ABC 沿 DE、EF 翻折，顶点 A，B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO，若
∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
10．如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，
∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝ ，∠MAC＝ ，∠ADC＝ ，则 ， ， 三者间的数量关系是（
） α β γ α β γA． ＝ + B． ＝2 ﹣2 C． ＝ +2 D． ＝2 ﹣
11．若△β AαBCγ中刚好有∠B＝β2∠Cα，则γ称此三角形为β“可α 爱γ三角形”，并β且∠γA称α作“可爱角”．现有一
个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）
A．45°或36° B．72°或36°
C．45°或72° D．45°或36°或72°
12．如图，已知△ABC的内角∠A＝ ，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点
A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平α分线交于点A ，得∠A ；……以此类推得到∠A ，则∠A 的度
1 1 1 1 2 2 2024 2024
数是（ ）
α α α α
A． B． C． D．90+
2 22023 22024 2
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝4cm2，则阴影部
分的面积为 cm2．
14．已知a，b，c是一个三角形的三条边长，化简|a+c﹣b|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
15．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝ ．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边
上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
17．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝
100°，则∠A的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE
于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE ＝S△BCE ．上
述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容一一利用平行
线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和
转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的
添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
20．（8分）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，
制作一个三角形木框．
（1）小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2cm．试判断第一段的长能否为3cm，并说明理由；
（2）小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4cm和CD＝8cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三
根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
22．（8分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使
∠1＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数．
24．（10分）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB
于点E，交AC于点F．
（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝ ，∠BDA＝ ，求∠FAD+∠C的度数（用含 和 的代数式表示）．
α β α β25．（10分）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“八字
图形”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD，AB分别交于点M，N．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论： ；
．
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③根据②的结果直接写出∠B，∠C，∠P之间的关系（不需要证明）．
26．（10分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F．
（1）【问题呈现】
如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数；
（2）【问题推广】
如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数；
（3）【问题拓展】
若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP＝ ，∠ACB＝ ．射线CF与∠APQ的平分线所在的直
线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHCα与∠BFC之间β的数量关系（用含 ， 的式子表示）．
α β
