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第十三章 轴对称（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．等腰三角形的一个底角是 ，它的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等得出另外一
个底角的度数为 ，根据三角形内角和定理求出顶角的度数即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角是 ，
∴另外一个底角度数为 ，
∴它的顶角为 ．
故选：B．
2．如图，在 中， ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】根据等角对等边求边长
【分析】此题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的等角对等边解答即可．
【详解】解： ，
是等腰三角形，
，
故选：C．
3．平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点B的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】此题主要关于 轴对称的点的坐标特点．根据关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反
数可得答案．
【详解】解：点 关于 轴对称的点 的坐标为 ，
故选：B．
4．在 中， ，点 在 上， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角
形内角和定理得到 ，再由等边对等角得到 ，则由三角形外角的性质可得
．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日 ~ 2022 年 02 月 20 日在中华人民 共和
国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是
历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以是轴对称图形．
选项D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不
是轴对称图形．
故选：D．
6．如图，在 中， ， ，AD平分 ，若 ，则点 到AB的距离是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理
【分析】根据直角三角形的性质，可得 的度数， ，根据角平分线的性质，可得 ，
再根据 可求得答案．本题考查了含30°角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，
角平分线的性质是解本题的关键．
【详解】解：如图，作 于 ，
， ，
， ，
平分 ，
，
，，
即点 到AB的距离是 ．
故选：D．
7．如图，锐角 中，边 的垂直平分线相交于点O， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质．连接 ，根据三角形内角和定理
可得 ， 从而得到 ，
再由线段垂直平分线的性质可得 ，从而得到 ，即
可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵边 的垂直平分线相交于点O，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
8．如图， 和 关于直线 对称，连接 ， ， ，其中 与直线 交于点 ，点 为
直线 上一点，且不与点 重合，连接 ．下列说法错误的是（ ）
A．
B．线段 ， ， 被直线 垂直平分
C． 为等腰三角形
D．线段 所在直线的交点不一定在直线 上
【答案】D
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A、 和 关于直线 对称，
，
，正确，不符合题意；
B、 和 关于直线 对称，
线段 ， ， 被直线 垂直平分，正确，不符合题意；
C、 和 关于直线 对称，
是线段 的垂直平分线，
为等腰三角形，正确，不符合题意；
D、 和 关于直线 对称，
线段 所在直线的交点一定在直线 上，原说法错误，符合题意．
故选：D．9．如图，在锐角 中， ，点D在边 上，点P、Q分别在线段
上运动，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】角平分线性质定理及证明、含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理， 的直角三角形的性质等知识，解题
的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点 关于 的对称点M，连接 ，当 时．此
时 取得最小值．
【详解】解：∵ ，
∴ 是 的平分线，
作点 关于 的对称点M，连接 ，
由对称的性质可知， ,
∴ ，
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴M在 上
由垂线段最短可知：当 时． 取得最小值，
∴此时 也取得最小值．∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ 的最小值为： ．
故选：B．
10．如图， 的平分线相交于F，过点F作 ，交 于D，交 于E，那么下列结论正
确的是① 都是等腰三角形；② ；③ 的周长为 ；④ ．
（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错
角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，
由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
， ，
是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
， ，
， 都是等腰三角形．故①正确，
， ，即有 ，故②正确，
的周长 ．故③正确，
不一定相等，故④错误，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图， 与 关于直线 对称，则 的度数为 ．
【答案】 /100度
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质得出 ，再由三
角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握三角形内角和为 是解此题的关键．
【详解】解： 与 关于直线 对称，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，已知 ，如果 ， ，那么 的度数为 ．
【答案】 /35度
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关
键．
先根据平行线的性质得到 ，再根据等边对等角以及外角定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，在 中， 的垂直平分线分别交 和 于点 和点 ，若 的周长 ，
的周长 ，则 的长为 ．
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解： 是 的垂直平分线，
，
的周长 ，
，
的周长 ，
，
，
故答案为：9．
14．如图，在 中， 是腰 上的高，则 ．
【答案】1
【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及含 角的直角三角形的性质等知识，
由等腰三角形的性质得 ，再由三角形外角的性质得 ，然后由含 角的直角三
角形的性质可得 的长．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是腰 上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
15．如图，等边三角形 的边 上有一点P，过点P作 于点E，Q为 延长线上一点，当
时， 交 于点D，若 ，则 ．
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过
点Q作 的延长线的垂线于点 ，根据等边三角形性质和对顶角的性质可得 ，再根据
， ， 可证得 ，从而证得 ，得到 ，
，从而求得等边三角形 的边长，再根据等边三角形的性质即可解题．
【详解】解：如图，过点Q作 的延长线的垂线于点 ，
是等边三角形，
，，
，
， ，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
故答案为：4．
16．如图，在 中， ， ，点 ， 分别是 ， 上的动点，将 沿直线
翻折，点 的对点 恰好落在 上，若 是等腰三角形，那么 的大小为
．
【答案】 或 或
【知识点】折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握
等腰三角形性质，分类讨论．
由 ， ，得 ，分三种情况讨论：①当 时，可得 ；②当 时，即得 ，即得 ；③当 时，可得
．
【详解】解： ， ，
，
分三种情况讨论：
①当 时，如图：
，
；
②当 时，如图：
，
；
③当 时，如图：
，
；
综上所述， 为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．在 中， ．
(1)求m的取值范围．
(2)若 是等腰三角形，则 的周长为 ．
【答案】(1)
(2)【知识点】等腰三角形的定义、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形两边之和大于第三边；
三角形两边之差小于第三边，等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式 ，然后求解作答即可；
（2）分 两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，即 ，
∴ ，
解得， ，
∴m的取值范围为 ．
（2）解：∵ 是等腰三角形，
∴ 或 （舍去），
∴ 的周长为 ，
故答案为： ．
18．如图，在 中， ．
(1)作 的垂直平分线，交 于点M，交 于点N；
(2)在（1）的条件下，连接 ，若 的周长是 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质
【分析】该题主要考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得： ，从而将 的周长转化为： ，即
，依此可求 ．
【详解】（1）解：如图所示：直线 为所求．（2）解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
19．如图， 中， ， 垂直平分 ，交 于点F，交 于点E，且 ．
(1)若 ，求 的度数：
(2)若 周长 ，求 长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综
合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出 ，求出 和 ，即可得出答
案；
（2）根据三角形的周长，结合线段之间数量关系，推出 ，进而计算即可得出答案．
【详解】（1）解： ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
，
∵ ，
；
（2）解： 周长 ， ，
，
∵ ，
∴ ，即 ，
．
20．如图，在 中， ， ，点D是 的中点，点E为边 上一点，连接 ，
，以 为边在 的左侧作等边三角形 ，连接 ．
(1)求证： 为等边三角形；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）由 ， ，可得出 ， ，结合已知可得出 ，即
可得出 为等边三角形；
（2）根据 ，可得出 ，再结合 即可得出
，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】（1）证明：∵在 中， ， ，∴ ， ，
又∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
又∵ ，
∴ 为等边三角形；
（2）证明：由（1）可知 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、直角三
角形斜边上的中线．解题的关键是证明三角形全等．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在 中，点 在 上，点 在 上， ， ， 与 相交于 ．
(1)求证： ；(2)连接 ，试判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ．理由见解析
【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得 ， ，根据补角的性质，可得
，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
（2）由 ， 可得点B，F在AC的垂直平分线，即可得出结论
【详解】（1）在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即
∴ ．
（2） ．
理由：由（1）得 ，
∴点B在AC的垂直平分线上．
∵ ，
∴点F在AC的垂直平分线，
∴BF垂直平分AC，即 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，利用了全等三角形的判定与性质，补
角的性质．
22．如图， 是等腰三角形， ，点D，E分别在边 ， 上，将 沿着 折叠，点
C的对应点 恰好落在 上，且 ．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)连接 交 于点F，若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】折叠问题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角
的直角三角形的应用．
（1）利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定证明即可．
（2）利用等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形性质计算即可．
【详解】（1）根据折叠的性质，得 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 是等腰三角形．
（2）∵ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据折叠性质，得 ，
∴ ．
23．如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 （或 的延长线）于点 ．
(1)如图1，若 ，则 ______．
(2)如图2，若 ，则 ______．
(3)若 ，其余条件不变，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】此题考查了等边对等角、三角形内角和定理等知识．
（1） ， ， ，由垂直平分线得到 ，即可
求出答案；
（2） ， ， ，由垂直平分线得到 ，即可
求出答案；（3） ， ， ，由垂直平分线得到 ，
即可求出答案；
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交 ，
∴
∴
故答案为：
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交 ，
∴
∴
故答案为：
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交 ，
∴
∴
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．如图，在边长为 的等边 中， 、 两点分别从点 、点 同时出发，沿三角形的边顺时针
方向运动，已知点 的速度为 ，点 的速度为 ．当点 第一次到达 点时， 、 同时停止运
动．设运动时间为 秒．求：(1) 为何值时， 、 两点第一次重合？
(2) 为何值时， 为等边三角形？
(3)当点 、 在 边上运动时，是否存在以 为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间 ；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据 与 的运动时间相等，利用 的路程 的路程列方程，可得结论；
（2）根据 列方程，可得结论；
（3）先证明 ，得 ，列方程可得结论．
【详解】（1）解：由题意得 ，
，
为12时， 、 两点第一次重合；
（2）解：如图1所示：是等边三角形，
，
当 时， 是等边三角形，
，
；
（3）解：存在以 为底边的等腰 ，
如图2所示：
是等边三角形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，几何动点问题，全
等三角形的判定和性质，正确理解两个动点的路程是本题的关键，并与一元一次方程相结合解决问题．
25．【基础巩固】（1）如图1，在 与 中， ， ， ，求证：
；
【尝试应用】（2）如图2，在 与 中， ， ， ，B、D、
E三点在一条直线上， 与 交于点F，若点F为 中点，
①求 的大小；
② ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图3， 与 中， ， ， ， 与 交
于点F， ， ， 的面积为18，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）① ；②2；（3）6
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）由 证 即可；
（2）①同（1）得 ，得 ，即可得出结论；
②过点A作 于点G，证 ，得 ， ，再由等腰直角三角形
的性质得 ，则 ，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接 ，同（2）得 ，则 ， ，得 ，再证
，得 ， ，然后证 ，得 ，进而由
，得 ，则 ，即可得出结论．【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
；
（2）解：① ， ，
，
，
同（1）得： ，
，
；
②如图2，过点A作 于点G，
则 ，
由①可知， ，
，
点F为 中点，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，，
；
（3）解：如图3，连接 ，
同（2）得： ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
∴ ，
，
，
，
，
，
，负值舍去，
即 的长为6．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判
定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解
题的关键，属于中考常考题型．
