文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
5.3 一元一次方程的应用（二）---盈不足问题
一元一次方程的应用
知识点
★★1、列方程解应用题的步骤：
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
★★2、“盈不足”问题：
方法点拨：“盈余不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种
设未知数的方法．
★★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
1题型一 “盈不足”问题
解题技巧提炼
“盈不足”问题----“表示同一个量的不同式子相等”是解决此类问题中的一个
基本相等关系.
1．（2024秋•南岗区校级月考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，
不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人
和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
x x x−12 x
A． −12= B． =
4 6 4 6
C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x
22．（2023秋•寻乌县期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，
人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出
8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的
价格是x元，则可列方程为（ ）
x−3 x+4 x+3 x−4
A．8x+3＝7x+4 B．8x﹣3＝7x+4 C． = D． =
8 7 8 7
3．（2023秋•肥东县期末）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人
出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出 8钱，会多3钱；
每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？”这个问题的答案是（ ）
A．1人，11钱 B．6人，50钱 C．7人，61钱 D．7人，53钱
4．（2024•海淀区校级开学）妈妈买来一箱桔子，若每天比计划多吃一个，则比计划少吃 2天；若每天比
计划少吃一个，则计划的时间过去后，还剩12个，那么这一箱桔子共 个．
5．（2023秋•垫江县期末）为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车
前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只
调配22座新能源客车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．问：计划调配36座的新能源客车多少辆？
该校七年级共有多少名学生？
6．某制造工厂计划若干天完成一批玩具的订货任务，如果每天生产玩具20个，那么就比订货任务少生产
100个；如果每天生产玩具23个，那么就可超过订货任务20个，求原计划几天完成任务？
7．（2024•碑林区校级模拟）某车间为提高工作效率，配置了自动化零件检测设备，现对一批零件进行检
测，若每套设备每小时检测700个零件，则经过1小时，剩下300个零件未检测；若每套设备每小时检
测750个零件，则经过1小时，剩下50个零件未检测；请问该车间配置了多少套这样的检测设备？
8．（2023秋•建邺区校级期末）某班共有40名学生．在该班举行的元旦联欢会上．主持人将一堆糖果分
3给全班每位同学，如果男生每人分3颗，女生每人分2颗，那么少2颗；如果女生每人分3颗，男生每人
分2颗，那么多2颗．这个班男生和女生各有多少名？
题型二 和、差、倍、分问题
解题技巧提炼
和、差、倍、分问题；
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语，仔细读题，找出表示和、
差、倍、分关系的关键字，例如:“大，小，多，少，增加，减少......”，并
根据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中
的量与量之间的关系列出方程.
1．（2023秋•克东县期末）某校为了丰富“阳光体育”活动，现购进篮球和足球共 16个，共花了2820
元，已知篮球的单价为185元，篮球是足球个数的3倍，则足球的单价为（ ）
A．120元 B．130元 C．150元 D．140元
2．某牧场，放养的鸵鸟和奶牛一共70头，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条，则鸵鸟的头数比奶牛多（
）
A．20头 B．14头 C．15头 D．13头
3．某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20
吨，B型车每辆可装10吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资一次性运完，现有A型、B型车共
25辆可调用，并且恰好能把物资一次性运完，则A型车有多少辆？
4．（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她
买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
45．（2024•全椒县一模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟
二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗翻酒价
值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？
4 2
6．一箩筐内有橘子、梨、苹果、若干个，已知梨的个数是橘子个数的 ，苹果的个数是橘子个数的 ，
5 3
3
梨的个数的 比苹果少2个，箩筐内有橘子多少个？
4
7．（2023秋•仓山区期末）一个旅游团共26人去参观一个景点，已知成人票每张120元，儿童票每张80
元，经预算，共需要门票钱2640元．
（1）求这个旅游团成人和儿童的数量各是多少人？
（2）到了售票窗口得知，购买两张成人票将会赠送一张儿童票，请计算共需门票钱多少元？
题型三 配套问题
5解题技巧提炼
配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比
例.
1．（2023秋•铁岭县期末）车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天平均生产1200个螺丝或1800个螺
母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，为求x，可列方程（ ）
A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x）
C．2×1800x＝1200（28﹣x） D．1200x＝2×1800（28﹣x）
2．（2023秋•楚雄州期末）某口罩生产车间有13名工人生产口罩面和耳绳，每人每天平均生产口罩面
400个或耳绳500根，一个口罩面要配两根耳绳．为了使每天的口罩刚好配套，应该分配 名工人
生产耳绳．
3．（2023春•惠州期末）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身 16个，或盒底48个，一个盒身与两
个盒底配成一个罐头盒，现有100张铁皮，用 张铁皮制作盒身，正好使得这100张铁皮制作出
来的盒身和盒底全部配套．
4．（2023秋•利州区校级期末）某车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲型零件或2000个乙型
零件.2个甲型零件要配3个乙型零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和
乙型零件的工人各多少名？
5．（2023秋•天河区校级期末）初一年级共45名学生参与科技节活动，制作纸飞机模型．每人每小时可
做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要1个机身配2个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，
应该分配多少名学生做机身？多少名学生做机翼？在刚好配套的情况下，每小时能够做出多少套？
6．（2023秋•新市区校级期中）家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，
现有15立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，共可生产多少张方桌？（一张方
桌按1个桌面4条桌腿配置）
67．（2023秋•定州市期末）某校新进了一批课桌椅，七年（2）班的学生利用活动课时间帮助学校搬运部
分课桌椅，已知七年（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，要求每个学生
搬运60张桌子或者搬运150张椅子．请解答下列问题：
（1）七年（2）班有男生、女生各多少人？
（2）一张桌子配两把椅子，为了使搬运的桌子和椅子刚好配套，应该分配多少个学生搬运桌子，多少个
学生搬运椅子？
题型四 工程问题
解题技巧提炼
工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．
基本关系式：
①总工作量=工作效率×工作时间；
②总工作量=各单位工作量之和．
1．（2023秋•凉州区期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完
成，现由甲先做3天，乙再参加合做，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用
了x天，则下列方程正确的是（ ）
x x−3 x+3 x−3
A． + =1 B． + =1
12 8 12 8
x x x+3 x
C． + =1 D． + =1
12 8 12 8
72．（2023秋•大东区期末）甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需 10天完
成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（ ）
A．8天 B．5天 C．3天 D．2天
3．（2023秋•双台子区期末）从一个蓄水池中抽水，甲抽水机单独抽要 12小时抽完，乙抽水机单独抽要
15小时抽完，丙抽水机单独抽要20小时抽完，若甲、丙先合抽3小时后乙再加入，则还需（ ）小时
可以抽完．
A．3 B．4 C．5 D．7
4．（2023秋•南岗区校级期中）整理一批数据，由一个人做需80h完成，现在计划先由一些人做2h，再
3
增加5人做8h，完成这项工作的 ，则计划的人数是 人．
4
5．（2023•淮阴区校级开学）做一项工作，甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和，丙的工作效率与
甲、乙二人工作效率的和的比是 1：5；如果三人合作需10天完成，那么乙单独完成此项工作需要
天．
6．（2023秋•凉州区期末）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的
由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作？
7．（2024•新都区校级开学）一件工作，甲单独完成需要10小时，乙单独完成，需要15小时，丙单独完
成，需要20小时，现在甲乙合作2小时后，甲因有事离开了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作
完成，完成这件工作共用了多少小时？
8．（2023秋•姑苏区校级期末）某市有甲、乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独
完成这项工需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多10天．
（1）现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
（2）已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府
拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
8题型五 商品销售问题
解题技巧提炼
商品销售问题
进价、售价、利润、利润率、让利、打折相关概念及其关系：成本有时也叫进
价，售价有时也叫标价．
利润=售价-进价=成本×利润率； 实际售价=标价×折扣； 标价=成本×
（1+利润率）
利润 售价－成本
利润率= ×100% = ×100%
成本 成本
※※注意：“商品利润=售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负
时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
1．（2023秋•岳阳县期末）我县某一大型超市为庆祝开业周年庆典，所有商品都打折销售，该超市某柜
台将单价标为130元的书包按8折出售仍可获得30%利润，该书包每个的进价是（ ）
A．65元 B．80元 C．100元 D．104元
2．（2023秋•永川区期末）文具店老板以每个144元的价格卖出两个计算器，其中一个赚了20%，另一
个亏了20%，则卖这两个计算器总的是（ ）
A．不赚不赔 B．亏12元 C．盈利8元 D．亏损8元
3．（2023秋•天桥区期末）某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场
决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的进价是（ ）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
4．（2024秋•南岗区校级月考）某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，商店准
备打折销售，为保证获得20%利润率，则要打 折．
5．（2023秋•新城区校级月考）某商场在国庆节期间，开展商品促销活动．该商场将某型号的电脑按进价
提高50%后，以打8折再送50元路费的方式销售，每台电脑仍获利350元，问每台电脑的进价是多少
元？
96．（2024春•宽城区期末）我校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每条
80元的价格购进了某品牌裤子500条，并以每条120元的价格销售了400条，商场准备采取促销措施，
将剩下的裤子降价销售．
（1）前400条裤子的利润是多少元？
（2）当每条裤子降价多少元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标？
7．（2023秋•肥城市期末）阳光水果店花费615元从市场购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量是乙
种苹果重量的2倍还多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/千克） 5 8
售价（元/千克） 10 15
（1）水果店购进两种苹果各多少千克？
（2）水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的 3
倍；甲种苹果售价不变，乙种苹果打折销售．第二次购进的两种苹果都售完后获得的利润为735元，求
第二次乙种苹果按原价打几折销售？
8．（2023秋•海林市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了
A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的
进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的
基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售
完共可获利多少元？
（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再
2
按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了 ，则B商品按标价
13
售出多少件？
10题型六 增长（下降）率问题
解题技巧提炼
解这类问题的基本等量关系式是： 原量×(1＋增长率)＝增长后的量；
原量×(1－减少率)＝减少后的量.
1．某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的
56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第
一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%．则a的值为（ ）
A．8 B．6 C．3 D．2
2．某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同，2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的
售价比1月份降低了80元，2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（ ）
A．720元 B．800元 C．880元 D．1080元
3．某工厂甲乙两个车间计划每月生产3600个零件，上月甲车间产量比原计划增长了12%，乙车间产量比
原计划增长了10%，因此两车间共生产了4000个零件，那么甲、乙车间上月实际生产的零件数分别是
．
4．某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同.2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的
售价比1月份降低了80元，2月份与1月份的销售总额相同，求1月份的售价．
5．某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产17吨，其中水稻超产10%，小麦超产
20%，该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？
116．（2023肥东县二模）小王离岗创业，销售某品牌电脑，1月份的销售量为100台，每台电脑售价相同，
2月份的销售量比1月份增加10%，每台售价比1月份降低了400元，2月份与1月份的销售总额相同
求每台电脑1月份的售价．
7．（2023秋•呼兰区校级期中）某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，出油率为40%．今年改种新选
育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，出油率提高了10%．
（1）今年与去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的出油量提
高20%，今年油菜种植面积是多少亩？
（2）在（1）的条件下，油菜种植成本210元/亩，菜油收购价为6元/千克，则这个村去年和今年油菜
种植成本与将菜油全部售出所获的利润分别是多少．
题型七 分段计费问题
解题技巧提炼
解决计费问题的关键是弄清计费方式.常见的类型有：（1）已知用电量（用水
量、上网时间等），求应缴的费用；（2）已知缴费的钱数，求用电量（用水
量、上网时间等）.此外还要抓住分界点.
1．下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．
用水量 单价
x≤22 a
剩余部分 a+1.1
（1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
122．（2023秋•襄州区期末）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，
月用水量不超过40立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2
元/立方米收费，超过部分按3元/立方米计费．
（1）小华家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小华计算一下他家这两个月一共应交多
少元水费？
（2）小华家六月份交水费170元，请帮小华计算一下他家这个月用水量多少立方米？
3．（2023春•重庆期中）网约打车已成为人们打车出行的首选，设网约打车的行车计费规则如下表：
项目 起步费 时长费 里程费 远途费
单价 12元 0.5元/分钟 2.0元/千米 1.0元/千米
乘客车费由起步费、时长费、里程费、远途费四部分构成．其中时长费按行车的实际时间计算；里程费
按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程 15千米以内（含15千米）不收远途费，超过
15千米的，超出部分每千米收1.0元．
（1）王老师网约打车，行车里程为20千米，王老师所付车费为69.5元，则行车时间为多少分钟？
（2）小红和小兰同学各自网约打车，行车里程分别是14千米和16千米，若小红的乘车时间是小兰的乘
车时间的1.5倍，且两人所付车费相同，则他们的行车时间各是多少分钟？
134．（2024•莲湖区开学）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，
某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米
时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节
价”收费．某户居民今年3、4月份用水量和水费如表：
月份 用水量（立方米） 水费（元）
3 5 12.00
4 7.5 20.40
（1）该市每立方米水费的“基本价”是多少钱？
（2）该市每立方米水费的“调节价”是多少钱？
（3）若该户居民6月份水费是26.4元，该户6月份用水多少立方米？
（4）根据该市的这一规定，请你从环保角度说说你的想法．
5．（2023秋•孝南区期末）我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示：
分档水量 年用水量 水价（元/吨）
第1级 180吨以下（含180吨） 5
第2级 180﹣260吨（含260吨） 7
第3级 260吨以上 9
例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：180×5+80×7+（270﹣260）×9＝
1550（元）．
（1）如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？
（2）如果小明家2020年的用水量为a吨（a＞260），求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式
表示，并化简）
（3）如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？
6．（2023秋•漯河期末）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于或等于200 0.5
第二档 大于200且小于或等于450 0.7
时，超出200的部分
第三档 大于450时，超出450的部 1
14分
（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 元．
（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、
六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？
7．（2023秋•亳州期末）某社区超市销售甲、乙两种生活用品，甲种生活用品每件售价为60元，利润率
为50%；乙种生活用品每件进价为50元，售价为80元．
（1）甲种生活用品每件进价为 元，每件乙种生活用品利润率为 ；
（2）若社区超市同时购进甲、乙两种生活用品共50件，恰好总进价为2100元，求社区超市购进甲、
乙两种生活用品各多少件？
（3）若社区超市在“元旦”期间进行如下表所示的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小明只购买甲种生活用品，实际付款432元，求小明在该社区超市购买甲种生活用
品多少件？
15
