5.3二元一次方程的应用（第2课时借助表格梳理等量关系）（教学设计）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_教案

5.3.2 二元一次方程组的应用(第 2 课时) 教学设计 1.教学内容 本节选自北师大版 2024 八年级上册第五章 “二元一次方程组”，是 “二元一次方程组的应用” 第 2 课时，核心内容为借助表格梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，进而建立二元一次方程组 解决利润、营养品配制、商品调价、行程、达标率等与生活紧密相关的复杂问题，同时回顾并深化 “审、 设、列、解、验、答” 的解题步骤。 2.内容解析 本节是二元一次方程组应用的进阶内容，承接上一课时 “直接找等量关系列方程组”，聚焦 “复杂 问题中梳理等量关系” 这一难点，通过表格这一可视化工具，将分散的数量关系系统化，实现 “生活具 体问题” 到 “二元一次方程组” 的转化，是培养学生数学建模能力和逻辑分析能力的关键载体，也为 后续学习更复杂的方程（组）应用奠定方法基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握用 “表格法” 梳理收支、配比类实际问题的关键信 息，用 “线段图法” 分析路程类实际问题的数量关系;熟练按照 “审、设、列、解、验、答” 六步， 列二元一次方程组解决实际问题。 1.教学目标 （1）能借助表格或线段图梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，熟练按照 “审、设、列、 解、验、答” 步骤列二元一次方程组解决问题。 （2）通过分析工厂利润、营养品配比等实例，经历 “梳理信息 — 找等量关系 — 列方程组” 的过 程，提升分析问题、转化问题的能力。 （3）感受二元一次方程组在生活、生产中的实际应用，体会数学与现实世界的联系，激发学习数学 的兴趣与探索精神。 2.目标解析 （1）学生能独立用表格梳理利润、行程问题中的已知量与未知量，能根据等量关系列出方程组，求 解后能结合实际意义检验结果是否合理。 （2）学生在小组交流中，能清晰阐述 “先确定表格行列标题（如‘年份’‘总收入’），再填量， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1最后找关系” 的表格梳理思路，能独立将行程、达标率等新问题转化为表格形式。 （3）生在解决 “营养品配制”“商品调价” 等与生活相关的问题时，能积极参与思考，主动分享解 题思路，体会数学在解决实际问题中的作用，增强学习数学的自信心。 （一）学生已有知识及掌握情况 学生在七年级已学习一元一次方程的应用，掌握了 “找等量关系列方程” 的基本思路；上一课时又 学习了二元一次方程组的应用，明确了 “审、设、列、解、验、答” 的步骤，能解决等量关系较直接的 问题（如 “两个数和为 10，差为 2”），对 “利润 = 总收入 - 总支出”“路程 = 速度 × 时间” 等 基本数量关系有一定认知，具备初步的数学分析能力。 （二）预估教学中遇到的困难以及解决困难的办法 1. 困难一：无法准确梳理复杂问题中的核心量，难以搭建表格框架。 解决办法：以 “工厂利润问题” 为切入点，先带领学生逐一 “圈画题目中的量”（如去年总收入、去 年总支出、今年总收入等），再引导学生将 “量” 分类（如按 “年份” 分，或按 “收入、支出、利 润” 分），逐步搭建表格，再填充已知量与未知量，降低表格搭建难度。 2.困难二：填充表格时，无法将 “比例关系”（如 “甲商品降价 10%”）转化为具体表达式（如 “(1-10%) x”），导致表格信息不完整。 解决办法：先回顾 “比一个数增 a%，列式为‘数 ×(1+a%)’” 的基础公式，再在表格对应单元格 旁标注转化过程（如 “今年总收入：x×(1+20%)”），让学生先跟着写，再独立尝试，教师巡视指导易错 点。 困难三：填完表格后，无法从表格中提炼出 2 个独立的等量关系，导致列不出方程组。 解决办法：教学中在表格旁标注 “等量关系提示”（如利润问题表格旁写 “去年利润 = 去年总收 入 - 去年总支出”“今年利润 = 今年总收入 - 今年总支出”），引导学生对照表格找 “总和”“差 值”“倍数” 类关系，小组内互相检查 “是否找到 2 个独立关系”。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确找出复杂实际问题中的两个等量关系，避免量与量之 间的混淆;准确确定复杂问题的核心量，将比例、百分比等关系转化为表格中的表达式，并从中提炼独立的 等量关系。 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21.回顾旧知，导入新课 教学活动： (1)提问引导：“上节课我们学了用二元一次方程组解决问题，谁能说出步骤？”（学生回答后，教 师板书 “审、设、列、解、验、答”）；“列方程组最关键的一步是什么？”（学生回答 “找等量关 系”）。 (2)情境过渡：“如果问题里有‘去年’‘今年’两个时间，还有‘总收入’‘总支出’‘利润’多 个量，直接找等量关系容易乱，有没有办法帮我们理清这些量？今天我们就学习‘借助表格梳理等量关 系’（板书课题）。” (设计意图：设计意图：通过回顾旧知，激活学生对 “列方程组步骤” 和 “找等量关系” 的已有 认知，再通过 “复杂问题难梳理” 的情境，引发学生的探究需求，自然导入新课。) (教学建议：若学生忘记 “列方程组步骤”，可结合简单实例（如 “x+y=5，x-y=1”）回顾，避免 占用过多时间；过渡时可让学生说说 “之前遇到多量问题时的困扰”，增强代入感。） 一、探究新知 某工厂去年的利润（总收入 - 总支出）为 200 万元.今年的总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少 了10%,今年的利润为 780 万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？ 1、这个问题涉及哪些量？ 去年的总收入、去年的总支出、 今年的总收入、今年的总支出、 去年的利润、 今年的利润。 2、这些量之间有怎样的等量关系？ （1）去年的利润 = 去年的总收入 - 去年的总支出；（2）今年的总收入 = 去年的总收入×（1+20%）； （3）今年的总支出 = 去年的总支出×（1 10%）；（4）今年的利润 = 今年的总收入 - 今年的总支出。 （设计意图：让学生经历 “自主找量 —− 小组验证” 的过程，突破 “确定核心量” 的难点，为后续 设计表格奠定基础。） （教学建议：若学生圈出无关量（如 “工厂名称”），可引导对比 “是否参与计算”，帮助排除无关 量；汇总时将核心量分类（如 “去年相关量、今年相关量”），方便后续表格设计。） 3、你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流. 年份 总收入 / 万元 总支出 / 万元 利润 / 万元 去年 x y x-y 今年 (1+20%)x (1 10%)y 780 − 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3（设计意图：通过 “教师示范 — 学生跟随 — 自主转化” 的梯度设计，让学生掌握表格填写方法， 同时将 “比例关系转化” 和 “等量关系提炼” 融入表格梳理过程，降低难点。） （教学建议：填写 “今年总收入” 时，若学生混淆 “(1+20%) x” 和 “x+20%”，可举例 “去年收 入 100 万，今年增 20% 是 120 万，100×1.2=120，而 100+0.2=100.2，显然不对”，用具体数值验证；找 等量关系时，让学生指着表格单元格说 “谁减谁等于谁”，确保理解。） 解方程组，验答 教学活动：让学生独立解方程组 x - y = 200 1.2x-0.9y=780 ， 答：去年总收入 2000 万元，总支出 1800 万元. （设计意图：巩固二元一次方程组的求解方法，强化 “验、答” 步骤的重要性，让学生形成完整的解 题闭环。） （教学建议：若学生解方程组时出错（如消元时符号错误），可让板演学生说说 “每一步的依据”，全 班共同找出错误原因；检验环节强调 “既要验方程，也要验实际意义”（如 “收入、支出不能为负”）。 总结表格梳理方法: 在解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流。 （1）先明确题目涉及的核心量，确实表格的行或列标题； （2）将题目中的已知量和未知量对应填充到表格的单元格中； （3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列方程组。 （设计意图：通过学生自主总结，将表格梳理方法显性化，便于后续迁移应用。） （教学建议：总结时让学生结合利润问题实例对应每一步，避免方法与实例脱节（如 “定核心量” 对应 “年份、总收入等”）。 二.典例分析 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克 乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。如果患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐 用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？ 分析：设每餐需要甲原料 x g,乙原料 y g，则有 成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 0.5x 0．7y 0.5x+0.7y 其中所含铁质 x 0．4y x+0.4y 甲原料中所含蛋白质+乙原料中所蛋白质=35 甲原料中所含铁质+乙原料中所铁质=40 解：设每餐需要甲原料 x g、乙原料 y g，根据题意，得 {0.5x+0.7 y=35， x+0.4 y=40。 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4解这个方程组，得 {x=28， y=30。 所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要。 （设计意图：通过自主探究，让学生将利润问题中学到的表格梳理方法迁移到新场景，检验知识掌握情 况，同时提升自主解题能力。） （教学建议：若学生表格设计多样（如 “行设原料，列设成分” 或 “行设成分，列设原料”），只要 合理，均给予肯定，避免限制学生思维；若学生漏填 “所配制营养品的蛋白质含量 0.5x+0.7y”，可提问 “患者需要的 35 单位蛋白质从哪来”，引导补充。） 1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商 品的单价和比原来的单价和提高了20%．设甲、 乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组 正确的是 ( C ) A. xy100 B. xy100   (1100 0 )x(1400 0 )y100(1200 0 ) (1100 0 )x(1400 0 )y100200 0 C.  x y  x100 y 100 D.  x y100 (1100( 0 1)x1(10400 0 0) 0 )xy1(010(1402000 00 ))y 1  0(101002 0 )0x0( 0 1400 0 )y100200 0 2. 某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x 元和y元。若已知两种货物的进货 价共30000元，则可列方程 x ＋ y = 3000 0 ；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种货 {x + y = 30000 物的利润率是11%，则可列方程 10% x ＋ 11% y = 315 0 ，由此可得方程组 。 10%x+11% y= 3150 3. 甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先 走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？ 设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h，填写下表并求x，y的值。 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和 第一种情况 (2+2.5）x 2.5y 36 甲先走2h 第二种情况 3x (2+3)y 36 乙先走2h 解： 设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h， 根据题意，得 {（2+2.5）x+2.5 y=36 3x+（2+3）y=36 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5{ x=6 解方程组，得 y=3.6 所以，甲的速度为 6 km/h，乙的速度为 3.6 km/h。 4. 甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达 标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生? 设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值。 人数 甲班 乙班 两班总和 学生人数 x y 100 达标学生人数 87.5%x 75%y 81%×100 { x+ y=100， 解：设 甲班有x名学生，乙班有y名学生，根据题意，得 87.5%x+75% y=81%×100。 {x=48 解，得 ， y=52 所以甲班有48人，乙班有52人。 1. 必做题：习题5.3第7题、第8题、第9题 2．探究性作业：出行规划探究 5.2 二元一次方程组的解法 一、表格梳理找等量关系 1.定核心量，设表格行列； 2.填已知量、未知量（转化比例关系）； 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 63.找等量关系，列方程组。 二. 核心思想：方程思想、转化化归 三. 例题区：（学生板演区域） 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7