第十三章轴对称（易错与压轴专练）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十三章 轴对称（易错与压轴专练） 目录 易错专练.................................................................................................................................................................1 【易错一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】..................................................1 【易错二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】..................................................3 【易错三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】..............................................................5 【易错四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】..........................................7 压轴专练...............................................................................................................................................................11 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】........................................................................................11 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】........................................................................................18 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】..........................................................................24 【题型四 共顶点的等边三角形问题】............................................................................................................29 【题型五 共顶点的等腰直角三角形问题】....................................................................................................34 【题型六 共顶点的一般等腰三角形问题】....................................................................................................40 易错专练 【易错一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 例题：已知 是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为 和 ，则它的周长为 ． 【变式训练】 1．若 的三边长分别为 ，7，6，当 为等腰三角形时，则 的值为__________． 2．用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它 的底边长为______ ． 【易错二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 例题：等腰三角形的一个角的度数是 ，则它的底角的度数是 ． 【变式训练】 1．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少 ，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 2．在 中， ， ，点D在边 上（不与B、C重合），连接 ，若 是等 腰三角形，则 的度数为___________．【易错三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 例题：已知 中， ， ，若 沿射线 方向平移m个单位得到 ， 顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【变式训练】 1．在 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的动点 将 沿 直线 翻折，使点 的对应点 恰好落在边 上 若 是等腰三角形，则 的长是 ． 【易错四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 ( ) A． B． C． 或 D．无法确定 【变式训练】 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么这个三角形的顶角为（ ） A． B． C． D． 或 2．在 中， ， 是 边上的高， ，则 ． 3．在 中， ， 上的中线 把三角形的周长分成 和 两部分，则底边 的长为 ______． 压轴专练 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：已知，在 中， ， ，点 是 的中点，作 ，使得射线 与射线 分别交射线 ， 于点 ， ． (1)如图1，当点 在线段 上时，线段 与线段 的数量关系是___________；(2)如图2，当点 在线段 的延长线上时，用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系并加以证明． 【变式训练】 1．如图1，在 中， ， ，点P是斜边 的中点，点D，E分别在边 上， 连接 ，若 ． (1)求证： ； (2)若点D，E分别在边 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下， 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出 的度数（不用说 理）；若不能，请说明理由． 2．在 中， ， ，点O为 的中点． (1)若 ，两边分别交 于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边 和 上时，求证： ；②如图2，当点E，F分别在 和 的延长线上时，连接 ，若 ，则 ． (2)如图3，若 ，两边分别交边 于E，交 的延长线于F，连接 ，若 ，试 求 的长． 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． (1)求证：BD＝CE； (2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【变式训练】 1．如图， 与△BCA均为等腰三角形， ，且 ， 为 延长线上一点， ． (1)若 ，求 的度数； (2)求证： ； (3)若 ， ， ，求 的面积（用含 ， ， 的式子表示）．2．已知在 中， ，且 = ．作 ，使得 ． (1)如图1，若 与 互余，则 =__________(用含 的代数式表示)； (2)如图2，若 与 互补，过点 作 于点 ，求证： ； (3)若由 与 的面积相等，则 与 满足什么关系？请直接写出你的结论数． 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：如图，在 中， 平分 ， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于 ， 交 于 ，交 的延长线于 ． 求证： (1) ； (2) ．【变式训练】 1．如图： (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点A为 上一点，过点A作 ，垂足为C，延长 交 于点B，可根据 证明 ，则 ， （即点C为 的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等 的办法，可求得 ． (3)【拓展延伸】 如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，试 探究 和 的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的角平分线 ；②过点A作 于D．已知 ， ， 面积为20，则划出的 的面积是多少？请直接写出答案． 【题型四 共顶点的等边三角形问题】例题：如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M， 连接CE交AD于N，连接MN． (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【变式训练】 1．如图，点C为线段 上一点， 、 都是等边三角形， 、 交于点M， 、 交于 点 ， 、 交于点 ，连接 ，下列说法正确的个数有 个． ① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则 ． 2．如图，C为线段 上一动点（不与点A，E重合），在 同侧分别作等边 和等边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连结 ．求证：(1) ； (2) 为等边三角形； 【题型五 共顶点的等腰直角三角形问题】 例题：如图，ABC和△DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE 90． (1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是________，位置关系是 ________． (2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；△DCE C AC5 CE2 2 A E D (3)【拓展】：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，当 ， ， 三点在同一直线 上时，则AE的长是________． 【变式训练】 1．如图，在等腰直角三角形ABC和DEC中，BCADCE90，点E在边AB上，ED与AC交于点 F，连接AD． (1)求证：△BCE≌△ACD； (2)求证：ABAD． 2．（1）问题发现：如图1，ABC与CDE均为等腰直角三角形，ACBDCE 90，则线段AE、 BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，请判断 ADB的度数及线段CM ，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【题型六 共顶点的一般等腰三角形问题】 例题：如图，ABC与CDE都是等腰三角形，AC BC，CDCE，ACBDCE 42，AD、BE相交 于点M ． (1)试说明：ADBE； (2)求AMB的度数． 【变式训练】 1．如图，已知ABC中，AB AC BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD． 等腰三角形ACE，连接CD、BE． (1)如图1，当BADCAE60时， ①△ABD、△ACE的形状是____________；②求证：BEDC． (2)若BADCAE 60， ①如图2，当AB AD，AC  AE时，BEDC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ABDB，AC EC BEDC ②如图3，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 2．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”． 如图，ABC和CDE为“同源三角形”，AC BC，CDCE，ACB与DCE为“同源角”． (1)如图1，ABC和CDE为“同源三角形”，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”ABC和CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且ACE90，则 EMD______°． ABC CDE AD BE Q (3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取 ， 的中点 ， P CP CQ PQ △PCQ ，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．