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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第十三章 三角形·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
A． B． C． D．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
6．若a、b、c是三角形的三边长，则化简 的结果为（ ）
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D． A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） 7．如图， 的度数（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中
保持稳定，其中蕴含的数学知识是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 中， ， 的平分线交于点 ，连接 ， 平分 ，交 于点 ，
若 的度数为 ，则 的度数为（ ）
A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性
C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点
4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F
在同一条直线上， ．当 时， 的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点 为线段 上一点，分别以 、 为边在线段 同侧作 和 ，且
， ．若 的平分线与 的平分线的交于点 ，则 与 的数量关系
为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是 的平分线， 是 的邻补角的平分线， ， ，则
的度数为（ ）A． B．
C． D．
10．设 的面积为1．如图①， 分别是 的中点， 相交于点 与 的
面积差记为 ；如图②， 分别是 的3等分点， 相交于点 ， 与 的面 14．如图，在 中， ， ，D、E分别在 、 上，将 沿 折叠得
，且满足 ，则 ．
积差记为 ；如图③， 分别是 的4等分点， 相交于点 与 的面积差
记为 ，依此类推，则 的值为（ ）
15．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为 ，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，
其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形 中， ，边 是特征边，那么边
的长为 ．
A． B． C． D． 16．如图，在三角形 中， ， 是锐角，将三角形 沿着射线 方向平移得到三
角形 （平移后点 ， ， 的对应点分别是 ， ， ），连接 ，若在整个平移过程中，
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
和 的度数之间存在3倍关系，则 ．
11．一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 ．
12．如图， 分别是 的高和角平分线，若 ， ，则 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．已知三角形的三条边长为 和 ．
(1)若6是最短边长．求 的取值范围；
13．如图， 是 的外角 的平分线， 交 的延长线于点 ，已知 ，则 (2)若 为整数，求三角形周长的最大值．
的度数是 ．
18．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成
下列画图．21．如图，在 中， 平分 交 于点 ．
(1)画出 的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使 与 的面积相等． (1)若点 为线段 上的一个点，过点 作 交 的延长线于点 ．
①若 ， ，则 ___________ ；
②写出 与 、 之间的数量关系，并说明理由．
19．如图，在 中， 是高， 是 的平分线．
(2)若点 在线段 的延长线上，过点 作 交直线 于点 ，请你直接写出 与
的数量关系__________．
(1)若 ，求：
22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个
内角分别为 ， ， 的三角形是“灵动三角形”．如图， ，在射线 上找一点 ，
① 的度数；
过点 作 交 于点 ，以A为端点作射线 ，交线段 于点 （规定 ）．
② 的度数．
(2)若 ，求 的长．
20．如图，在 中， ，直线 分别交 、 和 的延长线于点 、 、 ．
(1) 的度数为_____°， _____．（填“是”或“不是”灵动三角形）．
(2)若 ， 是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由．
(3)当 为“灵动三角形”时，直接写出 的度数．
(1)若 ， ，则 ________．
(2)猜想 与 的关系，并说明理由．
(3)在线段 上取一点 ，使得 ，连接 ，判断 与 的位置关系，并说明理由．
23．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：
，请你说明理由；【尝试应用】（2）如图2， 、 分别平分 、 ，若 ， ，求 的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，已知 ， ， ， ，其中 ，且
为整数，请利用上述结论或方法直接写出 的度数．（用含n， ， 的代数式表示）
24．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象 25．【问题探究】
地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究 、 、 、 之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】
①如图2，已知 ，求 的度数；
（1）已知：如图1，在 中， ， ， 分别平分 和 ， 的度数是
【拓展延伸】
______．
②如图3，已知 ，求 的度数．
（2）已知：如图2， 与 分别是 的两个外角，且 ，则 ______．
【拓展与应用】
（3）如图3，在四边形 中， 为四边形 的 的平分线及外角 的平分线所在的直
线构成的锐角，若设 ， ，求 的度数；（用含 ， 的式子表示）
（4）如图4． 平分 ， 平分 ，把 折叠，使点A与点I重合，若 ，则
______．
