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第十三章 三角形（复习讲义）
1. 了解三角形的定义、分类（按边、按角），体会三角形概念、分类及各性质间的整体联系。
2. 能用三角形三边关系（两边和大于第三边、两边差小于第三边）判断线段能否构成三角形。
3. 理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能识别并运用它们进行相关线段计算。
4. 掌握三角形内角和定理（内角和为180°），会利用定理及外角性质（外角等于不相邻两内角和、大于
不相邻内角，外角和360°），解决角度计算、证明等问题 。知识点01 三角形的概念及分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
2.三角形的分类
1)按边分类可以分为 ； (2)按角分类可以分为
(
知识点02 三角形中三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
知识点03 三角形的高线、中线、角平分线
三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以
后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表
如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与
从三角形的一个顶点向它的对边所在的 三角形中，连接一个顶点
文字语言 它的对边相交，这个角的顶
直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 和它对边中点的线段．
点与交点之间的线段．
图形语言
过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连接 作∠BAC的平分线 AD，交
作图语言
AD． BC于点D．
标示图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD是△ABC的中线．
1．AD 是△ABC 的角平分
2．AD是△ABC中BC边上的高． 2．AD 是△ABC 中 BC 边 线．
符号语言 上的中线．
3．AD⊥BC于点D． 2．AD 平分∠BAC，交 BC
于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
3．BD＝DC＝ BC
3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
4．点D是BC边的中点．
因 为 AD 是 △ ABC 的 高 ， 所 以 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
AD⊥BC．
推理语言
(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段相等．2．面积相
用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 角度相等．
等．
1．与边的垂线不同．
注意事项 — 与角的平分线不同．
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的延长线)交于 一个三角形有三条中线， 一个三角形有三条角平分
重要特征 一点． 它们交于三角形内一点． 线，它们交于三角形内一
点．
知识点04 三角形的内角和定理
（1）定理：三角形三个内角和等于180度；
（2）直角三角形的两个锐角互余.
知识点05 三角形的外角性质
（1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个）
（2）外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角；
三角形外角和为360度.
题型一 判断三边是否能构成三角形
【例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1
【答案】C
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意；B、∵ ，
∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、∵ ，
∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意；
D、∵ ，
∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；因此此题可根据
“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行求解．
【详解】解：A、 ，不能构成三角形，故不符合题意；
B、 ，不能构成三角形，故不符合题意；
C、 ，不能构成三角形，故不符合题意；
D、 ，能构成三角形，故符合题意；
故选D．
【变式1-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个
三角形的是（ ）
A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行
分析即可．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条
较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】解：A、 ，不能组成三角形，故此选项错误；
B、 ，能组成三角形，故此选项正确；
C、 ，不能组成三角形，故此选项错误；
D、 ，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．【变式1-3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的
是（ ）
A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，能构成三角形，不符合题意；
B、 ，能构成三角形，不符合题意；
C、 ，能构成三角形，不符合题意；
D、 ，不能构成三角形，符合题意；
故答案为：D．
题型二 三角形的稳定性
【例2】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉及的数学原理是（ ）
A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性定义是解题的关键．
根据三角形的稳定性进行作答即可．
【详解】解：图中的自行车的几根梁合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理．
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很
多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（
）A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度
C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题
的关键．
【详解】解：这是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
【变式2-2】（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改
变．
本题考查三角形的稳定性，关键在于熟记三角形具有稳定性的特征．
【详解】解：根据三角形的稳定性可得A、B、D都具有稳定性，不具有稳定性的是C选项．
故选：C．
【变式2-3】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，
全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世
界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，
其蕴含的数学道理是（ ）A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、
房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定
性回答．
【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性．
故选：A
题型三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围
【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围
．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】设第三边长为m，根据题意，得 即 ，解答即可．
本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．
【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得 即 ，
故答案为： ．
【变式3-1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）若 为三角形三边长，且 满足 ，
则第三边长 可能是 ．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三
边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出 、 的值，再由三角形的三
边关系即可得出结论．
【详解】解： 、 满足 ，
， ，
， ，
为三角形的三边长，，即 ，
第三边长 可能是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为 和 ，
他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为 ，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
第三边是解题的关键．
直接利用三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由三角形三边关系定理得： ，即 ．
故答案为： ．
【变式3-3】已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶
数，则 ，此时三角形的形状是 三角形．
【答案】 5 等腰
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于
第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系确定a的取值范围，即可求解．
【详解】解：一个三角形的三边长为2，5，a，
则 ，即 ，
若此三角形的周长为偶数，则 ，
此时三角形的形状是等腰三角形，
故答案为： ，5，等腰．
题型四 判断是否三角形的高线
【例4】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示， 中 边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了画高线，
过点C作 ，交 的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作．
【详解】解：如图所示，过点C作 ，交 的延长线于点H，则 即为所求作的高线．
故选：B．
【变式4-1】（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，作 边上的高，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的作法成为解题的关键．
根据三角形高的定义，过A点作 的垂线即可解答．
【详解】解：作 边上的高，作图中正确为：
故选：C．
【变式4-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 中， 边上的高是（ ）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】D
【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在 中， 边上的高是过点A向直线 所作的垂线段，
据此可得答案．
【详解】解：由三角形高的定义可知，在 中， 边上的高是线段 ，
故选：D．
【变式4-3】如图， ，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是
（ ）
A． 是 的高 B． 是 的高
C． 是 的高 D． 是 的高
【答案】C
【知识点】画三角形的高
【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ， 是 的高，正确，不符合题意；
B、 ， 是 的高，正确，不符合题意；
C、 ， 不是 的高，原说法错误，符合题意；
D、 ，则： ，故 是 的高，正确，不符合题意；
故选C．题型五 根据三角形的中线求解
【例5】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ， 为中线，则
与 的周长之差的值为 ．
【答案】
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．
根据三角形中线的定义得到 ，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 的周长之差为： ，
故答案为： ．
【变式5-1】如图， ， 分别为 ， 的中点，若 的面积为 ，则 的面积是 ．
【答案】 /
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．
根据三角形中线平分三角形的面积即可得 ．
【详解】解： ， 分别为 ， 的中点，
即 是 的中线， 是 的中线，，
．
故答案为： ．
【变式5-2】（1）在 中， 是 的平分线， 是 边上的中线．若 ，则
；若 ，则 ．
（2）在 中， ， 是边 上的中线， 的周长为 ， 的周长为 ，
则 ．
【答案】 /80度 3
【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可；
（2）由 是边 上的中线，可得 ，由题意知， 的周长为
， 的周长为 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线， ，
∴ ，
故答案为： ，3；
（2）解：∵ 是边 上的中线，
∴ ，
由题意知， 的周长为 ， 的周长为 ，
∴ ， ，
故答案为： ．
【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在 中， 是 边上的中线， ，
与 交于点F，若 的面积等于16．（1） 的面积为 ；
（2）设 的面积为m， 的面积为n，则 ．
【答案】 4 /
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键．
（1）设 边上的高为h，根据题意，得 ， ，结合 得
，代入计算即可．
（2）根据 是 边上的中线， 的面积等于16，得到 ，结合 的
面积为m， 的面积为n，得到 即 ，连接 ，根据 ，得到
，根据 是 边上的中线， ，继而得到 ，得到 ，
代入解答即可．
【详解】（1）解：设 边上的高为h，根据题意，得 ，
，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4．
（2）解：根据 是 边上的中线， 的面积等于16，得到 ，
又 的面积为m， 的面积为n，得到 即 ，
如图，连接 ，根据 ，得到 ，
又 是 边上的中线， ，
故 ，
解得 ，
故 ．
故答案为： ．
题型六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积
【例6】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的三个
顶点都在格点上．
(1)画出 边上的高 和中线 ；
(2)画出 边上的高 ，并直接写出 的长（提示： 的长等于5）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积
【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，
（1）取格点D，连接 即为 边上的高；取格点H，连接 交 于点E，中线 即为所求；（2）取格点G，连接 交 的延长线于点F，高 即为所求，然后根据面积法求解即可．
【详解】（1）如图所示，高 和中线 即为所求；
（2）如图所示， 边上的高 即为所求；
∵ 的长等于5
∴
∴
∴ ．
【变式6-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每
个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．
(1) 的面积 ______；
(2)只用直尺画出 的高 ；
(3)只用直尺过点C画 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析【知识点】利用网格求三角形面积、画三角形的高、用直尺、三角板画平行线
【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键．
（1） 的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得；
（2）取格点 ，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可；
（3）借助网格，结合平行线的判定画图即可．
【详解】（1） ．
故答案为： ．
（2）解：如图，取点E，连接 ，交 于点H， 即为 的高．
（3）解：如图，取点D，连接 ， 即为所求作．
【变式6-2】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为 的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，小正方形的顶点叫做格点．已知 的三个顶点均在格点上，按要求解答：
(1)请画出 的边 上的高 ；
(2)连接格点，用一条线段将 分成面积相等的两部分（直接画图即可）；
(3)直接写出 的面积为__________．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(3)10
【知识点】根据三角形中线求面积、利用网格求三角形面积、画三角形的高
【分析】本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
（1）过点 画 的垂线段即可， 的高 如图所示．
（2）取 的中点 ，如图线段 将 分成面积相等的两部分．
（3）根据 计算即可．
【详解】（1）解： 的高 如图所示．
（2）解：如图线段 将 分成面积相等的两部分．
（3）解： ．
故答案为10．
【变式6-3】图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点
A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹．(1) 的面积为______，
(2)在图①中，过点C作线段 ，使点D为格点；
(3)在图②中，过点B作 的垂线段 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画三角形的高、平行线的性质在生活中的应用、无刻度直尺作图、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了网格中应用与设计作图，平行线、三角形高的作法，三角形面积求法，灵活应用所学
知识解决问题．
（1）利用割补法计算即可；
（2）取格点D，作直线 即可；
（2）取格点F，连接 ，由网格线的特点得 ，同理（2）取格点G，作直线 交直线
于点E即可；
【详解】（1）解： ；
（2）解：如图所示，直线 为所求：
（3）解：如图所示，线段 为所求：题型七 利用三角形的中线、高线、角平分线求
解
【例7】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 中， 是中线， ， ．
(1)求 与 的周长差．
(2)点E在边 上，连接 ，若 与四边形 的周长相等，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1） 的周长 ， 的周长 ，由中线的定义可得 ，即可
解答；
（2）由图可知 的周长 ，四边形 的周长 ， ，所以
，则可解得 长．
【详解】（1）解： 的周长 ， 的周长 ，
∵ 是中线，
∴ ，
∴ 与 的周长差： ；
（2）解：由图可知： 的周长 ，四边形 的周长 ，
又∵ 的周长与四边形 的周长相等，D是 的中点，∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式7-1】（23-24七年级下·四川达州·期中）如图， 中， ， 于 ， 平分
交 于 ．
(1)当 ， 时，求 的度数；
(2)猜想： 与 有什么关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识
是解题关键．
（1）首先利用三角形内角和定理解得 的值，结合 平分 易知 ，再求得
的值，利用 求解即可；
（2）结合三角形内角和定理、三角形的高和角平分的定义可知， ，再推导
，然后根据 即可获得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
（2） ，理由如下：
解：∵ 分别是 的高和角平分线，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ．
【变式7-2】如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 是高线．
(1)如果 ，求 的长；
(2)如果 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查三角形的高、中线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高、中线、角平
分线定义是解题的关键．
（1）根据三角形中线定义求解即可．
（2）先根据三角形内角和定理求出 ，再根据三角形角平分线定义求得 ，
然后由 是高线，则可求得 ，即可由 求解．
【详解】（1）解：因为 是 的中线，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）解：因为 ，
所以 ．
因为 是 的角平分线，所以 ．
因为 是 的高线，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【变式7-3】在 中， ， 为直线 上任意一点，连结 ， 于点 ，
于点 ． 为 边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分）
【画图探究】（1）如图①，当点 在边 上时，请画出 ，猜想 ， ， 之间的数量关系并证
明．
【运用】（2）如图②，当点 为 中点时， 与 的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点 在 的延长线上时， 、 、 之间的数量关系为___________；
【答案】（1）作图见解析； ，证明见解析；（2） ，理由见解析；（3）
，理由见解析
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、画三角形的高
【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，
（1）过点 作 交 于一点 ，再根据 列式化简，即可得证；
（2）同理得 ，根据点 为 中点时得 ，继而推
出 ，可得结论；
（3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论．
解题的关键是熟练运用数形结合思想．
【详解】解：（1）依题意， 边上的高 如下图所示：， ， 之间的数量关系： ．
证明：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 与 的数量关系为： ．
理由：如图，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 为 中点时，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3） ， ， 之间的数量关系： ．
理由：如图，过点 作 交 于点 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型八 利用三角形的内角和求角的度数
【例8】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图， ， ， ，则 的度
数为 ．
【答案】
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解
题的关键．根据三角形内角和定理求出 ，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
．
故答案为： ．
【变式8-1】已知：如图，在 中， ， ，若 ，则 ．【答案】 /26度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性
质即可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【变式8-2】在 中， 为边 上的高， ， ，则 是 度．
【答案】 或
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查直角三角形的性质及与三角形高相关的问题，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．
根据题意，由于 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部
讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：可知 ，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
综上所述： 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式8-3】将一副直角三角板如图放置．已知 ，当 时， 的度数为
．
【答案】 /75度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、对顶角相等
【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，对顶角的性质．证明 ，可得结论．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型九 利用三角形的外角求角的度数
【例9】如图， ， ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】根据 ，则 ，再根据三角形的外角，则 ，即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的外角．
【变式9-1】在 中， ．现进行第一次操作：如图1作射线 ，使得 ，作
射线 ，使得 ．再进行第二次操作：如图2作射线 ，使得 ，作射线 ，使得 ．再进行第三次操作：如图3作射线 使得 ，作射线
，使得 ．则 ．
【答案】 / 度
【分析】根据三角形的外角定理和角平分线的定义推出 ，根据 ，
得出 ，最后根据三角形的内角和得出 ，同理可得： ，
，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，同理可得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180
度和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解此题的关键．
【变式9-2】在 中， 的平分线与 的外角 的平分线交于点E．
(1)如图①，若 ，则 ________；如图②，若 ，则 _______；如图③，若
，则 ________；
(2)根据以上求解的过程，你发现 与 之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请
说明理由（借助图①）．
【答案】(1) ， ，
(2)有，
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，
，再根据角平分线的定义可得 ， ，然后整理得到
，再分别代入数据进行计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，
，再根据角平分线的定义可得 ， ，然后整理得到
．
【详解】（1）解：（1）由三角形的外角性质得， ， ，
的平分线与 的外角 的平分线交于点 ，， ，
，
，
若 时， ；
若 时， ，
若 时， ；
故答案为： ， ， ；
（2）解：由三角形的外角性质得， ， ，
的平分线与 的外角 的平分线交于点 ，
， ，
，
．
【变式9-3】（1）如图1，在 中， 平分 ，P为线段 上的一点， 于P交直线
于点E，交直线 、 于F、G，若 ， 时， ______度；
（2）如图2， 平分 的外角，其余条件不变，若 ， ，求 的度数；（用含
有 ， 的式子表示）．
【答案】（1）10；（2）
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得 的度数，再根据角平分线的定义求得 的度数，
从而根据三角形的外角性质即可求出 的度数，进一步求得 的度数；（2）根据三角形的外角性质即可求出 的度数，再根据角平分线的定义求得 的度数，在
中根据三角形的内角和定理求得 的度数，进一步求得 的度数．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：10；
（2）根据三角形的外角性质： ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，
正确的识别图形是解题的关键．
基础巩固通关测
一、单选题
1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9【答案】D
【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边”．
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即
可．
【详解】A．2，3，5：最小两边和为 ，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三
角形；
B．3，5，9：最小两边和为 ，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形；
C．3，6，9：最小两边和为 ，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形；
D．3，7，9：最小两边和为 ，大于最大边9，满足条件，能组成三角形．
故选D．
2．下列关于三角形的性质描述错误的是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．三角形的高线不一定在三角形的内部
C．三角形的外角和为360°
D．三角形的一个外角等于两个内角之和
【答案】D
【详解】本题考查三角形的基本性质，需逐一分析各选项的正确性．
【分析】三角形三边确定后形状唯一，具有稳定性，故A正确．
钝角三角形的高线可能位于外部，直角三角形的高线在边上，因此高线不一定在内部，故B正确．
三角形每个顶点处取一个外角，三个外角的和为360°，故C正确．
三角形的一个外角应等于与它不相邻的两个内角之和，而非任意两个内角之和，若未强调“不相邻”，故
D错误．
故选D．
3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则
第三根小棒的长度可以是（ ）A．2 B．3或5 C．4或5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是 ，根据题意，可得 ，再由图中挡板
高度进一步确定 ，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键．
【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为 ，一根小棒的长度为 ，
设第三根小棒的长度是 ，若三根小棒可以围成三角形，
则由三角形三边关系可知 ，
即 ，
再由图中挡板高度为 ，则 ，
结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，
故选：C．
4．如图，D为 内一点， 平分 ， ， ，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于 是解
题关键．由垂线的定义可得 ，再由三角形内角和定理得到 ，由角平分线的定义得到
，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解： ，
，
，，
平分 ，
，
，
，
，
，
故选：C
5．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面，靠背 与支架 平行，
前支架 与后支架 分别与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，当前支架 与后支架 正
好垂直， 时，人躺着最舒服，则此时扶手 与靠背 的夹角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据题意求出 ，继而得到 ，推出
，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
故选：B．二、填空题
6．在 中，若 ，则 是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题主要考查三角形的内角和，根据题意已知三个角有一定关系，再根据三角形内角和的关系，
即其中一个角为 ，进而可判断出 为直角三角形．
【详解】解：∵ ，
又 ，
∴ ，
即 ，
∴ 为直角三角形；
故答案为：直角．
7．已知三角形的三边分别为 ，则a的整数值可能是 ．（填一种即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据题意得： ，即 ，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得： ，即 ，
所以a的整数值可能是3，4，5，
故答案为：3（答案不唯一）
8．如图，在 中， 平分 ， 平分 ，如果 ，那么 °．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
利用三角形内角和定理求出 ，再根据三等分线的定义求出 ，即可求出 ．
【详解】 ，
∴ ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴∴ ，
故答案为： ．
9．如图， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中
线，连接 ， ．若 的面积是 ，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌
握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵ 是 的边 上的中线，
∴ ，
∵ 是 的边 上的中线，即有 是 的边 上的中线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的边 上的中线，即有 是 的边 上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．
10．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．
例如，三个内角分别为 的三角形是“三倍角三角形”．若 是“三倍角三角形”，且
，则 中最小内角的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确理解题意是解题的关键．由题意得 ，设最小的内角为 ，进而分类讨论求解即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴设最小的内角为 ，
当 时， ；
当 时， ，不合题意；
当 时， ，另一个内角为 ，符合题意；
中最小内角的度数为 或 ，
∴故答案为： 或 ．
三、解答题
11．用一条长 的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为 ，第二条边长比第一条边长的 倍少
．
(1)用含 的式子表示第三条边长；
(2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长．
【答案】(1)
(2) ， ，
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系
进行判断；
（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；
（2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于x的方程，再根据三角形三边关系判
断能否构成三角形；
【详解】（1）解： 第二条边长为 ，
第三条边长为 ；
（2）解：当 时， ，故三角形的三条边长为 ， ， ，
由 ，得 ， ， 不能组成三角形；
当 时， ，故三角形的三条边长为 ，
由 ，得 不能组成三角形；
当 时， ，故三角形的三条边长为 ，由 ，得 可组
成等腰三角形，等腰三角形的三边长为 ．
12．如图， 是 的平分线，过点 作 的平行线，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2) 是线段 上一点（不与 ， 两点重合），连接 ．若 ， ，求 的度
数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及平行线的性质：
（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可求证；
（2）根据三角形外角的性质解答即可。
【详解】（1）证明： 是 的平分线，
．
，
．
．
（2）解： ，
．
是 的外角，
．
，
．
．
13．如图，点C，F，D在同一条直线上， ， ，垂足分别E，B， 与 交于点O．(1)求证： ；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌
握以上知识点．
（1）证明出 ，即可得到 ；
（2）由 求出 ，由角平分线求出 ，然
后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴
∴ ；
（2）∵ ，
∴
∵ 平分 ，
∴
∴ ．
14．定义：若三角形的两个内角 与 满足 ，则称该三角形为“准互余三角形”， 与 为
“准互余角”．
(1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）．， ， ； ， ， ； ， ， ．
(2)若 为“准互余三角形”， ， 和 是“准互余角”，求 的度数．
(3)如图，在 中， ，若 平分 ，试说明 是“准互余三角形”．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)见解析．
【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解
题的关键．
（1）根据“准互余三角形”即可求解；
（ ）根据“准互余三角形”可得 ，然后通过三角形内角和定理即可求解；
（ ）根据“准互余三角形”进行求证即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
， ， ，不符合题意；
，能构成“准互余三角形”；
，能构成“准互余三角形”；
故选： ；
（2）解：因为 为“准互余三角形”， 和 是“准互余角”， ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ；
（3）解：因为 平分 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是“准互余三角形”．能力提升进阶练
一、单选题
1．三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，即构成三角形的条件—“两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边”，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，
再进一步找到符合条件的数值．
【详解】解：设这个三角形的第三边长为 ，
根据三角形的三边关系定理，得： ，
解得 ，
在四个选项的数值中，只有数值3符合，
故选：B．
2．如图，已知直线 ，三角板 的直角顶点 放在直线 上， ， ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质．由对顶角相等可得 ，再根
据三角形内角和为180度求出 ，再根据两直线平行、同位角相等，可得 ，结合
即可求解．
【详解】解：如图，，
，
，
，
，
，
，
，
故选C．
3．如图， 的面积为2，分别延长 至点D，使 ，延长 至点E，使 ，延长
至点F，使 ，依次连接 ，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接 ，可得 ，即得
，进而得到 ，同理可得 ， ，再根据
即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ， ，
∴ ，
故选：D．
4．如图， 和 的平分线交于点 ，连接 的外角 的平分线与 的延长线交于
点 交 于点 ．下列四个结论：① ；② ；③
；④ ．其中所有正确的结论有（ ）
A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据 和 的平分线交于点 ，得出 平分 ，求出
，证明 ，根据平行线的判定得出
，说明①正确；根据角平分线和三角形外角的性质求出 ，根据，得出 ，判定②错误；先求出
， ，得出
，判定③正确；根据 ，
，即可判定④正确．
【详解】解：∵ 和 的平分线交于点 ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
∵ ， ，∴
，
，
∵
，
∴ ，故③正确；
∵ ，
，
∴ ，故④正确；
综上分析可知，正确的有①③④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质，平行线的判定，
解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质．
5．如图，在 中， ， ， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交
于点 ，交 于点 ，下面说法正确的是（ ）
① ；② 的周长 的周长 ；③ ；④ ；
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的角平分线，中线，高．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据勾股定理可判断①；根据 的周长 的周长为 ，
可判断②；利用面解法求出 的长可判断③；根据余角和对顶角的性质可判断④．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，故①正确，符合题意；
②∵ 是中线，
∴ ，
∴ 的周长 的周长 ，故②正确，符合要求；
③∵ ，
∴ ，\
∴ ，故③正确，符合题意；
④∵ 是高， 是角平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确，符合题意．
故选A．
二、填空题
6．如图，已知 ， ， ， ， ，则点 到 边的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查点到直线的距离，根据面积相等即可求出点C到 的距离．
【详解】解：如图，作 于点D，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C到边的距离是 ．
故答案为： ．
7．如图， 的两个外角平分线交于点 ，若 ，则 的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形外角的性质及角平分线的定义，掌握其性质是解决此题的关键．
根据三角形的外角性质及三角形的内角和定理得到 ；
再由角平分线的定义可得 ，在 中，结合三角形的内角和定理及
的度数 即可求解．
【详解】如图所示：， ，
，
是 的外角平分线， 是 的外角平分线，
， ，
，
，
，
解得： ，
故答案为：
8．如图， 于点 ， 于点 ，点 在线段 上，且 ． 、 分别平分
和 ，则 的度数是 ．
【答案】 /45度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用及角平分线的定义，熟知相关知识点，
正确添加辅助线是正确解答此题的关键．
过点 作 ，根据平行公理的推论证明 ，根据平行线的性质证明 ，
，根据 于点 ， 于点 ，点 在线段 上， 推出
，即可求解．
【详解】解：过点 作 ，， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、 分别平分 和 ，
， ，
，
，
， ，
．
9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若 是“倍
长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ．
【答案】3或8
【分析】本题考查三角形三边关系．
分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案．
【详解】解：设三角形第三边的长是x，
由三角形三边关系定理得到 ，
∴ ，
若 ，则 ；
若 ，则 ；若 ，则 ；
若 ，则 ；
∵ ，
∴三角形第三边的长是3或8．
故答案为：3或8．
10．如图，已知 中， ，O为 内一点，且 ，其中 平分 ， 平
分 ， 平分 ， 平分 ，…， 平分 ， 平分 ，…，以此
类推，则 °， °．
【答案】 110
【分析】先根据三角形的内角和定理可得 的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和
定理即可求出 的度数，同样的方法求出 的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出
答案．
【详解】解：如图， ，
，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
，，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
，
，
，
，
，
归纳类推得： ，其中 为正整数，
则 ，
故答案为：110， ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
三、解答题
11．在 中， ．(1)求 长度的取值范围；
(2)若 的周长为偶数，求 的周长，并判断此时 的形状．
【答案】(1)
(2) 的周长为16，是等腰三角形
【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类：
（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；
（2）根据（1）中的范围，结合 的周长为偶数，得到 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在 中，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 的周长为偶数， 为奇数，
∴ 的长为奇数，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，是等腰三角形．
12．如图，在 中， ， 分别是 的中线和高， 是 的角平分线．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 面积为40， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关
键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出 ，再利用角平分线定义得到 ，然后根
据高的定义和互余两角的性质求出 的度数；
（2）先根据题意得到 ，然后利用三角形面积公式求 的长．
【详解】（1）解：∵ ，，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 为高，
，
．
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
13．已知 的三边长分别为a，b，c．
(1)化简式子 ；
(2)若 ， ， ．
①x的取值范围是 ；
②当 为等腰三角形时，求a，b，c的值．
【答案】(1)
(2)① ；② ， ， 的值为13，13，7
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系．
（1）由三角形三边关系定理得： ， ，即可化简 ；
（2）①由三角形三边关系定理列出不等式组，再求解即可；
②分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得： ， ，
，
故答案为： ；
（2）解：① ， ， ，，
，
故答案为： ；
②分以下三种情况：
如果 的腰是 ， ，则 ，
，
， ，
， ， 符合三角形三边关系；
如果 的腰是 ， ，则 ，
，
， ，
， ， 不能组成三角形；
如果 的腰是 ， ，则 ，此时无解；
综上， ， ， 的值为13，13，7．
14．如图1， 是 的角平分线，E为射线 上一点，过点E作 ，垂足为点F．
(1)若 ，且点E在线段 上．
① _______ ，理由是________；
②若 平分 交 于点H，求证： ；
(2)如图2，若点E在线段 的延长线上， 平分 交 的延长线于点I，用等式表示 与 的
数量关系，并证明．
【答案】(1)①90，直角三角形的两个锐角互余 ②证明见解析
(2) ；证明见解析
【分析】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论；②先证明 ，再利用三角形外角的性质证明 ，进而可证 ；
（2）设 ， ，由三角形外角的性质得出 ，
，消去x，y即可求解．
【详解】（1）①∵ ，
∴ ，理由是直角三角形的两个锐角互余．
故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余；
②证明： 平分 ，
，
， ，
， ，
，
又 ，
，
．
平分 ，
，
，
．
（2） ，理由如下：
， 分别平分 ， ，
设 ， ，
，
即 ，①
，
即 ，②
由① ②，得 ，
即 ．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定，
正确的识别图形是解题的关键．
15．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．(1)如图1，在 中， ， ， ， ， ，垂足为点 ，则 的
长是_______；
(2)如图2，在 中， ， ，则 的高 与 的比是________；
(3)如图3，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，
， ，垂足分别为点 ， ．若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．
（1）根据题意可得 ，即可求解；
（2）根据题意可得 ，即可求解；
（3）根据可得 ，再由 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故答案为： ；
（3）解：∵ ，
且 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
16．如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．
(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图 中 与 ， ， 之间的关系，并说明理由；
(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
如图 ，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 ， 恰好经过点 ， ，若
，则 ______ ；
如图 ， ， 的三等分线 ， 相交于点 ，若 ， ，求
的度数．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) ； ．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据三角形的内角和定理即可求解；
（ ） 根据（ ）中结论即可求解；
设 ， ，根据（ ）中结论即可求解．
【详解】（1）解： ，理由：
连接 ，在 中，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）解： 由（ ）得 ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
如图，设 ， ，
由（ ）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
17．综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在 中， 与 的平分线相交于点 ，猜想
与 的数量关系，并说明理由．
独立思考
（1）请解答老师提出的问题．
深入探究
（2）希望小组受此问题的启发继续探究，如图2， 与 的一个外角 的平分线交于点 ，
判断 与 的数量关系，并加以证明．
（3）智慧小组突发奇想提出一个问题：如图3， ， 分别是外角 与外角 的平分线，， 相交于点 ，请直接写出 与 的数量关系，不需要证明．
【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用整体思想，结合三角形内角
和关系转化为方程的形式求解．
（1）根据角平分线，利用 和 的内角和为 进行角度转化可得结论；
（2）设 ， ，根据角平分线，利用 和 的内角和，可得出2个关于 、 、 、
的等式： ， ，再进行整体代换即可；
（3）设 ， ，根据角平分线，利用 和 的内角和，可得出2个关于 、 、
、 的等式： ， ，再进行整体代换即可．
【详解】解：（1）如图，
∵ 、 分别时 和 的角平分线
∴ ， ，
在 中， ，即： ，
在 中， ，即： ，代入上式得：
即： ；
（2） ，理由如下：
如图，
设 ， ，
∵ 是 与外角 的平分线 和 的交点
∴ ， ， ，
∴在 中， ，即： ，
在 中， ，即： ，
代入上式得： ，
即： ；
（3） ，理由如下：
设 ， ，
∵ 是外角 与外角 的平分线 和 的交点，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
即： ，
在 中， ，即： ，
代入上式得： ，即： ．
18．如图，在 中，点D在 延长线上，过点C向上作射线 ，使得 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点E在 边上，点F在射线 上， ， ，求 的度数；
(3)点G在 边上，点H，N在射线 上，连接 ， ， 的平分线 所在的直线与 的
平分线相交于点P．
①如图3，当 的反向延长线与 的平分线交于点P时，猜想 与 之间的数量关系，并
加以证明；
②如图4，当 与 的平分线交于点P时，直接写出 与 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①猜想： ，见解析；②
【分析】（1）由内错角相等可得结论；
（2）先证明 ，可得 ，可得
，结合 ，可得答案；
（3）①如图，过G作 交 于点R，延长 交 于点K，设 ，可得
，设 ，可得 ，证明 ，
，可得 ，即 ；
②设 ，可得 ，设 ，可得 ，过 作 ，而
，求解 ，作 ，同理可得： ，，从而可得结论.
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ， ，
，
， ，
，
，
，
，
；
（3）解：①猜想： ，
证明：如图，过G作 交 于点R，延长 交 于点K，
，
，
平分 ，
设 ，
，
平分 ，
设 ，
，
，
，
，
，，
，即 ，
，
，
，
，即 ；
② ，理如下：
设 ，
，
设 ，
，
过 作 ，而 ，
∴ ， ，
∴ ，
作 ，
同理可得： ， ，
∴ ；
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，角的和差运算，三角形的外角
的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
