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专题 13.4 三角形的内角
1. 阐述并验证三角形的内角和定理。并能够利用三角形的内角和熟练的求角度。
教学目标 2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定并加以应用。
3. 能够利用三角形的内角和解决相应的题目。
1. 重点
（1）三角形的内角和及其证明；
（2）直角三角形的性质与判断。
教学重难点
2. 难点
（1）利用三角形的内角和求三角形同一个顶点高线与角平分线的夹角；
（2）三角形的内角和结合折叠求角度问题；知识点01 三角形的内角和定理
1. 三角形内角和定理的内容：
三角形的三个内角之和等于 180° 。
即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180 ° 。
2. 三角形内角和定理的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。
如图：过点A作DE平行于BC。
∵DE∥BC
∴∠B＝ ∠ DAB ；∠C＝ ∠ EAC 。
∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180 ° 。
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180 ° 。
【即学即练1】
1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（ ）
A．50° B．55° C．45° D．40°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝55°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣55°＝125°①，
∵∠A﹣∠B＝35°②，
∴①﹣②得，2∠B＝90°，解得∠B＝45°．
故选：C．
【即学即练2】
2．先看下面的问题：图（1）中，BE∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠A，因为∠ABC+∠1+∠2＝180°．（平
角定义），所以得∠ABC+∠C+∠A＝180°．
（1）你能结合图（2）得到类似的结论吗？请你写出来（其中CD∥AB且过点C）；
（2）你能写出一个与三角形有关的具有一般性的结论吗？联系上面的问题试试看！
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵CD∥AB，
∴∠A+∠ACD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∠2＝∠B，（两直线平行，内错角相等）
又∵∠ACD＝∠ACB+∠2，∴∠ACD＝∠ACB+∠B，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
（2）三角形的三个内角的和等于180°．
【即学即练3】
3．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，
若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】D
【解答】解：根据题意，易得∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°；
如图，设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，
则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°．
故选：D．
知识点02 直角三角形的性质与判定
1. 直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形。用 表示直角三角形ABC。
2. 直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角 互余 。
数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝ 90 ° 。
3. 直角三角形的判定：
有两个角 互余 的三角形是直角三角形。数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是 直角 三角形。
【即学即练1】
4．直角三角形的一个锐角是63°，则它的另一个锐角是（ ）
A．27° B．63° C．117° D．27°或63°
【答案】A
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角是63°，
∴它的另一个锐角是90°﹣63°＝27°，
故选：A．
【即学即练2】
5．将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝
30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠E＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠EAD＝45°，
∵∠FAB+∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵∠ABF＝90°，∠F+∠FAB＝90°，
∴∠F＝90°﹣75°＝15°．
故选：B．
【即学即练3】
6．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④
1 1
∠A= ∠B= ∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
2 3
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，得到180°﹣∠C＝∠C，求出∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，
故①符合题意；
②令∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，得到x+2x+3x＝180°，求出x＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC
是直角三角形，故②符合题意；③由∠A＝∠B＝2∠C，得到2∠C+2∠C+∠C＝180°，求出∠C＝36°，得到∠A＝∠B＝72°，△ABC是
锐角三角形，故③不符合题意；
1 1
④由∠A= ∠B= ∠C，得到∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，由三角形内角和定理求出∠A＝30°，得到
2 3
∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故④符合题意；
1 1 1080
⑤由∠A＝2∠B＝3∠C，得到∠B= ∠A，∠C= ∠A，由三角形内角和定理求出∠A=( )°，
2 3 11
△ABC是钝角三角形，故⑤不符合题意．
∴能确定△ABC为直角三角形的条件有3个．
故选：C．
题型01 利用三角形的内角和求角度
【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（ ）
A．75° B．78° C．80° D．85°
【答案】B
【解答】解：设另两个内角的度数分别为2x，3x，
根据题意得：50°+2x+3x＝180°，
解得：x＝26°，
∴2x＝2×26°＝52°，3x＝3×26°＝78°，
∵50°＜52°＜78°，
∴最大内角的度数是78°．
故选：B．
【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】A
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，且∠A+∠B+∠C＝180°，
2
∴∠A= ×180°＝40°．
2+3+4
故选：A．
【变式2】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（ ）A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝40°，
故选：D．
【变式3】如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝
3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
1
∴∠FBC= ∠ABC，
2
∵∠ABC＝3∠C，
3
∴∠FBC= ∠C，
2
3
设∠C＝x，则∠FBC= x，
2
∵∠EDC＝20°，
∴∠AED＝∠C+∠EDC＝x+20°，
∵∠ADE＝3∠AED，
∴∠ADE＝3x+60°，
∵DF平分∠ADE，
3
∴∠EDF= x+30°，
2
∵∠FDC＝∠F+∠FBC，
3 3
∴ x+30°+20°=∠F+ x，
2 2
∴∠F＝50°．
故选：A．题型02 直角三角形的性质
【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 5 2 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°．
故答案为52．
【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．39° B．51° C．38° D．52°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，
∴∠A＝51°，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝51°，
故选：B．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在
AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
【变式3】如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ 40 ° ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠FCD＝75°，
∴∠A+∠B＝75°，
∵∠A：∠B＝1：2，
1
∴∠A= ×75°＝25°，
3
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CFD＝∠AFE＝65°，
∵∠FCD＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．
故答案为：40°
题型03 直角三角形的判定
【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
【答案】D
【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A
1
＝∠B= ∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以
△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
1 1 1
④因为∠A＝∠B= ∠C，所以∠A+∠B+∠C= ∠C+ ∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是
2 2 2
直角三角形；
1 1 1080°
⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C= ∠A+ ∠A+∠A＝180°，∠A= ，所以△ABC为钝
3 2 11
角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：C．
【变式2】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝
2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
1 1
∴∠A+∠B+∠C= ∠A+ ∠A+∠A＝180°，
2 3
1080
∴∠A＝（ ）°，
11
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
【变式3】在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
③∠A＝2∠B＝3∠C；
④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；
x x x x 1080°
③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B= ，∠C= ，则x+ + =180°，解得x= ，
2 3 2 3 11
1080 540° 360°
∴∠A＝（ ）°，∠B= ，∠C= ，
11 11 11
∴△ABC不是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，
能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，
故选：B．
题型04 三角形的内角和与直角三角板
【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠ ≠∠ 的图形有（ ）
α β
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∠ ＝∠ ＝45°，故不符合题意；
B、根据同角的余角相等，得∠ ＝∠ ，故不符合题意；
α β
C、根据三角尺的特点和摆放位置得：∠ +45°＝180°，∠ +45°＝180°，
α β
∴∠ ＝∠ ，故不符合题意；
α β
D、根据图形可知∠ 与∠ 是邻补角，
α β
∴∠ +∠ ＝180°，∠ ≠∠ ，故符合题意；
α β
故选：D．
α β α β
【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（ ）A．65° B．75° C．85° D．105°
【答案】B
【解答】解：∵将一副三角板按照如图方式摆放，
∴∠BCF＝60°，∠EAD＝45°，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCF﹣∠EAD＝75°，
∴∠BGE＝∠AGC＝75°，
故选：B．
【变式2】将两把含有30°的三角尺按如图所示的方式拼接在一起，则∠CGF的度数为（ ）
A．45° B．30° C．60° D．15°
【答案】B
【解答】解：根据题意得∠ABC＝∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，
∴∠FDE＝60°，
∴∠BGD＝90°﹣∠FDE＝30°，
∴∠CGF＝∠BGD＝30°，
故选：B．
【变式3】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE
上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣90°＝45°．
∵DF∥AB，
∴∠BAD＝∠D＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：D．
题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线
【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE
等于（ ）
A．50° B．40° C．35° D．25°
【答案】D
【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB＝40°，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
1 1
∴∠DAE= ∠CAE= ×50°＝25°．
2 2
故选：D．
【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（
）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1＝40°，
∴∠BAC＝2∠1＝2×40°＝80°．
在△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°．
故选：B．【变式2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝ ，∠C＝ ，则∠DAE＝（ ）
α β
α−β α 90°−α+β 90°+α−β
A． B． −β C． D．
2 2 2 2
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC+∠B+∠C＝180°，∠B＝ ，∠C＝ ，
∴∠BAC＝180°﹣ ﹣ ．
α β
∵AE平分∠BAC，
α β
1 1 1
∴∠CAE= ∠BAC＝90°− α− β．
2 2 2
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣ ，
1 1 α−β
∴∠DAE＝∠CAD β﹣∠CAE＝90°﹣ ﹣（90°− α− β）= ．
2 2 2
故选：A． β
【变式3】如图，钝角△ABC中，∠2为钝角，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，则∠DAE与
∠1、∠2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（ ）
∠2−∠1
A．∠DAE＝∠2﹣∠1 B．∠DAE=
2
∠2 ∠1+∠2
C．∠DAE= −∠1 D．∠DAE=
2 2
【答案】B
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠D＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠1，
∵∠BAC+∠2+∠1＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣∠2，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠CAE= ∠BAC= （180°﹣∠1﹣∠2），
2 2
1 ∠2−∠1
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝90°﹣∠1− （180°﹣∠1﹣∠2）= ，
2 2
故选：B．
题型06 三角形的折叠问题
【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点
B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
【答案】C
【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，
∴△BMN≌△B'MN，
∴∠BMN＝∠B'MN，
∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，
∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，
∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，
故选：C．
【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的
点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】D
【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，根据三角形内角和定理可得：
∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°；
如图，设C'D与BC交于点O，
则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，
则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°．
故选：D．
【变式2】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P
重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，
∴由折叠可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED，
∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°．
∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°，
又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，
1
∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即∠A= (∠1+∠2)=40°，
2
1 1
∵∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
2 2
1 1
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−∠A)，
2 2
1
∴∠BPC=180°−(∠FBC+∠FCB)=90°+ ∠A，
2
1
∴∠BPC=90°+ ×40°=110°．
2
故选：B．
【变式3】如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】A
【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，
∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，
∵∠AEO+∠BEO＝180°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，
∴∠ADE+∠BFE＝128°，
∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，
即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，
∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，
∴∠A+∠B＝142°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．
故选：A．
1．一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是50°和70°，
∴第三个内角的度数是180°﹣50°﹣70°＝60°．
故选：C．
2．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
5
∴∠C＝180°× =100°＞90°，
1+3+5
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．3．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝37°，∠B＝53° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A﹣∠C＝∠B D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
【答案】B
【解答】解：由三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°，
A、∵∠A＝37°，∠B＝53°，
∴∠C＝90°，
故A不符合题意；
B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
则3x+4x+5x＝180°，
解得x＝15，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠A＝∠C+∠B，
∴∠A＝90°，
故C不符合题意；
D、设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝5x°，
则2x+3x+5x＝180°，
解得x＝18，
∴∠A＝36°，∠B＝54°，∠C＝90°，
故D不符合题意．
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD平分∠ACB，
1 1
∴∠1= ∠ACB= ×40°＝20°．
2 2故选：B．
5．两个直角三角板如图摆放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，点B在DE上，若∠ACE
＝2∠BCD，则∠ABE的大小为（ ）
A．75° B．45° C．60° D．65°
【答案】A
【解答】解：设∠BCD＝x，则∠ACE＝2x，
∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，
∴∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝60°﹣x，
∵∠ACB＝90°，
∴2x+60°﹣x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠CBE＝∠D+∠BCD＝90°+30°＝120°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠CBE﹣∠ABC＝120°﹣45°＝75°，
故选：A．
6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD．∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为（ ）
A．28° B．29° C．31° D．32°
【答案】D
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵AD⊥BD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
∴2∠ABD+（90°﹣∠ABD）+∠DAC+∠C＝180°，
即90°+∠ABD+20°+38°＝180°，解得∠ABD＝32°，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
7．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝ ，则∠A＝（ ）
α
A． ﹣90° B．180°﹣ C． ﹣180° D．360°﹣
【答案】C
α α α α
【解答】解：∵∠ADE＝180°﹣∠1，∠AED＝180°﹣∠2，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠1+180°﹣∠2＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣ ，
∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，
α
∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（360°﹣ ）＝ ﹣180°，
故选：C．
α α
8．如图，光线 照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角，
若已知∠1＝45°，∠3＝65°，则∠2的度数为（ ）
α
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【解答】解：根据题意可得，∠4＝∠1＝45°，∠5＝∠3＝65°，∠2＝∠6，
由三角形内角和定理和平角的定义得∠2＝180°﹣45°﹣（180°﹣65°×2）＝85°；
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平
分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（ ）
A．39° B．52° C．65° D．78°
【答案】B【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠PBC＝∠C，
设∠C＝x，则∠PBC＝x，
∵∠FEC＝26°，
∴∠AFE＝x+26°，
∵∠AEF＝2∠AFE，
∴∠AEF＝2x+52°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠FEP＝x+26°，
∵∠PEC＝∠P+∠PBC，
∴x+26°+26°＝∠P+x，
∴∠P＝52°，
故选：B．
10．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一
动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，
∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点
C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①∵点C'落在BC边上，
∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°，
∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°，
∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°，
故结论①正确；
②连接CC'，如图2所示：由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°，
∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°，
又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°，
∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'，
∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'，
即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°，
故结论②正确；
③设∠CED＝ ，
由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝ ，∠CDE＝∠C'DE，
α
∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2 ，
α
∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2 ，
α
∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣ ＝158°﹣ ，
α
∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣ ）＝22°+ ，
α α
∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣ ﹣（22°+ ）＝136°﹣2 ，
α α
∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2 ﹣（136°﹣2 ）＝44°，
α α α
故结论③正确；
α α
④当C′E∥AB时，有以下两种情况：
（ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示：
∵C′E∥AB，∠A＝90°，
∴∠CME＝∠A＝90°，
∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°，
1
由折叠的性质得：∠CED＝∠MED= ∠CEM＝34°，
2
∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°；
（ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示：∵C′E∥AB，∠A＝90°，
∴∠C'ND＝90°，
由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE，
在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°，
1
∴∠CDE＝∠C'DE= ∠C'DN＝34°．
2
综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个．
故选：D．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝ 50 ° ．
【答案】50°．
【解答】解：∵三角形的内角和等于180度，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，即∠B＝90°﹣∠A，
∵∠A﹣∠B＝10°，
∴∠A﹣（90°﹣∠A）＝10°．
∴∠A＝50°．
故答案为：50°．
12．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数
为 25 ° ．
【答案】25°．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．
∵△ABC的三条角平分线交于一点，∴BO平分∠ABC，
1
∴∠ABO= ∠ABC＝25°．
2
故答案为：25°．
13．如图，点D为△ABC的边AB上一点，如果∠A＝50°，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，
那么当∠ACD＝ 6 5 °时，有A′D∥CA．
【答案】65．
【解答】解：将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，如果∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠A′DC，
当A′D∥CA，
∴∠A′DC＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠ACD，
180°−50°
∴∠ADC=∠ACD= =65°，
2
故答案为：65．
14．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，
当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 60 ° 或 18 ° ．
【答案】60°或18°．
【解答】解：如图1所示，当∠BFD＝90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；
如图2，当∠BDF＝90°时，
同理可得∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，∴∠B＝42°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣42°﹣30°＝108°，
∴∠ADF＝∠BDA﹣∠BDF＝108°﹣90°＝18°，
综上所述，∠ADF的度数为18°或60°．
故答案为：60°或18°．
15．如图，平行线AB，CD被直线AC所截，分别作∠BAC和∠ACD的角平分线，交点记为P ；分别作
1
∠BAP 和∠P CD的角平分线，交点记为P ；分别作∠BAP 和∠P CD的角平分线，交点记为P ，按此
1 1 2 2 2 3
规律继续操作，则∠AP C的度数为 5.625 ° ．
5
【答案】5.625°．
【解答】解：如图所示，过点P 作P Q∥AB，
1 1
∵AB∥CD，
∴P Q∥CD，∠BAC+∠ACD＝180°，
1
又∵AP ，CP 是∠BAC和∠ACD的角平分线，
1 1
1 1
∴∠BAP ＝∠AP Q = ∠BAC，∠QP C＝∠P CD = ∠ACD，
1 1 2 1 1 2
1 1
∴∠AP C= （∠BAC+∠ACD）＝90°= ×180°，
1 2 21 1
同理可得，∠AP C= （∠BAP +∠P CD）＝45°= ×180°，
2 2 1 1 4
1
∴∠AP C＝（ ）n×180°，
n 2
1
∴∠AP C＝（ ）5×180°＝5.625°；
5 2
故答案为：5.625°．
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD相交于点F，且∠A＝∠ABE，
∠CDB＝∠CBD．
（1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFC的度数；
（2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD．
【答案】（1）110°；
（2）详见解答．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵∠A＝∠ABE＝40°，∠CDB＝∠CBD＝70°，
∴∠BFC＝∠ABF+∠CDB＝40°+70°＝110°；
（2）∵∠A＝∠ABE，∠BDC＝∠CBD＝∠ACB，而∠BFD＝∠CBF+∠BCD，
∴∠BDF＝∠BFD．
17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝
∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠1，
∵∠1＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC；
（2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝34°，
∴∠B＝∠DFE＝34°，
在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝34°，
∴∠ACB＝180°﹣36°﹣34°＝110°，
∵CD平分∠ACB，
1
∠1= ∠ACB=55°，
2
∴∠2＝180°﹣36°﹣55°＝89°．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）20°；
（2）10．
【解答】解：（1）∵在△ABC中∠C＝70°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠CAE= ∠BAC= ×80°＝40°；
2 2
∵AD⊥BC，∠C＝70°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∵∠CAE＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣20°＝20°；（2）∵AE平分∠BAC，
1
∴∠CAE= （180°﹣∠C﹣∠B），
2
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
1 1
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD= （180°﹣∠C﹣∠B）﹣（90°﹣∠C）= （∠C﹣∠B）＝10°．
2 2
19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推
理过程）；
②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析过程；
∠D+∠B
（2）①26°；②∠P= ，证明见解析过程．
2
【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB．
同理可得，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）①解：由（1）知，
∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D，
∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P．
又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD，
即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P，
∠D+∠B
∴∠P= ．
2
又∵∠B＝36°，∠D＝16°，
36°+16°
∴∠P= =26°．
2∠D+∠B
②∠P= ，证明如下：
2
由（1）知，
∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D，
∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P．
又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD，
即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P，
∠D+∠B
∴∠P= ．
2
20．定义：若三角形的两个内角 与 满足 ﹣ ＝90°，则称该三角形为“准互余三角形”， 与 为“准
互余角”．
α β α β α β
（1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是 ②③ （填序号）．
①40°，60°，80°；②10°，70°，100°；③30°，30°，120°．
（2）若△ABC为“准互余三角形”，∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，求∠C的度数．
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AD平分∠BAC，试说明△ABD是“准互余三角形”．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵80°﹣40°＝40°，60°﹣40°＝20°，80°﹣60°＝20°，∴这个三角形不是“准互余
三角形”；
②∵100°﹣10°＝90°，∴这个三角形是“准互余三角形”；
③∵120°﹣30°＝90°，∴这个三角形1是“准互余三角形”；
∴能构成“准互余三角形”的是②③，
故答案为：②③；
（2）∵∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，
∴|∠A﹣∠B|＝90°，
∴∠A﹣∠B＝90°或∠B﹣∠A＝90°，
解得：∠B＝20°或∠B＝110°（不合题意舍去），
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣110°＝50°；
（3）证明：设∠BAC＝x，则∠ABC＝90°﹣x，
∵AD平分∠BAC，1 1
∴∠DAC=∠BAD= ∠BAC= x，
2 2
∵∠C＝90°，
∴∠ADC+∠DAC＝90°，
1
∴∠ADC=90°− x，
2
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
1 1
∴∠ADB＝180°﹣（90°− x）=90°+ x，
2 2
1 1
∵∠ADB−∠BAD=90°+ x− x=90°，
2 2
∴△ABD是“准互余三角形”．
