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人教版八年级数学上学期期中压轴精选 30 题
考试范围：第十一章-第十三章的内容，共30小题.
一、选择题（共8小题）
1．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，∠O=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，
∠8=90°则∠O的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．20°
【答案】C
【分析】设∠O=x，进而根据三角形外角的性质表示出∠2，即可表示出∠3，同理表示出∠4，可得∠5，
再表示出∠6，即可∠7，最后根据∠8=∠O+∠7得出答案即可．
【详解】设∠O=x，
∵∠2是△ABO的外角，且∠O=∠1，
∴∠2=∠O+∠1=2x，
∴∠3=∠2=2x．
∵∠4是△BCO的外角，
∴∠4=∠O+∠3=3x，
∴∠5=∠4=3x．
∵∠6是△CDO的外角，
∴∠6=∠O+∠5=4x，
∴∠7=∠6=4x．
∵∠8是△DEO的外角，
∴∠8=∠O+∠7=5x，
即5x=90°，
解得x=18°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形外角的性质得出待求角之间的等量关系是解题
的关键．
2．（2021·广东·河源广赋创新学校八年级阶段练习）如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠B的平分线
BP于P，则△PBC的面积为（ ）A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
【答案】B
【详解】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和
△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，
又∵BP=BP，∠APB=∠EPB=90°，
∴△ABP≌△EBP，
∴ ，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴ ，
∴ = ×16=8（cm2），
故选：B．
【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点.证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量
关系是解题的难点．
3．（2021·湖北·武汉市光谷第二高级中学九年级）如图， 中， ， 分别为 上的
点， 的平分线分别交 于点 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的定义可知 ， ， ，再
利用四边形内角和等于360°可推导 ，然后由三角形外角的性质可知
，进而得到 ，最后由 计算 的度数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵DF、EG为 和 的平分线，
∴ ， ，
在四边形BCED中，有 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质、多边形内角和、等腰三角形的性质以及三角形外角的性
质等知识，理解并灵活运用相关知识是解题关键．
4．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中 ， ．
延长BC到E，使 ，连接 动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 向终
点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△DCP和△DCE全等，则t的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意列方程即可求得．
【详解】解：①当 在 上时，
由题意得 ，
要使 ，则需
，即当 时， ；
②当 在 上时，不存在 使 和 全等；
③当 在 上时，由题意得 ，
， ，
要使 ，则需 ，
即 ，
，
即当 时， ；
综上所述，当 或 时， 和 全等．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
5．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）如图，已知等边 和等边 ，点 在 的延长线上，
的延长线交 于点 ，连接 ；下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④
，其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】证明△APB≌△CEB得到AP＝CE，即可判断①；由△APB≌△CEB，得到∠APB＝∠CEB，再由
∠MCP＝∠BCE，推出∠PME＝∠PBE＝60°，即可判断②；过点B作BN⊥AM 于N， BF⊥ME 于F，证明
△BNP≌△BFE得到BN＝BF，得到BM 平分∠AME，即可判定③；在BM上截取 BK＝CM，连接 AK，先
证明∠ACM＝∠ABK，即可证明△ACM≌△ABK得到AK＝AM，推出△AMK 为等边三角形，则 AM＝MK，
AM+MC＝BM，即可判断④．
【详解】证明：①∵等边△ABC 和等边△BPE，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE，
在△APB 和△CEB 中，∴△APB≌△CEB（SAS），
∴AP＝CE，故此选项正确；
②∵△APB≌△CEB，
∴∠APB＝∠CEB，
∵∠MCP＝∠BCE，
则∠PME＝∠PBE＝60°，故此选项正确；
③过点B作BN⊥AM 于N， BF⊥ME 于F，
∵△APB≌△CEB，
∴∠BPN＝∠FEB，
在△BNP 和△BFE 中，
，
∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN＝BF，
∴BM 平分∠AME，故此选项正确；
④在BM上截取 BK＝CM，连接 AK，
由②知∠PME＝60°，
∴∠AMC＝120°，
由③知：BM 平分∠AME，
∴∠BMC＝∠AMK＝60°，
∴∠AMK=∠ACB=60°，
又∵∠AHM=∠BHC，
∴∠∠CAM=∠CBH，
∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，
∴∠CBH+∠ACM=60°，
∴∠ABK+∠PBM＝60°＝∠PBM+∠ACM，
∴∠ACM＝∠ABK，
在△ABK 和△ACM 中∴△ACM≌△ABK（SAS），
∴AK＝AM，
∴△AMK 为等边三角形，则 AM＝MK， 故 AM+MC＝BM，故此选项正确；
故选D．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定，角平分线的判定等知识，解题
关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
6．（2022·陕西·西安爱知初级中学七年级期末）如图，在 中， ， ，点 是线段
的中点，将一块锐角为 的直角三角板按如图 放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与 、
重合，连接 、 ， 与 交于点 下列判断正确的有（ ）
① ≌ ；② ；③ ；④
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】利用 为等腰直角三角形得到 ， ，则 ，
则可根据“ ”判断 ≌ ，从而对 进行判断；再利用 证明
，则可对 进行判断；由于 ，
，而 得到 ，所以 ，于是可
对 进行判断；由 ≌ 得到 ，由 得到 ，所以 ，
从而可对 进行判断．
【详解】解： ，点 是线段 的中点，，
为等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，所以 正确；
，
，
，所以 正确；
．
而 ，
，
，
而 ，
，
，
，所以 错误；
≌ ，
，
，
，
，
，所以 正确．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．
7．（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）如图，在 中， ， 是高， 是中线，
是角平分线， 交 于点 ，交 于点 ，下面结论：① ；② ；③
；④ ；其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到
，再根据角平分线的定义可对②进行判断；根据 和 的关系③进行判断．由角
平分线的定义可得出 ，则可得出结论．
【详解】解：①过点F作FP⊥BC于P,
∵ 是角平分线，FP⊥BC, ,
∴
又∵ （垂线段最短）
∴
∴ ，故①错误；
②∵ ， ，
∴ ，
而 ，
，故②正确．
③∵ 是中线， 是角平分线， 不一定是等腰直角三角形，
∴ 与 不一定相等， 不一定相等，
∴ 不一定全等，
∴ 不一定相等，
∴不能推出 ，故③错误；
④∵ ， 是高，
∴ ，
∵ 是角平分线，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
正确的有：②④，共有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中
线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
8．（2022·吉林省实验中学八年级阶段练习）如图，点A、B、C在一条直线上， 和 均为正三
角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：① ；② ；③
；④ ；⑤AE与DB所夹锐角为60°．其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的性质及平行线的判定依次判断可求解．
【详解】∵△DAC和△EBC均为正三角形，
∴∠DAC=∠ECB=60°，AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴AD CE，故①正确；
∵点A、B、C在一条直线上，
∴∠DCE＝60°，故②正确；
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，故③正确；
∴∠CAE=∠CDB，
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴CM＝CN，故④正确；
设AE、BD交于点P，如图所示：
∵∠AMD=∠CDB+∠DPM=∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD=∠DPM=60°，
∴AE与DB所夹锐角为60°，故⑤正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的
关键．
二、填空题（共8小题）
9．（2021·陕西·西安爱知初级中学七年级期末）如图，△ABC中，∠A＝60°，BD、CE为△ABC的角平分
线，F为BD、CE的交点，DG为△DFC的高，则∠FDG＝_____．
【答案】30°##30度
【分析】根据三角形内角和得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，根据角平分线的定义得出∠CBD+∠BCE
＝60°，根据三角形的外角的性质可得∠DFG＝∠CBD+∠BCE＝60°，根据直角三角形的两锐角互余即可求
解．
【详解】∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BD、CE为△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝ ∠ABC，∠BCE＝ ∠ACB，
∴∠CBD+∠BCE＝60°，
∵∠DFG是△BCF的一个外角，
∴∠DFG＝∠CBD+∠BCE＝60°，
∵DG为△DFC的高，∴∠DGF＝90°，
∴∠FDG＝180°﹣∠DGF﹣∠DFG＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和的运算，三角形的外角的性质，三角形高的定义，直
角三角形的两锐角互余，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
10．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P
关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B=__度．
【答案】50或65
【分析】连接AP、BP，由点P为AB和BC垂直平分线的交点，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，
∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又点Q与点P关于AC对称，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ
＝∠CQP，分两种情况：①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即
得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，同理可得∠ABC＝65°．
【详解】解：连接AP、BP，如图：
∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，
∵点Q与点P关于AC对称，
∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，
∴∠CPQ＝∠CQP，
①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，
∴∠PCA＝40°，
∴∠PAC＝40°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，
∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，
②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，
∴∠PAC＝25°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，
∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，
∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，
综上所述，∠ABC为50°或65°，
故答案为：50或65．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质．
11．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）如图， ，点M、N分别在射线OA、OB上，
MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为 ，点P关于OB对称的点
为 ，当点P在直线NM上运动时， 的面积最小值为______．
【答案】8
【分析】连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，先利用三角形的面积公式求出 ，再根据
轴对称的性质可得 ， ， ，从而可得 ，然后利用
三角形的面积公式可得 的面积为 ，根据垂线段最短可得当点 与点 重合时， 取得最小
值， 的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，
∵ ，且 ，
∴ ，∵点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点为 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
∴ 的面积的最小值为 ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
12．（2021·江苏南京·八年级阶段练习）如图，已知 ABC，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D
为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段AC上由C点
△
向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当 BPD与 CQP全等时，v的值为_______cm/s．
△ △
【答案】3或
【分析】分情况讨论 ， 全等： 设运动了 秒， ，得 ， ，算
出 ； 设运动了 秒， ，得 ， ；得 ， ，解出 ，即可．
，
【详解】 设运动了 秒， ， ，
∵点 是 的中点
∴
∵
∴
∴ 点向 点运动了 ， 秒
∵
∴
∴
∴设运动了 秒，当 时，
∵ ，
∴
解得 秒
∵
∴
∴
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查全等三角形、动点问题，解题的关键是以静制动，利用全等三角形的性质进行解答．
13．（2021·浙江宁波·七年级期末）如图， 是 的中线，延长 至 ，使得 ，连接 ，
，点 在 的平分线上，且 ．设 ，则
___________（用含 、 的式子表示）
【答案】 或
【分析】先证明△BDC≌△EDA（SAS），可得∠C＝∠EAD，根据三角形的内角和定理表示出∠AFB，再分
射线BF在∠DBC内部，射线BF在∠DBC外部，分别表示出∠DBF，即可表示出∠AFB的度数．
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝DC，
∵在△BDC和△EDA中 ，
∴△BDC≌△EDA（SAS），
∴∠C＝∠EAD，
∵点F在∠DAE的平分线上，
∴∠FAD＝ ∠EAD＝ ∠C，∵∠ADB＝α，∠DBC＝β，
∴∠C＝α−β，∠DAB＋∠DBA＝180°−α，
∴∠FAD＝ （α−β），
∴∠AFB＝180°−∠FAB−∠FBA
＝180°−∠DAB−∠DBA−∠FAD−∠FBD
＝180°−（180°−α）− （α−β）−∠FBD
＝ α＋ β−∠FBD
∵∠FBC＝ ∠DBC＝ β，
当射线BF在∠DBC内部时，
∴∠FBD＝ β，
∴∠AFB＝ α＋ β− β＝ α；
当射线BF在∠DBC外部时，
则∠FBD＝ β，
∴∠AFB＝ α＋ β− β＝ α−β，
综上，∠AFB＝ α或 α−β，
故答案为： α或 α−β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等，熟练掌握这些
知识是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
14．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B
作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C
＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________
【答案】90°或108°【分析】设∠ADB＝x，则∠C＝2x，从而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝ ∠ABC＝45°﹣ x，所以∠AGD＝
∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣ x＝45°+ x，再分三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA；②当AD＝AG
时，∠ADG＝∠AGD；③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，分别求解即可．
【详解】解：设∠ADB＝x，则∠C＝2x，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝ ＝90°﹣x，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝x，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝ ∠ABC＝45°﹣ x，
∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣ x＝45°+ x，
ADG为等腰三角形时，存在三种情况：
①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA，
△
即x+45°+ x+45°+ x＝180°，
x＝45°，
∴∠C＝90°，
②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD，
x＝45+ x，
x＝90°，
∴∠C＝180°（不符合题意，舍去），
③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，
2x+45+ x＝180， x＝54°，
∴∠C＝108°，
综上，∠C的度数为90°或108°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论思想
的应用是解题的关键．
15．（2021·福建·福州教院二附中八年级期末）如图，将等边△ABC的三条边向外延长一倍，得到第一个
新的 ，第二次将等边 的三边向外延长一倍，得到第二个新的 ，依此规律继续延长
下去，若△ABC的面积 ，则第2022个新的三角形的面积 为________【答案】
【分析】连接 ，根据等底同高可得 ，从而可得 ，同样的方法可得
，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
， 的面积 ，
，
又 ，
，
，
同理可得： ，
，
同理可得： ，
归纳类推得： ，其中 为非负整数，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形类规律探索、三角形中线与面积，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
16．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图所示，在 ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，点D
为AB边上一点且不与A、B重合，将 ACD沿CD翻折得到 ECD，直线CE与直线AB相交于点F．
△
DEF为等腰三角形时，∠ACD=__________．
△ △
△【答案】15°或30°或60°
【分析】当 DEF为等腰三角形时，分四种情况讨论，三角形的外角性质以及等腰三角形的性质即可求得
结果．
△
【详解】解： DEF为等腰三角形时，
根据折叠变换的性质可得∠A=∠E=40°，∠ACD=∠ECD，
△
①当DF=DE时，∠E=∠DFE=40°，如图，
∴∠CFB=40°，
∵∠B=50°，
∴∠FCB=90°，显然不符合题意；
②当EF=DE时，∠E=40°，如图，
∴∠EDF=∠EFD= =70°，
∴∠CFB=70°，
∴∠ACF=70°-40°=30°，
∴∠ACD=15°；
③当EF=DF时，∠E=∠FDE=40°，如图，∴∠DFE=180°-40°-40°=100°，
∴∠ACE=100°-40°=60°，
∴∠ACD=30°；
④当点E在线段AB上侧时，DE=EF，如图，
∵△ACD沿CD翻折得到 ECD，
∴∠CAD=∠CED=40°，
△
∴∠EDF=∠EFD=20°，
∴∠ADC=∠EDC= =80°，
∴∠ACD=180°-40°-80°=60°；
故答案为：15°或30°或60°．
【点睛】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形的外角性质，解题关键是分类讨论求解．
三、解答题（共14小题）
17．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）[题目]如图①，∠BAC内部有一点D．连接BD，
CD．着∠A=68°，∠ABD= 16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大小；
[应用]如图②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度；
[扩展]如图③，在∠BAD内部有两个向上突起的角，若∠ABE= 20°，∠ECF =45°，∠ADF =15°，∠A=70°，则∠BEC+∠CFD = 度．
【答案】∠BDC= 108°；180；150．
【分析】（1）三角内角和和外角性质即可求∠D的度数；
（2）由三角形的外角性质可得∠ODE+∠OED=∠OBC+∠OCB，由内角和可求得
∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180°的度数；
（3）由三角形的外角性质得∠BEC+∠CFD =∠BAC+∠ABE+∠CAD+∠ADF
E，把各角的度数代入求解．
【详解】解：（1）连接BC．
∵三角形内角和是180°
∴∠A+∠ABC+∠ACB= 180°
又∵∠ABD= 16°，∠ACD = 24°，∠A=68°
∴∠DBC+∠DCB = 72°
又∵∠D+∠DBC +∠DCB = 180°
∴∠BDC= 108°．
（2）连接BC，
∵∠ODE+∠OED=180°-∠DOE
∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC
∠DOE=∠BOC
∴∠ODE+∠OED=∠OBC+∠OCB
又∵三角形内角和是180°
∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠OBC-∠OCB
∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠ODE-∠OED
∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180°（3）由（1）的结论可知
∵∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠AEC
∠CFD=∠CAD+∠ADF +∠ACF
∴∠BEC+∠CFD =∠BAC+∠ABE+∠AEC+∠CAD+∠ADF+∠ACF
∠BEC+∠CFD=∠A+∠ABE+∠ADF +∠ECF =150
°
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理以及外角的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的
关系．
18．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）在∠QAP内有一点B，过点B分别作BC⊥AP，BD⊥AQ，垂
足分别为C，D，且BC＝BD，点E，F分别在边AQ和AP上．
(1)如图（1），若 ，求证：BE＝BF；
(2)如图（2），若 ，求证：EF=DE+CF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据垂直的定义可得 ，再根据邻补角的定义、等量代换可得
，然后根据 定理可证 ，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）在 上截取 ，连接 ，先根据 定理证出 ，根据全等三角形的性质可
得 ，再根据四边形的内角和、角的和差可得 ，然后根据
定理证出 ，最后根据全等三角形的性质可得 ，由此即可得证．
（1）
证明： ，
，
， ，
，即 ，在 和 中， ，
，
．
（2）
证明：如图，在 上截取 ，连接 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
即 ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识点，较难的是题（2），通过作辅
助线，构造全等三角形是解题关键．
19．（2021·广西柳州·八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=5，延长BC到点E，使得CE=
CD，连结DE．若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）CE= ；当点P在BC上时，BP= （用含有t的代数式表示）；
（2）在整个运动过程中，点P运动了 秒；
（3）当t= 秒时，△ABP和△DCE全等；
（4）在整个运动过程中，求△ABP的面积．
【答案】（1）2，2t；（2）7；（3）1或6；（4）△ABP的面积为 ．
【分析】（1）根据CE= CD可求得CE的长，利用速度 时间即可求得BP的长；
（2）先计算出总路程，再利用路程 速度即可计算出用时；
（3）分两种情况，利用全等三角形的性质即可求解；
（4）分三种情况，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵CE= CD，AB=CD=4，
∴CE=2，
∵点P从点B出发，以每秒2个单位的速度运动，
∴BP=2t；
故答案为：2，2t；
（2）点P运动的总路程为BC+CD+DA=5+4+5=14，
∴在整个运动过程中，点P运动了 (秒)；
故答案为：7；
（3）当点P在BC上时，△ABP≌△DCE，
∴BP=CE=2，∴2t=2，
解得：t=1；
当点P在AD上时，△BAP≌△DCE，
∴AP=CE=2，
点P运动的总路程为BC+CD+DA-AP=5+4+5-2=12，
∴2t=12，
解得：t=6；
综上，当t=1或6秒时，△ABP和△DCE全等；
故答案为：1或6；
（4）当点P在BC上，即0
