第十三章轴对称（易错与压轴专练）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十三章 轴对称（易错与压轴专练） 目录 易错专练.................................................................................................................................................................1 【易错一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】..................................................1 【易错二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】..................................................3 【易错三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】..............................................................5 【易错四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】..........................................7 压轴专练...............................................................................................................................................................11 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】........................................................................................11 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】........................................................................................18 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】..........................................................................24 【题型四 共顶点的等边三角形问题】............................................................................................................29 【题型五 共顶点的等腰直角三角形问题】....................................................................................................34 【题型六 共顶点的一般等腰三角形问题】....................................................................................................40 易错专练 【易错一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 例题：已知 是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为 和 ，则它的周长为 ． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为 ，底边长为 时；②当等腰三角形的腰长为 ，底边长为 时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为 ，底边长为 时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为 ，底边长为 时， ， 能构成三角形， 的周长为 ； 综上所述， 的周长为 故答案为： ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第 三边，任意两边之差小于第三边． 【变式训练】 1．若 的三边长分别为 ，7，6，当 为等腰三角形时，则 的值为__________． 【答案】3或4##4或3 【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当 时，当 时，再结合三角形三边关系检验 即可． 【详解】解：∵ 为等腰三角形， ∴当 时， 解得 ， ∴三边长为6，6，7 ∵ ， ∴符合三角形三边的条件， 当 时， 解得 ， ∴三边长为7，7，6 ∵ ， ∴符合三角形三边的条件， ∴ 的值为4和3． 故答案为：4和3． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求 解是解决本题的关键． 2．用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它 的底边长为______ ． 【答案】12或7 【分析】可设一边为 ，则另一边为 ，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x，再利 用三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：设一边为 ，则另一边为 ， ①当长为 的边为腰时，此时三角形的三边长分别为 、 、 ， 由题意可列方程： ， 解得 ， 此时三角形的三边长分别为： 、 和 ，满足三角形三边之间的关系，符合题意；②当长为 的边为底时，此时三角形的三边长分别为： 、 、 ， 由题意可列方程： ， 解得： ， 此时三角形的三边长分别为： 、 、 ，满足三角形的三边之间的关系，符合题意； ∴这个三角形的底边长为 或 ． 故答案为：12或7． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键． 【易错二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 例题：等腰三角形的一个角的度数是 ，则它的底角的度数是 ． 【答案】 或 【分析】分 的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：当 的角是底角时，则底角为 ， 当 的角是顶角时，则底角为 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式训练】 1．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少 ，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】 或 或 【分析】设另一个角是 ，表示出一个角是 ，然后分① 是顶角， 是底角，② 是底角， 是顶角，③ 与 都是底角根据三角形的内角和等于 与等腰三角形两底角相等列出方程 求解即可． 【详解】解：设另一个角是 ，表示出一个角是 ， ① 是顶角， 是底角时， ， 解得 ， 所以，顶角是 ； ② 是底角， 是顶角时， ， 解得 ， 所以，顶角是 ； ③ 与 都是底角时， ，解得 ， 所以，顶角是 ； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是 或 或 ． 故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是 这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 2．在 中， ， ，点D在边 上（不与B、C重合），连接 ，若 是等 腰三角形，则 的度数为___________． 【答案】 或 【分析】在 中，根据 ， ，得到 ，再根据 是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案． 【详解】解：如图所示, 在 中， ∵ ， ， ∴ ， 若 是等腰三角形， ①当 时， ， ， ②当 时， ， ， ， 综上所述 或 ． 【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出 的腰． 【易错三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：已知 中， ， ，若 沿射线 方向平移m个单位得到 ， 顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【答案】 或 或 【分析】分 ， ， 三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 沿射线 方向平移m个单位得到 ， ∴ ， ， 点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况 ①当 时：如图，此时 ； ②当 时：如图， 则： ， 在 中， ，即： ， 解得： ； ③当 时，如图： 此时 ，∵ ， ∴ ， ∴ ； 综上： ， 或 ； 故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和 分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式训练】 1．在 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的动点 将 沿 直线 翻折，使点 的对应点 恰好落在边 上 若 是等腰三角形，则 的长是 ． 【答案】 或 或 【分析】分三种情况讨论：当 时， 是等腰三角形；当 时， 是等腰三角 形；当 时， 是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得 到 的值． 【详解】解： ， ， ， ， ， 分三种情况讨论： 如图所示，当点 与点 重合时， ， ， ， ， ，即 是等腰三角形， 此时， ； 如图所示，当 时， 是等腰三角形，， 由折叠可得， ， ， 又 ， 是等腰直角三角形， 设 ，则 ， 中， ， 解得 ， 舍去 ， ； 如图所示，当点 与点 重合时， ， ， ，即 是等腰三角形， 此时 ， 综上所述，当 是等腰三角形时， 的值是 或 或 ． 故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决 问题的关键是依据 是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用． 【易错四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 ( ) A． B． C． 或 D．无法确定【答案】C 【分析】根据题意作出图形，设 ，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形 的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得： ． 可设 ， ∴ ． 由题意得： 或 ， 解得： 或 ． 当 时，即此时等腰三角形的三边为 ， ， ， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当 时，即此时等腰三角形的三边为 ， ， ， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是 或 ． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 【变式训练】 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么这个三角形的顶角为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角 形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图1，三角形是锐角三角时， ∵ ， ∴顶角 ； 如图2，三角形是钝角时， ∵ ， ∴顶角 ， 综上所述，顶角等于 或 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 2．在 中， ， 是 边上的高， ，则 ． 【答案】 或 / 或 【分析】根据三角形的内角和定理，求出 的度数然后再求出 的度数； 【详解】如图，当 在 内时如图当 在 外时 故答案为 或 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题 难度不大，属于中等题； 3．在 中， ， 上的中线 把三角形的周长分成 和 两部分，则底边 的长为 ______． 【答案】 或 【分析】分两种情况： ； ，可得 的长，再由另一部周长即可求得底边 的 长． 【详解】解：由题意得： ； 当 时， 即 ， ， ， ； 当 时， 即 ，， ， ； 综上，底边的长为 或 ； 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论． 压轴专练 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：已知，在 中， ， ，点 是 的中点，作 ，使得射线 与射线 分别交射线 ， 于点 ， ． (1)如图1，当点 在线段 上时，线段 与线段 的数量关系是___________； (2)如图2，当点 在线段 的延长线上时，用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系并加以证明． 【答案】(1) ； (2) ，理由见解析． 【分析】（1）连接 ，由等腰直角三角形的性质可得 ， ，根据 可推 导 ，进而证明 ，即可得到线段 与线段 的数量关系； （2）连接 ，利用（1）中的证明思路，再次证明 ，证得 ，即可利用等量代 换得到 ． 【详解】（1）解：连接 ，∵ ， ，点 是 的中点 ∴ ，且 ， 平分 ， ∴ ， ， 又∵ ∴ ∴ ∴ （ASA） ∴ ． （2） ，理由如下： 连接 ， 由（1）可知： ， ， ∴ 在 和 中， ∴ （ASA） ∴ ∵ ∴ ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问 题的关键． 【变式训练】 1．如图1，在 中， ， ，点P是斜边 的中点，点D，E分别在边 上， 连接 ，若 ．(1)求证： ； (2)若点D，E分别在边 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下， 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出 的度数（不用说 理）；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)能成为等腰三角形，此时 的度数为 或 或 或 【分析】（1）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，再由 ，可得 ，可证得 ，即可求证； （2）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到 ， 再由∵ ，可得 ，可证得 ，即可； （3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）明∶ 连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵P为斜边 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）解： 仍成立，理由如下： 连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵P为斜边 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ，∴ ； （3）解： 能成为等腰三角形， ①当 ，点E在 的延长线上时，则 ， 又∵ ， ∴ ； ②当 ，点E在 上时，则 ； ③当 时，则 ， ∴ ； ④当 ，点E和C重合， ∴ ； 综上所述， 能成为等腰三角形， 的度数为 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．在 中， ， ，点O为 的中点． (1)若 ，两边分别交 于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边 和 上时，求证： ； ②如图2，当点E，F分别在 和 的延长线上时，连接 ，若 ，则 ． (2)如图3，若 ，两边分别交边 于E，交 的延长线于F，连接 ，若 ，试 求 的长． 【答案】(1)①见解析；②18 (2)2 【分析】（1）①由“ ”可证 ，可得 ； ②由“ ”可证 ，可得 ，即可求解； （2）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ， 可得 ，即可求解． 【详解】（1）①证明：如图1，连接 ， ∵ ， ， ∴ . ∵点O为 的中点，∴ ， ∴ 和 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②解：如图2，连接 ， 同理可证： ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：18； （2）解：如图3，连接 ，过点O作 ，交 的延长线于点H， ∵ ， ，点O为 的中点， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形 是解题的关键． 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． (1)求证：BD＝CE； (2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【答案】(1)见解析； (2)90°． 【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到 正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及 角的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE． （2）解：∵AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°． ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA． ∴∠DAB ∠ADE＝30°． ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质， 等腰三角形的性质是本题的关键． 【变式训练】 1．如图， 与△BCA均为等腰三角形， ，且 ， 为 延长线上一点， ． (1)若 ，求 的度数； (2)求证： ； (3)若 ， ， ，求 的面积（用含 ， ， 的式子表示）． 【答案】(1)20° (2)见解析 (3) 【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出 ，即可由 求解； （2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，得出 ， ，进而求得 ， ，即可得出 ，从而得出结论； （3）由（2）可知 ， ，从而有 ，再根据，则有 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． （2）证明：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， 设 、 交于点 ，则 又 ， ∴ ，∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：由（2）可知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质， 全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中． 2．已知在 中， ，且 = ．作 ，使得 ． (1)如图1，若 与 互余，则 =__________(用含 的代数式表示)； (2)如图2，若 与 互补，过点 作 于点 ，求证： ； (3)若由 与 的面积相等，则 与 满足什么关系？请直接写出你的结论数． 【答案】(1) ； (2)见解析； (3) 与 相等或互补 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得 ，根据 与 互余得 ，由 即可求出 的度数；（2）作 根据AAS证明 ≌ ,则 ，由等腰三角形三线合一可得 ， 因此 ，问题得证； （3）由 与 的面积相等得高相等.情况①：作 于 , 于 ,根据 可得 ≌ ，则可得 = ；情况②: 是钝角三角形，作 于 ，作 垂直于 的 延长线于 ，根据 可得 ≌ ，则可得 ，由于 与 互补，因此 与 互补． 【详解】（1）解： 中， ，且 = , ． （2） 如图，过 点作 于E点， 中， ， ， ， 中 ， ， ， , = ，． 在 和 中， , , ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． （3） ①如图，作 于 ， 于 ， ∵ 与 的面积相等， ∴ ， 又∵ , ∴ ≌ (HL) ∴ 即 =②如图，作 于 ，作 垂直于 的延长线于 ． 则 ． ∵ ， ， ∴ ， ∵ 与 的面积相等， ∴ ． ∴ ≌ ． ∴ ． ， ∴ ， 综上， 与 相等或互补． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等， 综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：如图，在 中， 平分 ， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于 ， 交 于 ，交 的延长线于 ． 求证： (1) ； (2) ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据 证明 ，即可得出 ；（2）过点C作 交 于点M，由 可得 ，根据平行线的性质得出 ，可得 ，进而得出 ，再根据据 证明 ，得出 ，等量代换即可得到 ． 【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：过点C作 交 于点M， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵E是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、 性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键． 【变式训练】 1．如图： (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点A为 上一点，过点A作 ，垂足为C，延长 交 于点B，可根据 证明 ，则 ， （即点C为 的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等 的办法，可求得 ． (3)【拓展延伸】 如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，试 探究 和 的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的角平分线 ；②过点A作 于D．已知 ， ， 面积为20，则划出的 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1) (2) (3) ，证明见解析 (4) 的面积是 【分析】（1）证 （ ），得 ， 即可； （2）延长 交 于点F，由问题情境可知， ，再由等腰三角形的性质得 ， 然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）拓展延伸延长 、 交于点F，证 （ ），得 ，再由问题情境可知， ，即可得出结论； （4）实际应用延长 交 于E，由问题情境可知， ， ，则 ，再由 三角形面积关系得 ，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ （ ）， ∴ ， ， 故答案为： ； （2）解：如图2，延长 交 于点F， 由可知， ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 故答案为： ； （3）解： ，证明如下： 如图3，延长 、 交于点F， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ （ ）， ∴ ， 由问题情境可知， ， ∴ ； （4）解：如图4，延长 交 于E， 由问题情境可知， ， ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ， 答： 的面积是 ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性 质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等 是解题的关键，属于中考常考题型． 【题型四 共顶点的等边三角形问题】 例题：如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M， 连接CE交AD于N，连接MN． (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证 ∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证 △ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相 等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，点C为线段 上一点， 、 都是等边三角形， 、 交于点M， 、 交于 点 ， 、 交于点 ，连接 ，下列说法正确的个数有 个． ① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则． 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质得到 ， ， ，得到 ， ，根据平行线的判定定理得到 ，根据平行线的性质得到 ，故③正确； 根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和得到 ，故②正确， 推出 ，故④正确；根据全等三角形的性质得到 ，得到 是等边三角形，求 得 ，根据平行线的判定定理得到 ，故①正确；根据三角形的内角和得到 ． 故⑤正确． 【详解】解： 、 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 在 与 中， ， ， ， ， ，故②正确， 在 与 中， ，，故④正确； ， 是等边三角形， ， ， ，故①正确； ， ， ．故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形 的判定和性质是解题的关键． 2．如图，C为线段 上一动点（不与点A，E重合），在 同侧分别作等边 和等边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连结 ． 求证：(1) ； (2) 为等边三角形； 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）由等边三角形的性质可知 ，从而可求出 ，即可利用“ ”证明 ，即得出 ； （2）由等边三角形的性质可知 ，AC=BC，即可求证 ．再根据 可得出 ，利用“ ”证明 ，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明： 和 都是等边三角形， ，， ， ∴ ， ， ； （2）证明： 和 是等边三角形， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ∴ ． ∴ ， 又∵ ， ∴ 为等边三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题 关键． 【题型五 共顶点的等腰直角三角形问题】例题：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE 90． (1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是________，位置关系是 ________． (2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由； △DCE C AC5 CE2 2 A E D (3)【拓展】：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，当 ， ， 三点在同一直线 上时，则AE的长是________． 【答案】(1)BE AD，BE  AD (2)成立，理由见解析 212 212 (3) 或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出AC BC，EC DC，再作差，得出BE AD，再用 ACB90，即可得出结论； BCEACD VBCE≌VACDSAS BE AD （2）先由旋转的旋转得出 ，进而判断出 ，得出 ， CADCBE，AC与BE交于M，AD与BE交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出 MANAMN 90，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM  AD于M，求出 1 CM EM  DE2 2 AM1 CM EM  DE2，再用勾股定理求出 ，利用线段的加减即可得出结论； 2 AM 1 ②当点D在线段 上时，如图4，过点C作 于N，求出CM EM  DE2，再由勾股定理求 AE CN  AE 2 出根据勾股定理得，AN，利用线段的加减即可得出结论． 【详解】（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， AC BC，EC DC， ACDC BCEC， BE AD， 点E在BC上，点D在AC上，且ACB90， BE AD， 故：BE AD，BE  AD； （2）成立； 如图2，AC与BE交于M，AD与BE交于N， 由题意可知： QACBDCE90， ACBACEDCECE， BCEACD， 在△BCE与△ACD中： BC  AC  BCEACD  CE CD △BCE≌△ACDSAS ， BE AD，CADCBE， 又∵ACB90，BMC AMN，在△ANM 中， MANAMN CBEBMC 90， ANM 90， BE AD， 所以结论成立； （3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM  AD于M， ∵△DCE CE2 2 是等腰直角三角形，且 ， DE CE2CD2 4 ， ∵CM  AD， 1 CM EM  DE2， 2 在Rt△ACM 中，AC5， AM  AC2CM2  5222  21 ， AE AM EM  212 ； ②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN  AE于N，∵△DCE CE2 2 是等腰直角三角形，且 ， DE CE2CD2 4 ， ∵CN AD， 1 CN NE  DE 2， 2 在RtVACN 中，AC5， AN  AC2CN2  5222  21 ， AE ANNE 212 ， AE 212 212 综上， 的长为 或 ， 212 212 故答案为: 或 ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和 性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 【变式训练】 1．如图，在等腰直角三角形ABC和DEC中，BCADCE90，点E在边AB上，ED与AC交于点 F，连接AD． (1)求证：△BCE≌△ACD； (2)求证：ABAD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据BCADCE90，可得BCEACD，再由等腰直角三角形的性质可得 BC  AC,CE CD △BCE≌△ACD ，可证明 ，即可求证；（2）根据△BCE≌△ACD，可得B=CAD，从而得到CADCAE90，即可求证． 【详解】（1）证明：∵BCADCE90， ∴BCEECAECAACD90， ∴BCEACD， ∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形， BC  AC,CE CD ∴ ， 在△BCE和△ACD中，  BC  AC  BCEACD ，   CECD △BCE≌△ACDSAS ∴ ； （2）证明：∵△BCE≌△ACD， ∴B=CAD， ∵ACB90， ∴BCAE90， ∴CADCAE90， 即DAE=90， ∴ABAD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定 和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 2．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，ACBDCE 90，则线段AE、 BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，请判断 ADB的度数及线段CM ，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AEBD，AEBD；（2）ADB90，AD2CM BD；理由见解析AE BD AH BC △ACE≌△BCDSAS 【分析】（1）延长 交 于点H， 交 于点O．只要证明 ，即可解决问题； （2）由△ACE≌△BCD，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH 交BC于点O， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE 90， ∴AC BC，CDCE， ∴ACEECBBCDECB90， ∴ACEBCD， △ACE≌△BCDSAS ∴ ， ∴AEBD，CAECBD， ∵CAEAOC 90，AOC BOH ， ∴BOH CBD90， ∴AHB90， ∴AEBD． 故答案为：AEBD，AEBD． （2）ADB90，AD2CM BD； 理由如下：如图2中， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE 90， ∴CDECED45， ∴AEC 180CED135， 由（1）可知：△ACE≌△BCD， ∴AEBD，BDC AEC 135， ∴ADBBDCCDE 1354590；在等腰直角三角形DCE中，CM 为斜边DE上的高， ∴CM DM ME， ∴DE2CM ， ∴ADDEAE2CM BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全 等三角形解决问题． 【题型六 共顶点的一般等腰三角形问题】 例题：如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC BC，CDCE，ACBDCE 42，AD、BE相交 于点M ． (1)试说明：ADBE； (2)求AMB的度数． 【答案】(1)见解析 (2)42 【分析】（1）由“SAS”可证VACD≌VBCE，可得BE AD； （2）根据全等三角形的性质可得CADCBE，再利用三角形内角和定理计算AMB． 【详解】（1）解：证明：∵ACBDCE， ACDBCE， 在△ACD和△BCE中，CACB  ACDBCE ，  CDCE △ACD≌△BCE(SAS)， ADBE； （2）∵△ACD≌△BCE， CADCBE， ∵BACABC18042138， BAM ABM BACCADABCCBEBACABC138， AMB18013842． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，已知△ABC中，AB AC BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD． 等腰三角形ACE，连接CD、BE． (1)如图1，当BADCAE60时， ①△ABD、△ACE的形状是____________； ②求证：BEDC． (2)若BADCAE 60， ①如图2，当AB AD，AC  AE时，BEDC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ABDB，AC EC BEDC ②如图3，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析 (2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析 【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质 可得AB AD，AE AC，DABCAE 60，证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可证明； （2）①证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得△BAE与△DAC不全 等，即可得出结论．【详解】（1）①∵△ABD是等腰三角形，△ACE是等腰三角形，BADCAE60 ∴△ABD、△ACE是等边三角形， 故答案为：等边三角形． ②证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形， ∴AB AD，AE AC，DABCAE 60， ∵DAC DABBAC，BAE CAEBAC， ∴DAC BAE， 在△BAE与△DAC中，  AB AD  BAEDAC ∵ ，   AE AC △BAE≌△DACSAS ∴ ． ∴BEDC． （2）①当AB AD，AE AC时，成立． 理由：如图， ∵AB AD， BAEDAC，AE AC， △BAE≌△DACSAS ∴ ， ∴BEDC； ②当ABDB，AC EC时，不成立． 理由：如图， ∵BADCAE 60， ∴ABDB AD，AC EC  AE， ∴△BAE与△DAC不全等，∴BEDC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握 全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”． 如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC BC，CDCE，ACB与DCE为“同源角”． (1)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且ACE90，则 EMD______°． △ABC △CDE AD BE Q (3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取 ， 的中点 ， P CP CQ PQ △PCQ ，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形． 【答案】(1)ADBE，详见解析 (2)45 (3)详见解析 【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACDBCE，然后根据SAS证明VACD≌VBCE即可； （2）由“同源三角形”的定义和ACE90可求出DCE ACB45，由（1）可知VACD≌VBCE， 得ADC BEC，然后根据“8”子三角形即可求出EMD的度数； VACD≌VBCE CAQCBP BE AD SAS △ACQ≌△BCP （3）由（1）可知 ，可得 ， ．根据 证明 ，可 CQCP ACQBCP 得 ， ，进而可证结论成立． 【详解】（1）ADBE． 理由：因为△ABC和△CDE是“同源三角形”， 所以ACBDCE，所以ACDBCE．AC BC,  ACDBCE, 在 和 中，  △ACD △BCE CDCE, △ACD≌△BCESAS 所以 ． 所以ADBE． （2）∵△ABC和△CDE是“同源三角形”， ∴ACBDCE． ∵ACE90， ∴DCE ACB45． 由（1）可知VACD≌VBCE， ∴ADC BEC． ∵MOECOD， ∴EMDDCE 45． 故答案为：45； （3）由（1）可知VACD≌VBCE， 所以CAQCBP，BE AD． 因为AD，BE的中点分别为Q，P， 所以AQBP．  CACB,  CAQCBP, 在 和 中，  △ACQ △BCP  AQBP, △ACQ≌△BCPSAS 所以 ， CQCP ACQBCP 所以 ， ． 又因为BCPPCA90，所以ACQPCA90． PCQ90 △PCQ 所以 ，所以 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知 识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．