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专题 13.4 三角形的内角
1. 阐述并验证三角形的内角和定理。并能够利用三角形的内角和熟练的求角度。
教学目标 2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定并加以应用。
3. 能够利用三角形的内角和解决相应的题目。
1. 重点
（1）三角形的内角和及其证明；
（2）直角三角形的性质与判断。
教学重难点
2. 难点
（1）利用三角形的内角和求三角形同一个顶点高线与角平分线的夹角；
（2）三角形的内角和结合折叠求角度问题；知识点01 三角形的内角和定理
1. 三角形内角和定理的内容：
三角形的三个内角之和等于 。
即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 。
2. 三角形内角和定理的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。
如图：过点A作DE平行于BC。
∵DE∥BC
∴∠B＝ ；∠C＝ 。
∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 。
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 。
【即学即练1】
1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（ ）
A．50° B．55° C．45° D．40°
【即学即练2】
2．先看下面的问题：图（1）中，BE∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠A，因为∠ABC+∠1+∠2＝180°．（平
角定义），所以得∠ABC+∠C+∠A＝180°．
（1）你能结合图（2）得到类似的结论吗？请你写出来（其中CD∥AB且过点C）；
（2）你能写出一个与三角形有关的具有一般性的结论吗？联系上面的问题试试看！
【即学即练3】
3．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，
若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．80° B．90° C．100° D．110°
知识点02 直角三角形的性质与判定
1. 直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形。用 表示直角三角形ABC。
2. 直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角 。
数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝ 。
3. 直角三角形的判定：
有两个角 的三角形是直角三角形。
数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是 三角形。
【即学即练1】
4．直角三角形的一个锐角是63°，则它的另一个锐角是（ ）
A．27° B．63° C．117° D．27°或63°
【即学即练2】
5．将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝
30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【即学即练3】
6．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④
1 1
∠A= ∠B= ∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
2 3
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个题型01 利用三角形的内角和求角度
【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（ ）
A．75° B．78° C．80° D．85°
【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【变式2】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式3】如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝
3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
题型02 直角三角形的性质
【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 °．
【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．39° B．51° C．38° D．52°
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在
AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．【变式3】如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ ．
题型03 直角三角形的判定
【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A
1
＝∠B= ∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝
2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
③∠A＝2∠B＝3∠C；
④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型04 三角形的内角和与直角三角板
【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠ ≠∠ 的图形有（ ）
α β
A． B．
C． D．【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．105°
【变式2】将两把含有30°的三角尺按如图所示的方式拼接在一起，则∠CGF的度数为（ ）
A．45° B．30° C．60° D．15°
【变式3】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE
上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线
【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE
等于（ ）
A．50° B．40° C．35° D．25°
【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（
）A．15° B．25° C．35° D．45°
【变式2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝ ，∠C＝ ，则∠DAE＝（ ）
α β
α−β α 90°−α+β 90°+α−β
A． B． −β C． D．
2 2 2 2
【变式3】如图，钝角△ABC中，∠2为钝角，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，则∠DAE与
∠1、∠2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（ ）
∠2−∠1
A．∠DAE＝∠2﹣∠1 B．∠DAE=
2
∠2 ∠1+∠2
C．∠DAE= −∠1 D．∠DAE=
2 2
题型06 三角形的折叠问题
【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点
B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的
点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．80° B．90° C．100° D．110°
【变式2】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P
重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式3】如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若
∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
1．一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°2．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝37°，∠B＝53° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A﹣∠C＝∠B D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
4．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
5．两个直角三角板如图摆放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，点B在DE上，若∠ACE
＝2∠BCD，则∠ABE的大小为（ ）
A．75° B．45° C．60° D．65°
6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD．∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为（ ）
A．28° B．29° C．31° D．32°
7．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝ ，则∠A＝（ ）
α
A． ﹣90° B．180°﹣ C． ﹣180° D．360°﹣
8．如图，光线 照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角，
α α α α
若已知∠1＝45°，∠3＝65°，则∠2的度数为（ ）
αA．70° B．75° C．80° D．85°
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平
分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（ ）
A．39° B．52° C．65° D．78°
10．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一
动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，
∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点
C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝ ．
12．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数
为 ．
13．如图，点D为△ABC的边AB上一点，如果∠A＝50°，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，
那么当∠ACD＝ °时，有A′D∥CA．14．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，
当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
15．如图，平行线AB，CD被直线AC所截，分别作∠BAC和∠ACD的角平分线，交点记为P ；分别作
1
∠BAP 和∠P CD的角平分线，交点记为P ；分别作∠BAP 和∠P CD的角平分线，交点记为P ，按此
1 1 2 2 2 3
规律继续操作，则∠AP C的度数为 ．
5
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD相交于点F，且∠A＝∠ABE，
∠CDB＝∠CBD．
（1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFC的度数；
（2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD．
17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝
∠D．
（1）求证：DF∥BC；（2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数．
19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推
理过程）；
②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明．
20．定义：若三角形的两个内角 与 满足 ﹣ ＝90°，则称该三角形为“准互余三角形”， 与 为“准
互余角”．
α β α β α β
（1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是 （填序号）．①40°，60°，80°；②10°，70°，100°；③30°，30°，120°．
（2）若△ABC为“准互余三角形”，∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，求∠C的度数．
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AD平分∠BAC，试说明△ABD是“准互余三角形”．
