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第十三章 三角形（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，0＜∠A＝92°＜180°，则△ABC是钝角三角形．
故选：C．
2．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
①底为2cm，腰为4cm时，
等腰三角形的周长＝2+4+4＝10（cm）；
②底为4cm，腰为2cm时，
∵2+2＝4，
∴不能构成三角形；
∴等腰三角形的周长为10cm；
故选：B．
3．如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性
【答案】D【解答】解：安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是三角形具有稳定
性．
故选：D．
4．如图，△ABC的边BC上的高是（ ）
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
【答案】A
【解答】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF．
故选：A．
5．在下列条件中：①∠A+∠C＝∠B；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B
1
= ∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①因为∠A+∠C＝∠B，则2∠B＝180°，即∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝2：3：5，设∠A＝2x，则2x+3x+5x＝180，解得：x＝18°，则∠C＝18°×5＝
90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，即∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
1 1 1
④因为∠A=∠B= ∠C，则 ∠C+ ∠C+∠C=180°，解得：∠C＝90°，所以△ABC是直角三
2 2 2
角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④，共4个．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（
）A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】C
【解答】解：∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠B+∠C，
∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠B﹣15°，
∴3∠B＝165°，
∴∠B＝55°，
∴∠DAC＝2×55°＝110°，
故选：C．
7．如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为 28cm，AB 比 AC 长 6cm，则△ACD 的周长为
（ ）
A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm
【答案】C
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：28﹣6＝22（cm）．
故选：C．
8．如图，光线 照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角，
若已知∠1＝4α5°，∠3＝65°，则∠2的度数为（ ）A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【解答】解：根据题意可得，∠4＝∠1＝45°，∠5＝∠3＝65°，∠2＝∠6，
由三角形内角和定理和平角的定义得∠2＝180°﹣45°﹣（180°﹣65°×2）＝85°；
故选：D．
9．如图，将△ABC 沿 DE、EF 翻折，顶点 A，B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO，若
∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】A
【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，
∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，
∵∠AEO+∠BEO＝180°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，
∴∠ADE+∠BFE＝128°，
∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，
即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，
∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，
∴∠A+∠B＝142°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，
∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝ ，∠MAC＝ ，∠ADC＝ ，则 ， ， 三者间的数量关系是（
α β γ α β γ）
A． ＝ + B． ＝2 ﹣2 C． ＝ +2 D． ＝2 ﹣
【答β案】αDγ β α γ β α γ β γ α
【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝ ，
∴∠B＝∠EFC＝ ， α
∵CD平分∠BCA，α
∴∠ACB＝2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD，
∵∠ADC＝ ，
∴∠BCD＝γ﹣ ，
∵∠MAC是γ△AαBC的外角，
∴∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵∠MAC＝ ，
∴ ＝ +2（β﹣ ），
即β＝α2 ﹣ γ， α
故选β：Dγ．α
11．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一
个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）
A．45°或36° B．72°或36°
C．45°或72° D．45°或36°或72°
【答案】C
【解答】解：①设三角形底角为 ，顶角为2 ，
则 + +2 ＝180°， α α
解得α：α ＝α45°，
②设三α角形的底角为2 ，顶角为 ，
则2 +2 + ＝180°， α α
解得α： α＝α36°，
α∴2 ＝72°，
∴三α角形的“可爱角”应该是45°或72°，
故选：C．
12．如图，已知△ABC的内角∠A＝ ，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点
A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平α分线交于点A ，得∠A ；……以此类推得到∠A ，则∠A 的度
1 1 1 1 2 2 2024 2024
数是（ ）
α α α α
A． B． C． D．90+
2 22023 22024 2
【答案】C
【解答】解：∵A B是∠ABC的平分线，A C是∠ACD的平分线，
1 1
1 1
∴∠A BC= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD，
1 2 1 2
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A CD＝∠A BC+∠A ，
1 1 1
1 1
∴ (∠ABC+∠A)= ∠ABC+∠A ，
2 2 1
1
∴∠A = ∠A，
1 2
∵∠A＝ ，
αα
∴∠A = ；
1 2
1 α 1 α
同理可得∠A
2
=
2
∠A
1
=
22
，∠A
3
=
2
∠A
2
=
23
，⋯，
α
∴∠A = ，
n 2n
α
∴∠A = ，
2024 22024
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝4cm2，则阴影部
分的面积为 1 cm2．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
1 1
∴S△ABD ＝S△ACD = S△ABC = ×4＝2（cm2），
2 2
1 1
同理S△BDE ＝S△CDE = S△BCE = ×2＝1（cm2），
2 2
∴S△BCE ＝2（cm2），
∵F为EC中点，
1 1
∴S△BEF = S△BCE = ×2＝1（cm2）．
2 2
故答案为1．
14．已知a，b，c是一个三角形的三条边长，化简|a+c﹣b|﹣|a﹣b﹣c|＝ 2 a ﹣ 2 b ．
【答案】2a﹣2b．
【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+c＞b，a＜b+c，
∴|a+c﹣b|﹣|a﹣b﹣c|
＝a+c﹣b﹣[﹣（a﹣b﹣c）]
＝a+c﹣b+a﹣b﹣c
＝2a﹣2b．
故答案为：2a﹣2b．
15．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝ 9 ° ．
【答案】9°．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，∵AD为△ABC的角平分线，
1
∴∠BAD= ∠BAC＝35°，
2
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°，
故答案为：9°．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边
上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
17．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝
100°，则∠A的度数为 60 ° ．
【答案】60°．
【解答】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝100°，
∴∠GBD+∠GCD＝180°﹣∠BGC﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
1 1
∴∠GBD= ∠ABD，∠GCD= ∠ACD，
2 2
∴∠ABD+∠ACD＝2（∠GBD+∠GCD）＝80°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ACD）﹣（∠DBC+∠DCB）＝60°，
故答案为：60°．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE
于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE ＝S△BCE ．上
述结论中，所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【答案】②③④．
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE ＝S△BCE ，
故④正确，符合题意；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD⊥BC，
∴∠BCF+∠CGD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACF+∠AFG＝90°，
∴∠CGD＝∠AFG，∵∠CGD＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠AFG，
故②正确，符合题意；
∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，
故③正确，符合题意；
根据已知条件无法证明BF＝AF，故①错误，不符合题意；
故答案为：②③④．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容一一利用平行
线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和
转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的
添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【答案】见解析．
【解答】解：过A作DE∥BC，
∴∠EAC＝∠C，∠DAB＝∠B，
又∠EAC+∠BAC+∠DAB＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°．
20．（8分）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，
制作一个三角形木框．
（1）小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2cm．试判断第一段的长
能否为3cm，并说明理由；
（2）小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4cm和CD＝8cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三
根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度．【答案】（1）不能；
（2）3cm或4cm或5cm．
【解答】解：（1）第一段的长不能为3cm；
理由如下：
根据题意，第一段长a cm，第二段的长（3a﹣2）cm，第三段的长为[12﹣a﹣（3a﹣2）]＝（14﹣4a）
cm，
当a＝3cm时，3a﹣2＝7cm，14﹣4a＝2cm，
∵3+2＜7，
∴三个木棒不能制作一个三角形木框，
∴第一段的长不能为3cm；
（2）设CP＝x cm，则PD＝（8﹣x）cm，
∵AB、CP、PD能组成三角形，
∴x+4＞8﹣x且4+8﹣x＞x，
解得2＜x＜6，
∴整数x为3或4或5，
即符合条件的CP的整数长度为3cm或4cm或5cm．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【答案】（1）72°；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE= ∠ABC＝18°，
2
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
22．（8分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
1
∴∠ECB= ∠ACB=25°，
2
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3，
∵AB＝9，
∴BC＝12或6．
23．（10分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使
∠1＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠1，
∵∠1＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC；
（2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝34°，
∴∠B＝∠DFE＝34°，
在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝34°，
∴∠ACB＝180°﹣36°﹣34°＝110°，
∵CD平分∠ACB，
1
∠1= ∠ACB=55°，
2
∴∠2＝180°﹣36°﹣55°＝89°．
24．（10分）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB
于点E，交AC于点F．
（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝ ，∠BDA＝ ，求∠FAD+∠C的度数（用含 和 的代数式表示）．
α β α β【答案】（1）60°；
1
（2） − ．
2
β α
【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°，
∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，
又∵∠BDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠BAD＝60°；
（2）如图2：
过点A作AG∥BC，
则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝ ，
1 1 β
则∠FAD+∠C＝ ﹣∠DBC＝ − ∠ABC＝ − ．
2 2
β β β α
25．（10分）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“八字
图形”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD，AB分别交于点M，N．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论： ∠ C + ∠ 1 ＝∠ P + ∠ 3 ；
∠ B + ∠ 4 ＝∠ P + ∠ 2 ．
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③根据②的结果直接写出∠B，∠C，∠P之间的关系（不需要证明）．
【答案】（1）详见解答；
（2）①∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2；
②110°；
③∠B+∠C＝2∠P．
【解答】（1）证明：如图①，
∵∠A+∠C+∠AOC＝180°＝∠B+∠D+∠BOD，而∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）①如图②，由（1）的结论可得，∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2，
故答案为：∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2；
②∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2，
∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，
即∠B+∠C＝2∠P，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
100°+120°
∴∠P= =110°；
2
③∠B+∠C＝2∠P，理由如下：
∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2，
∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，
即∠B+∠C＝2∠P．26．（10分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F．
（1）【问题呈现】
如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数；
（2）【问题推广】
如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数；
（3）【问题拓展】
若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP＝ ，∠ACB＝ ．射线CF与∠APQ的平分线所在的直
线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHCα与∠BFC之间β的数量关系（用含 ， 的式子表示）．
α β
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在△ABC中，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB，
∴2∠FBC+2∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
1 1
∴∠FBC+∠FCB= （180°﹣∠A）＝90°− ∠A，
2 2
∵∠BFD是△FBC的一个外角，
1
∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝90°− ∠A；
2
∵∠A＝100°，
1
∴∠BFD＝90°− ×100°＝40°；
2
（2）∵∠AMF＝180°﹣∠1，∠ANF＝180°﹣∠2，∠1+∠2＝160°，∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°，
由折叠性质得：∠AMF＝2∠AMN，∠ANF＝2∠ANM，
∴2∠AMN+2∠ANM＝∠AMF+∠ANF＝200°，
∴∠AMN+∠ANM＝100°，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝80°，
由（1）得：∠BFD＝90°﹣1/2∠A，
1
∴∠BFD＝90°− ×80°＝50°，
2
∴∠BFC＝180°﹣∠BFD＝130°；
（3）∵P，Q分别是线段AB，AC上的点，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H，
∴有以下两种情况：
①射线CF与∠APQ的平分线相交于点H，设射线PH交AC于K，如图1所示：
1
由（1）得：∠BFH＝90°− ∠A，
2
1
∴∠BFD＝180°﹣∠BFH＝90°+ ∠A，
2
∵CF平分∠ACB，PH平分∠APQ，∠ACB＝ ，
1 1 1 β
∴∠ACH= ∠ACB= ，∠APK= ∠APQ，
2 2 2
β
∵∠APQ＝180°﹣∠A﹣∠AQP＝180°﹣∠A﹣ ，
1 α
∴∠APK＝∠APQ＝90°− ∠A﹣1/2 ，
2
α
∵∠1＝∠APK+∠A
1 1 1 1
∴∠1＝90°− ∠A− +∠A＝90°+ ∠A− ，
2 2 2 2
α α
1
即∠1＝∠BFC− ，
2
α
∵∠PHC＝∠1+∠ACH，1 1
∴∠PHC＝∠BFC− + ，
2 2
α β
1 1
∴∠PHC﹣∠BFC= − ；
2 2
β α
②射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H时，设射线PH交AC于K，如图2所示：
1
同理：∠1＝∠BFD− ，
2
α
1 1
在△KHC中，∠PHC＝180°﹣∠1﹣∠ACH＝180°﹣（∠BFC− ）−
2 2
α β
1 1
∴∠PHC+∠BFC＝180°+ − ．
2 2
α β
1 1 1
综上所述：∠PHC与∠BFC之间的数量关系是：∠PHC﹣∠BFC= − 或∠PHC+∠BFC＝180°+
2 2 2
β α
1
− ．
2
α β
