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专题 13.5 三角形的外角
1. 掌握三角形外角的概念，并能够熟练判断三角形的外角；
教学目标 2. 掌握三角形外角的性子，能够熟练的应用三角形的外角解决相关题目。
3. 能够熟练的对三角形的内角和外角进行综合应用。
1. 重点
（1）三角形的外角及其性质；
2. 难点
教学重难点
（1）三角形的两条内角平分线形成的夹角与第三个角的关系；
（2）三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角与第三个角的关系；
（3）三角形的两条外角平分线形成的夹角与第三个角的关系。知识点01 三角形的外角
1. 三角形外角的定义：
如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。
知识点02 三角形的外角定理
1. 三角形的外角性质：
①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。
即∠1= ∠ 2+ ∠ 3 。
②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。
③三角形的外角与相邻的内角 互补 。
④三角形的外角和都等于 360 ° 。
【即学即练1】
1．如图，△ABC的外角∠DAC＝100°，∠B＝60°，则∠C（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵∠DAC是△ABC的外角，∠DAC＝100°，∠B＝60°，
∴∠C＝∠DAC﹣∠B＝40°．
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（
）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】C
【解答】解：∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠B+∠C，
∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠B﹣15°，
∴3∠B＝165°，
∴∠B＝55°，
∴∠DAC＝2×55°＝110°，
故选：C．
【即学即练3】
3．如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2＝∠1
【答案】B
【解答】解：根据三角形的外角都大于与它不相邻的两个内角可得：
∠2＞∠1；
故选：B．
【即学即练4】
4．一副直角三角板按如图所示方式放置，则∠1的度数为（ ）
A．75° B．60° C．105° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵一副直角三角板按如图所示方式放置，
∴∠2＝45°，∠3＝60°，
∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°，
故选：C．
【即学即练5】
5．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则
∠P＝（ ）A．30° B．35° C．25° D．40°
【答案】A
【解答】解：由条件可知∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故选：A．
【即学即练6】
6．如图，∠ABC的外角平分线AD，CD交于点D．若∠B＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．115° D．65°
【答案】D
1 1
【解答】解：由条件可知∠CAD= (∠B+∠ACB)，∠ACD= (∠B+∠BAC)，
2 2
1
∴∠D=180°−∠CAD−∠ACD=180°−∠B− (∠ACB+∠BAC)，
2
∵∠B＝50°，
∴∠ACB+∠BAC＝180°﹣∠B＝130°，
1
∴∠D=180°−50°− ×130°=65°．
2
故选：D．
【即学即练7】
7．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于
130° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°，
故答案为：130°．
题型01 利用三角形的外角定理求角度
【典例1】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠ 的度数是（ ）
α
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【解答】解：∵直角三角板，
∴ ＝90+60°＝150°，
故选：D．
α
【变式1】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【解答】解：由图可得∠1＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（
）A．35° B．50° C．65° D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
1
∴∠BAD＝∠CAD= ∠BAC，
2
∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC＝65°，
1
∴∠B+ ∠BAC＝65°，
2
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝50°，
故选：B．
【变式3】如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点
D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝ ，∠MAC＝ ，∠ADC＝ ，则 ， ， 三者间的数量关系是
（ ）
α β γ α β γ
A． ＝ + B． ＝2 ﹣2 C． ＝ +2 D． ＝2 ﹣
【答案】D
β α γ β α γ β α γ β γ α
【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝ ，
∴∠B＝∠EFC＝ ，
α
∵CD平分∠BCA，
α
∴∠ACB＝2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD，
∵∠ADC＝ ，
∴∠BCD＝ ﹣ ，
γ
∵∠MAC是△ABC的外角，
γ α
∴∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵∠MAC＝ ，
∴ ＝ +2（ ﹣ ），
β
β α γ α即 ＝2 ﹣ ，
故选：D．
β γ α
题型02 比较角度的大小关系
【典例1】如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的
是（ ）
A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠B＜∠ACD．
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关
系是（ ）
A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3
【答案】A
【解答】解：∵∠2＝∠1+∠ABD，∠3＝∠2+∠CBD，∠ABD＞0°，∠CBD＞0°，
∴∠1＜∠2＜∠3，即∠1，∠2，∠3的大小关系是∠1＜∠2＜∠3，
故选：A．
【变式2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系正确的是（ ）A．∠1＝∠2+∠3 B．2∠2＝∠1+∠3 C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3
【答案】D
【解答】解：由三角形的外角大于与它不相邻的每一个内角，可得∠1、∠2、∠3的大小关系为：∠1
＞∠2＞∠3．
故选：D．
【变式3】点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A的大小关
系是（ ）
A．∠A＞∠2＞∠1 B．∠1＞∠A＞∠2 C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠2＞∠A
【答案】D
【解答】解：∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1＞∠2，
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2＞∠A，
∴∠1＞∠2＞∠A．
故选：D．
题型03 三角形的外角与直角三角板
【典例1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解答】解：∵∠EAD＝45°，
∴∠FBA＝∠EAD﹣∠FBA＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【变式1】数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠ 等于（ ）
αA．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【解答】解：∵图中是一副三角板叠放，
∴∠ACB＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ 是△ACE的外角，
∴∠ ＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°．
α
故选：D．
α
【变式2】一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是（ ）
α
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【解答】解：∠ ＝30°+45°＝75°，
故选：C．
α
【变式3】一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【解答】解：由三角形的外角定理可知，
∠1＝45°+30°＝75°．
故选：C．
题型04 三角形的两条内角平分线
【典例1】如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD）
∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD），
∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC）
1
∴∠BDC＝90°+ ∠A，
2
∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°，
故选：D．
1
【变式1】如图，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+ ∠A的理由．
2
解：∵BD平分∠ABC（已知），
1
∴∠DBC＝ ∠ ABC （角平分线定义）．
2
1
同理：∠DCB＝ ∠ ACB ．
2
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（ 三角形的内角和等于 180 ° ），
∴∠D＝ 180 ° ﹣（∠ DBC + ∠ DCB ） （等式性质）．
1
即：∠D＝90°+ ∠A．
2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BD平分∠ABC（已知），
1
∴∠DBC= ∠ABC（角平分线定义），
2
1
同理：∠DCB= ∠ACB，
2
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（三角形的内角和等于180°），
1
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°− （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝180°− （180°﹣∠A）
2
1
＝90°+ ∠A（等式性质），
2
1
即：∠D＝90°+ ∠A，
2
【变式 2】如图，在△AOB 中，AO ，BO 分别平分∠OAB，∠OBA，AO ，BO 分别平分∠OAO ，
1 1 2 2 1
∠OBO ，若∠O＝60°，则∠O ＝（ ）
1 2
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】A
【解答】解：∵∠O+∠OAB+∠OBA＝180°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠O＝180°﹣60°＝120°，
∵AO ，BO 分别平分∠OAB，∠OBA，
1 1
1 1
∴∠O AB=∠O AO= ∠OAB，∠O BA=∠O BO= ∠OBA，
1 1 2 1 1 2
又∵AO ，BO 分别平分∠OAO ，∠OBO ，
2 2 1 1
1 1 1 1
∴∠O AO = ∠O AO= ∠OAB，∠O BO = ∠O BO= ∠OAB
2 1 2 1 4 2 1 2 1 4
3 3 3 3
∴∠O AB+∠O BA= ∠OAB+ ∠OAB= (∠OAB+∠OAB)= ×120°=90°，
2 2 4 4 4 4
∴∠O ＝180°﹣（∠O AB+∠O BA）＝180°﹣90°＝90°，
2 2 2
故选：A．
1 1
【变式 3】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点 D，且∠EBC = ∠ABC，∠ECB =
3 3
∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（ ）A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180°
C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90°
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB
2 2
1 1
∵∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
3 3
3 3
∴∠DBC= ∠EBC，∠DCB= ∠ECB，
2 2
∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，
3 3
∴∠D+ ∠EBC+ ∠ECB=180°，
2 2
∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，
3
∴∠D+ (180°−∠E)=180°，
2
整理得3∠E﹣2∠D＝180°，
故选：A．
题型05 三角形的内角平分线与外角平分线
【典例1】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示.
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．
又∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D，
∴∠A＝2∠D，
又∵∠D＝40°，
∴∠A＝80°．
故选：D．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD
1
的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝ ，则∠2的大小为 α ．（用含 的式子表示）
2
α α
1
【答案】 α．
2
【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，
1
∴∠CBE= ∠ABC，
2
∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，
1
∴∠ACE=∠DCE= ∠ACD，
2
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣∠ABC+∠1）＝∠1+∠ABC，∠ECD＝180°﹣∠ECB＝180°
﹣（180°﹣∠EBC+∠1）＝∠EBC+∠2，
1 1 1
∴∠2=∠ECD−∠EBC= (∠ACD−∠ABC)= ∠1= α；
2 2 2
1
故答案为： α．
2
【变式2】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，
∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
【变式3】如图，已知△ABC的内角∠A＝ ，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交
于点A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ；……以此类推得到∠A ，则∠A
1 1 1 1 α 2 2 2024 2024
的度数是（ ）
α α α α
A． B． C． D．90+
2 22023 22024 2
【答案】C
【解答】解：∵A B是∠ABC的平分线，A C是∠ACD的平分线，
1 1
1 1
∴∠A BC= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD，
1 2 1 2
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A CD＝∠A BC+∠A ，
1 1 1
1 1
∴ (∠ABC+∠A)= ∠ABC+∠A ，
2 2 1
1
∴∠A = ∠A，
1 2
∵∠A＝ ，
α
∴∠A =α ；
1 2
1 α 1 α
同理可得∠A
2
=
2
∠A
1
=
22
，∠A
3
=
2
∠A
2
=
23
，⋯，
α
∴∠A = ，
n 2n
α
∴∠A = ，
2024 22024
故选：C．题型04 三角形的两条外角平分线
【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的
度数为（ ）
A．47° B．57° C．67° D．77°
【答案】C
【解答】解：∵∠DAC＝∠B+∠ACB，∠FCA＝∠B+∠BAC，
∴∠DAC+∠FCA＝∠B+∠ACB+∠BAC+∠B＝180°＝46°＝226°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
1 1
∴∠CAE= ∠DAC，∠ACE= ∠ACF，
2 2
1
∴∠CAE+∠ACE= （∠DAC+∠ACF）＝113°，
2
∴∠AEC＝180°﹣113°＝67°．
故选：C．
【变式1】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为
（ ）
A．42° B．40° C．38° D．35°
【答案】B
【解答】解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，
1 1
∴∠PAC= ∠CAF，∠ACP= ∠ACE，
2 2
∵∠P＝70°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确．
故选：B．【变式2】如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点 F，连接AF．若∠BAC＝50°，则
∠BAF＝ 25 ° ．
【答案】25°．
【解答】解：过F作FM⊥AE于M，FN⊥AD于N，FK⊥BC于K，
∵CF平分∠BCE，BF平分∠CBD，
∴FM＝FK，FN＝FK，
∴FM＝FN，
∵FM⊥AE于M，FN⊥AD于N，
∴AF平分∠BAC，
1 1
∴∠BAF= ∠BAC= ×50°＝25°．
2 2
故答案为：25°．
【变式3】如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长
FB和GC交于点H．设∠A＝ ，∠H＝ ，则 与 之间的数量关系为 + 2 ＝ 180 ° ．
α β α β α β
【答案】 +2 ＝180°．
【解答】解：∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，
α β
∴设∠ABF＝∠DBF＝ ，∠ACG＝∠ECG＝ ，
则∠ABD＝2 ，∠CBH＝∠DBF＝ ，∠ACE＝2 ，∠BCH＝∠ECG＝ ，
θ φ
∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2 ，∠ACB＝180°﹣∠ACE＝180°﹣2 ，
θ θ φ φ
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
θ φ
∴ +180°﹣2 +180°﹣2 ＝180°，
α θ φ1
整理得： + ＝90°+ ，
2
在Rt△HB θ C φ中，∠H+∠α CBH+∠BCH＝180°，
∴ + + ＝180°，
1
∴β + θ 90° φ+ ＝180°，
2
整β理得： + α 2 ＝180°．
∴ 与 之间的数量关系为 +2 ＝180°．
α β
故答案为： +2 ＝180°．
α β α β
α β
1．在如图所示的三角形中，x的值是（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】C
【解答】解：由三角形的外角性质得：x+70＝x+10+x，
∴x＝60．
故选：C．
2．如图，△ABC中有AD，D点在BC上．根据图中标示的度数，求p+q+r之值是多少？（ ）
A．140 B．150 C．160 D．180
【答案】C
【解答】解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠C＝70°，∠ADC＝r°，
由三角形内角和定理得：∠DAC+∠C+∠ADC＝180°，
∴30°+70°+r°＝180°，
∴r＝80，
∴∠ADC＝r°＝80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∠B＝q°，∠BAD＝p°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝p°+q°，
∴p°+q°＝80°，
∴p+q＝80，
∴p+q+r＝80+80＝160．
故选：C．
3．将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠1等于（ ）
A．45° B．60° C．105° D．120°
【答案】C
【解答】解：如图，
由题意可知，∠ABC＝90°，
∴∠2＝∠ABC﹣45°＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠A+∠2＝60°+45°＝105°，
所以∠1等于105°，
故选：C．
4．在图中，∠1+∠2+∠B＝（ ）
A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC
【答案】B
【解答】解：∵∠ADC＝∠1+∠B，∠AEC＝∠ADC+∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2+∠B，
故选：B．
5．如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O的光
线相交于点P，F为焦点．若∠1＝150°，∠2＝25°，则∠3的度数为（ ）A．75° B．65° C．55° D．45°
【答案】C
【解答】解：∵光线平行于主光轴，
∴∠1+∠PFO＝180°，
∵∠1＝150°，
∴∠PFO＝30°，
∵∠POF＝∠2＝25°，
∴∠3＝∠POF+∠PFO＝55°．
故选：C．
6．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，
这个人字架中的∠3＝120°，你能求出∠1比∠2大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．不能确定
【答案】B
【解答】解：在图中标注∠4，如图所示．
∵∠3与∠4互补，∠3＝120°，
∴∠4＝180°﹣120°＝60°，
∵∠1是外角，
∴∠1＝∠2+∠4，
∴∠1﹣∠2＝∠4＝60°．
故选：B．
7．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CDF＝20°，∠CEF＝
30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝135°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则∠D应调
整为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【解答】解：如图，连接CF，并延长至点M，
在△ABC中，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB＝70°，
∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，
∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E，
∵∠EFD＝135°，∠CEF＝30°，
∴135°＝70°+∠D+30°，
∴∠D＝35°，
∴∠D应调整为35°．
故选：C．
8．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（ ）
A．40° B．20° C．18° D．38°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中已知∠B＝36°，∠C＝76，
∴∠BAC＝68°．
∴∠BAD＝∠DAC＝34°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，∴∠DAE＝20°．
故选：B．
9．如图，D是△ABC的边AC上点，连接BD，CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M．△ABC的外
角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G．当∠CBD＝∠A时，有下列四个结论：
①∠CHD与∠G互余；
②∠CBD＝∠BCG；
③∠MHD﹣∠G＝90°；
④∠MHD＝90°+∠A．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
【解答】解：∵CM平分∠ACB，CF平分∠ACE，
1 1
∴∠BCM=∠ACM= ∠ACB，∠GCB=∠ECF= ∠ACE，
2 2
1 1 1
∴∠BCM+∠GCB= ∠ACE+ ∠ACB= (∠ACE+∠ACB)=90°，即∠MCG＝90°，
2 2 2
∴∠G+∠CMG＝90°，
∵∠CMG＝∠ACM+∠A，∠CHD＝∠BCM+∠CBD，∠CBD＝∠A，
∴∠CMG＝∠CHD，
∴∠G+∠CHD＝90°，
∴∠CHD与∠G互余，故①正确；
∵∠BCG+∠BCM＝90°，∠A+∠G+∠ACM+∠BCG+∠BCM＝180°，
∴∠A+∠G+∠ACM＝90°，
∵∠BCM＝∠ACM，
∴∠BCG＝∠A+∠G，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠BCG＝∠CBD+∠G，故②错误；
∵∠A+∠G+∠ACM＝90°，∠CBD＝∠A，
∴∠MHD＝∠BCH＝180°﹣∠CBD﹣∠BCM＝180°﹣∠A﹣∠ACM＝180°﹣（90°﹣∠G）＝90°+∠G，
∴∠MHD﹣∠G＝90°，故③正确；
∵∠A≠∠G，
∴∠MHD≠90°+∠A，故④错误；综上所述，正确的是①③，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在
直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝
90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，BE是△ABC的外角的平分线，
∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°，
故①正确；
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
1 1
∴∠ABD＝∠OBC= ∠ABC，∠OCB＝∠ACO= ∠ACB，
2 2
又∵∠A＝40°，
1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）＝70°，
2
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°，
故②正确；
∵CD平分∠ACF，
1
∴∠DCF= ∠ACF，
2
1
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∠ABD+∠OBC= ∠ABC，
2
∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A＝∠ACF＝2∠DCF，
∴2∠D＝∠A，
∴∠D＝20°，
故③正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
1
∴∠EBC+∠ECB＝90°+ ∠A＝110°，
2
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝70°，
故④正确；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
11．如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得∠ACB＝50°，∠DAC＝115°，则直线DE
与BC所夹锐角的大小为 65 ° ．
【答案】65°．
【解答】解：延长DE交BC于F，
∵∠ACB＝50°，∠DAC＝115°，
∴∠AFC＝∠DAC﹣∠ACB＝65°．
故答案为：65°．
12．如图，∠B＝20°，∠C＝31°，∠BPC＝123°，则∠A＝ 7 2 °．【答案】72．
【解答】解：如图，连接AP并延长至点D，
有由意可得：
∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝∠BAP+∠B+∠CAP+∠C＝123°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝123°，
∵∠B＝20°，∠C＝31°，
∴∠BAC＝123°﹣∠B﹣∠C＝72°，
故答案为：72．
13．一个零件的形状如图所示，按设计∠A等于90°，∠B，∠D分别是20°和30°．现有一该产品请你检验，
若你量得∠BCD不等于 14 0 °时，可断定这个零件不合格．
【答案】140．
【解答】解：连接AC，并延长至点E，如图所示．
∵∠DCE是△ACD的外角，∠BCE是△ABC的外角，
∴∠DCE＝∠D+∠DAC，∠BCE＝∠B+∠BAC，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECE
＝∠B+∠BAC+∠DAC+∠D
＝∠B+∠BAD+∠C，
又∵∠BAD＝90°，∠B＝20°，∠D＝30°，
∴∠BCD＝20°+90°+30°＝140°，
∴若量得∠BCD不等于140°时，可断定这个零件不合格．故答案为：140．
14．如图，△ABC中∠BAC的外角的平分线AE与∠ABC的平分线AD相交于点P，∠C＝80°，则∠APB
的度数是 40 ° ．
【答案】40°．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，AP平分∠CAM，
1 1
∴∠ABP= ∠ABC，∠MAP= ∠CAM，
2 2
∵∠MAP＝∠ABP+∠APB，
1 1
∴ ∠CAM = ∠ABC+∠APB，
2 2
1 1
∴ （∠ABC+∠C）= ∠ABC+∠APB，
2 2
1 1
∴∠APB= ∠C= ×80°＝40°．
2 2
故答案为：40°．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平分线交
1 1 1 1
于点A ，得∠A ，已知∠A 、∠A 、∠A的和为84°，则∠A＝ 4 8 °．
2 2 2 1
【答案】48．
【解答】解：由条件可知∠ABA ＝∠A BC，∠ACA ＝∠A CD，
1 1 1 1
1
∵∠ABC+∠A＝∠ACD，∠A BC+∠A =∠A CD= ∠ACD，
1 1 1 2
∴2∠A BC+2∠A ＝2∠A CD＝∠ACD，
1 1 1∴2∠A BC+2∠A ＝∠ABC+∠A＝∠ACD，
1 1
∴2∠A ＝∠A；
1
1 1
由条件可知∠A BA =∠A BC= ∠A BC，∠A C A =∠A CD= ∠A CD，
1 2 2 2 1 1 2 2 2 1
1
∵∠A BC+∠A ＝∠A CD，∠A BC+∠A =∠A CD= ∠A CD，
1 1 1 2 2 2 2 1
∴2∠A BC+2∠A ＝∠A CD，
2 2 1
∴2∠A BC+2∠A ＝∠A BC+∠A ＝∠A CD，
2 2 1 1 1
∴2∠A ＝∠A ，
2 1
∴4∠A ＝2∠A ＝∠A，
2 1
∵∠A 、∠A 、∠A的和为84°，
2 1
∴∠A+∠A +∠A ＝4∠A +2∠A +∠A ＝84°，
1 2 2 2 2
∴∠A ＝12°，
2
∴∠A＝4∠A ＝4×12°＝48°．
2
故答案为：48．
16．如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度数；
（2）试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）∠BAC＝104°；
（2）∠BAC＝∠B+2∠E，证明见解析．
【解答】解：（1）由条件可知∠ECD＝∠B+∠E＝32°+36°＝68°，
∵EC平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝68°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+36°＝104°；
（2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由如下：
由条件可知∠ACE＝∠ECD，
又∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E
＝∠B+∠E+∠E
＝∠B+2∠E，
即∠BAC＝∠B+2∠E．
17．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，作∠BAG＝∠C，∠ABF是△ABC的外角，∠ABF的平分线交CA的延长线于点E．
（1）求证：BD⊥BE；
（2）若∠E＝20°，求∠AHB的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）110°．
【解答】（1）证明：∵∠ABC的平分线交AC于点D，∠ABF的平分线交CA的延长线于点E，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC，∠ABE= ∠ABF，
2 2
∵∠ABC+∠ABF＝180°，
1
∴∠ABD+∠ABE= （∠ABC+∠ABF）＝90°，即BD⊥BE；
2
（2）解：由（1）知BD⊥BE，∠CBD＝∠DBA，
∴∠DBE＝90°，
∵∠E＝20°，
∴∠BDE＝90°﹣20°＝70°，
∴∠C+∠CBD＝∠BDE＝70°，
∵∠BAG＝∠C，∠CBD＝∠DBA，
∴∠DBA+∠BAG＝70°，
∴∠AHB＝180°﹣70°＝110°．
18．如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝ ，∠C＝ （ ＜
），请用 、 的代数式表示∠DFE．
α β α
β α β
【答案】（1）∠DAE＝15°；1
（2）∠DFE= (β−α)．
2
【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
1 1
∴∠BAD＝∠CAD= ∠BAC= ×80°＝40°，
2 2
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝35°+40°＝75°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°，
即∠DAE的度数为15°；
（2）∵∠B＝ ，∠C＝ ，
∴∠BAC＝180°﹣ ﹣ ，
α β
∵AD平分∠BAC，
α β
1
∴∠BAD=∠CAD=90°− (α+β)，
2
1
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°− (α+β)，
2
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
1
∴∠DFE=90°−∠ADE= (β−α)．
2
19．如图，已知△ABC中，∠A＞∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AC于点E．
（1）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠D的度数；
1
（2）如图①，求证：∠D= (∠A−∠C)；
2
1
（3）如图②，若点D恰好在△ABC外角的角平分线上，且∠BDE＝24°，求 ∠ABC+∠EDC的度
4
数．
【答案】（1）20°；（2）证明见解答；
（3）33°．
【解答】（1）解：如图1，∵∠A＝80°，∠C＝40°（已知），
∴∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°（三角形的内角和定理），
∵BD平分∠ABC（已知），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°（角平分线的定义），
∵DE⊥AC（已知），
∴∠AED＝90°（垂直的定义），
∵∠AOD＝∠A+∠ABD＝∠DEO+∠D，
∴80°+30°＝90°+∠D，
∴∠D＝20°；
（2）证明：设∠A＝2 ，∠C＝2 ，
∴∠ABC＝180°﹣2 ﹣2 ，
α β
∵BD平分∠ABC，
α β
∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣ ﹣ ，
∵∠AOD＝∠A+∠ABD＝∠DEO+∠D，
α β
∴2 +90°﹣ ﹣ ＝90°+∠D，
∴∠D＝ ﹣ ，
α α β
∵∠A＝2 ，∠C＝2 ，
α β
1
∴∠D= α(∠A−∠βC)；
2
（3）解：如图2，设∠CDE＝x，
∵∠BDE＝24°，
∴∠CDO＝24°+x，∵∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣x，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCE＝∠DCF＝90°﹣x（角平分线的定义），
∴∠ACB＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x（平角的定义），
1
由（2）知：∠BDE= （∠A﹣∠ACB），
2
∴∠A＝2×24°+2x＝48°+2x，
1 1
∴ ∠ABC+∠EDC= （180°﹣48°﹣2x﹣2x）+x＝33°．
4 4
20．综合与实践
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝50°，那么∠BPC＝ 115 °
．
（2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出
∠A的度数．
1
【答案】（1）115°；（2）∠Q=90°− ∠A；（3）∠A的度数是45°或135°或36°或144°．
2
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵点P是∠ABC 和∠ACB的平分线的交点，
1
∴∠P＝180°− （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣65°＝115°，
2
故答案为：115°；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点Q，
1 1 1
∴∠QBC+∠QCB= (∠MBC+∠NCB)= (360°−∠ABC−∠ACB)= (180°+∠A)
2 2 2
1
=90°+ ∠A，
2
1 1
∴∠Q=180°−(90°+ ∠A)=90°− ∠A；
2 2（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC 的外角∠ACF 的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
1
∴∠A＝2∠E，即∠E= ∠A；
2
1 1 1
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ= ∠ABC+ ∠MBC= (∠ABC+∠A+∠ACB)=90°．
2 2 2
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝4∠E＝90°，则∠E＝22.5°，
∴∠A＝2∠E＝45°；
②∠EBQ＝4∠Q＝90°，则∠Q＝22.5°，∠E＝67.5°，
∴∠A＝2∠E＝135°；
③∠Q＝4∠E，则5∠E＝90°，
∴∠E＝18°，
∴∠A＝2∠E＝36°；
④∠E＝4∠Q，则∠E＝72°，
∴∠A＝2∠E＝144°；
综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°．
