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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第十三章 三角形·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为 ，另一个锐角
的度数即为 减去已知锐角的度数．
【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为 ，
∴ ．
故选：D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，对各选项
逐一验证，判断是否满足条件．
【详解】解：A、 ， ， ，
最大边为 ，另两边之和为 ，
，
∴ 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B、 ， ， ，
最大边为 ，另两边之和为 ，
，
∴ 三线段共线，无法构成三角形；
C、 ， ， ，
最大边为 ，另两边之和为 ，
，
不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；D、 ， ， ，
最大边为 ，另两边之和为 ，
，且 ， 均成立，
满足三边关系，能组成三角形，
故选：D ．
3．如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程
中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（ ）
A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性
C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点
【答案】B
【分析】本题考查了三角形具有稳定性，结合题意得跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，
可以使射击者在射击过程中保持稳定，进行作答即可．
【详解】解：依题意，跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中
保持稳定，
∴蕴含的数学知识是三角形具有稳定性，
故选：B
4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F
在同一条直线上， ．当 时， 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到 ，再
根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：B．
5．如图， 是 的平分线， 是 的邻补角的平分线， ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和”是解题的关键．利用角平分线的定义，可求出 ， 的度数，由 是
的外角，利用三角形的外角性质，即可求出 的度数．
【详解】解： 是 的平分线， 是 的邻补角的平分线， ， ，
， ，
是 的外角，
．
故选：C．
6．若a、b、c是三角形的三边长，则化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简.
根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
故选：A．
7．如图， 的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．
根据三角形外角的性质可得： ，再根据三角形内角和定理即即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：A．
8．如图，在 中， ， 的平分线交于点 ，连接 ， 平分 ，交 于点 ，
若 的度数为 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中，由三角形内角和定理可得 ，由角平分线的定义得
，在 中，由三角形内角和定理可得 ，由角平分线定义得
， ，进而可求得 ．本题主要考查了角平分线
的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵ 中， ，
∴ ，
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， 的平分线交于点 ，
∴ 平分 ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．9．如图，点 为线段 上一点，分别以 、 为边在线段 同侧作 和 ，且
， ．若 的平分线与 的平分线的交于点 ，则 与 的数量关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算．
分别求出 ， ，再找到可以去掉
的式子即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∵ 的平分线与 的平分线的交于点 ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴即 ．
故选：A．
10．设 的面积为1．如图①， 分别是 的中点， 相交于点 与
的面积差记为 ；如图②， 分别是 的3等分点， 相交于点 ， 与
的面积差记为 ；如图③， 分别是 的4等分点， 相交于点 与 的面
积差记为 ，依此类推，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形规律探索，找出点D，E角标的序号数与等分点的关系是解题关键，由题意得
分别是 的2025等分点，再根据 ， 分别求出面积
即可求出结论．
【详解】解：由题意得 分别是 的2025等分点，如下图：
，，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，求出第三边的取值范围是解题的关键．首先根据三角形的三边
关系确定第三边的取值范围，然后从中取整数即可．
【详解】解：∵两条边长分别是 和 ，
∴第三边的取值范围是 第三边 ，
∵三边均为整数，
∴第三边的长为3，
故答案为：3．
12．如图， 分别是 的高和角平分线，若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出 ， ，进而得出 的度数，进而
得出答案．
【详解】解：∵ 是 的高，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．如图， 是 的外角 的平分线， 交 的延长线于点 ，已知 ，则
的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了三角形的外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角之和．先求出 ，再根据角平分线的定义求出
，最后根据三角形的外角定理，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ，D、E分别在 、 上，将 沿 折叠得
，且满足 ，则 ．
【答案】 /71度
【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出，根据折叠的性质得到 ， ，由平行线的性质得到
， ，推出 ，然后根据平角的定义得
，据此求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
由折叠的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为 ，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，
其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形 中， ，边 是特征边，那么边
的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
是解题的关键．
先根据三角形三边关系求出 ，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
若 ，则 （舍）；
若 ，则 ，
∴边 的长为3，
故答案为：3．
16．如图，在三角形 中， ， 是锐角，将三角形 沿着射线 方向平移得到三
角形 （平移后点 ， ， 的对应点分别是 ， ， ），连接 ，若在整个平移过程中，
和 的度数之间存在3倍关系，则 ．【答案】 或 或
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．先理解 ，且当点 在线段 上，或当点 在 外时，过点 作 ，然后
进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答．
【详解】解：依题得： ，
当点 在线段 上，过点 作 ，如下图
①当
， ，
∵ ；
又 ，
∴ ，
②当 时，
则 ，
∴ ；
当点 在 外时，过点 作 ，如下图：
①当
，， ，
∵
又 ，
∴
即
②当
由图可知， ，
此情况不成立；
综上， 或 或 ，
故答案为： 或 或 ，
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．已知三角形的三条边长为 和 ．
(1)若6是最短边长．求 的取值范围；
(2)若 为整数，求三角形周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用：
（1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得 ，再由
是最短边长，可得 ；
（2）根据（1）所求可得 ，则 的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，即 ，
是最短边长，
，
的取值范围是 ；
（2）解：由（1）可知， ，
为整数，
的最大值为14，
三角形周长的最大值为 ．
18．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完
成下列画图．(1)画出 的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使 与 的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵
活运用是解此题的关键．
（1）重心是三角形中线的交点，作 的中线 ， 交于点 ，点 即为所求；
（2）根据等高模型解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求，
（2）解：如图，点 或（ ）即为所求，
．
19．如图，在 中， 是高， 是 的平分线．
(1)若 ，求：
① 的度数；② 的度数．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)① ，②
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可作答
（1）先根据三角形内角和性质得 ，再结合角平分线的定义得 ，再结合 是高，
得出 的度数，再根据角的关系进行运算得出 的度数，即可作答．
（2）运用等面积法进行列式 ，代入数值进行化简，即可作答．
【详解】（1）（1）解：①∵ 是高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是高，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
20．如图，在 中， ，直线 分别交 、 和 的延长线于点 、 、 ．(1)若 ， ，则 ________．
(2)猜想 与 的关系，并说明理由．
(3)在线段 上取一点 ，使得 ，连接 ，判断 与 的位置关系，并说明理
由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定，
对于（1），根据三角形内角和定理求出 ，再根据三角形内角和定理求出答案；
对于（2），根据三角形内角和定理可得答案；
对于（3），根据三角形内角和定理可得 ，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得出
答案．
【详解】（1）解：在 中， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）解： ．
理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
即 ；
（3）解： ．
理由如下：∵ ，
∴ ，
∴ ．
21．如图，在 中， 平分 交 于点 ．
(1)若点 为线段 上的一个点，过点 作 交 的延长线于点 ．
①若 ， ，则 ___________ ；
②写出 与 、 之间的数量关系，并说明理由．
(2)若点 在线段 的延长线上，过点 作 交直线 于点 ，请你直接写出 与
的数量关系__________．
【答案】(1)① ；② ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角.
（1）①三角形的内角和求出 的度数，平分线求出 的度数，外角求出 的度数，再根据
直角三角形的两个锐角互余，求出 的度数即可；②仿照①法，进行求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理，角平分线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
② ，证明如下：
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图：
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： .
22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个
内角分别为 ， ， 的三角形是“灵动三角形”．如图， ，在射线 上找一点 ，
过点 作 交 于点 ，以A为端点作射线 ，交线段 于点 （规定 ）．(1) 的度数为_____°， _____．（填“是”或“不是”灵动三角形）．
(2)若 ， 是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由．
(3)当 为“灵动三角形”时，直接写出 的度数．
【答案】(1)30°，是
(2) 是“灵动三角形”
(3) 或 或
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题
的关键．
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出 的度数，根据“灵动三角形”的概念判断；
（2）根据“灵动三角形”的概念证明即可；
（3）根据 ，点 在线段 上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可．
【详解】（1）解: ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为“灵动三角形”，
故答案为 ；是；
（2）解: 是“灵动三角形”
理由: ∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“灵动三角形”；
（3）解: ∵ 为“灵动三角形”，
∵点 在线段 上， ，∵ ，
∴ ，
Ⅰ、当 时， ，
∴ ，
Ⅱ、当 时，
∴
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
Ⅳ、当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
Ⅴ、当 时，
∴ ，
∴ ，
∵点 与点 不重合，
∴此种情况不成立，
Ⅵ、当 时，
∴ °，
∴ ，
∴此种情况不存在，
综上所述，当 为“灵动三角形”时， 的度数为 或 或 ．
23．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：
，请你说明理由；
【尝试应用】（2）如图2， 、 分别平分 、 ，若 ， ，求 的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，已知 ， ， ， ，其中 ，
且 为整数，请利用上述结论或方法直接写出 的度数．（用含n， ， 的代数式表示）【答案】（1）见解析 （2）30° （3）
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解
题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证；
（2） ，得 ，再由角平分线的定义，得到 ，
即可求解；
（3）利用（1）的结论及（2）的思路得 、 ；结合
、 ，推出 、 ；代入得到含 、
、 的两个等式①②；对①式乘 后与②式相加，消去 、 ，整理得
。
【详解】解：（1） 和 ，
， ．
，
（2） 分别平分 ，
，
由（1）可知：
由①+②可得 ，
，即 ，， ，
．
（3）直接写出结论： ．
由（1）可知： ，
，
， ，
， ，
①，
②，
由① ②得：
，
．
24．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象
地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究 、 、 、 之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】
①如图2，已知 ，求 的度数；
【拓展延伸】
②如图3，已知 ，求 的度数．
【答案】（1） ，证明见解析；（2）① ；② ．【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问
题．
（1）连接 ，并延长至点 ，利用三角形的外角求解即可；
（2）连接 ，利用（1）中结论可得 ， ，结合已知
可求解；
（3）在直线 上取一点 ，连接 ，利用（2）中结论可得 ，再利用平行线的性质可得
，进而得到 即可求解．
【详解】解：（1） ．
证明：如图，连接 ，并延长至点 ，
∵ ， ，
∵
∴
∴ ；
（2）①如图，连接 ，
由（1）可知 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，在直线 上取一点 ，连接 ，由①可知 ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴ ．
25．【问题探究】
（1）已知：如图1，在 中， ， ， 分别平分 和 ， 的度数是
______．
（2）已知：如图2， 与 分别是 的两个外角，且 ，则
______．
【拓展与应用】
（3）如图3，在四边形 中， 为四边形 的 的平分线及外角 的平分线所在的
直线构成的锐角，若设 ， ，求 的度数；（用含 ， 的式子表示）
（4）如图4． 平分 ， 平分 ，把 折叠，使点A与点I重合，若 ，
则 ______．
【答案】（1） ;（2） ；（3） ；（4）
【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性
质；（1）在 中， ，结合角平分线的含义可得
，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）求解 ，再进一步利用内角和定理可得答案；
（3）延长 ， 交于点 ，同（2）可得 ，证明 ， ，
结合外角的性质可得 ， ，可得 ，
进一步求解即可；
（4）求解 ， ，可得
，由（1）得： ．
【详解】解：（1）在 中， ，
∴ ，
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）∵ 与 分别是 的两个外角，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
（3）延长 ， 交于点 ，∵ ， ，
同（2）可得 ，
∵ 为四边形 的 的平分线及外角 的平分线所在的直线构成的锐角，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（4）∵ ，结合折叠，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
由（1）得： ．
