文档内容
第十三章 轴对称 (A·基础巩固)
班级： 姓名： 得分：
总分：150分 时间：120分钟
一．选择题（共12小题）
1．下列交通安全标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
3．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A．三条角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条中线的交点
【解答】解：∵OA＝OB，
∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OC＝OA，
∴O在线段AC的垂直平分线上，
∵OB＝OC，
∴O在线段BC的垂直平分线上，
即O是△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：B．
4．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°
故选：B．
5．若等腰三角形有两条边的长度为5和8，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．18或21 B．21 C．24或18 D．18【解答】解：根据题意，
①当腰长为5时，周长＝5+5+8＝18；
②当腰长为8时，周长＝8+8+5＝21．
故选：A．
6．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，AB，CB分别交直线m于点D和点E，
且DB＝DE，若∠1＝65°，则∠BDE的度数为（ ）
A．115° B．120° C．130° D．145°
【解答】解：如图，
∵DB＝DE，
∴∠2＝∠B，
∴∠3＝2∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠5＝90°﹣∠B，
∵m∥n，
∴∠1+∠5+∠3＝180°，
∴65°+90°﹣∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝25°，
∴∠BDE＝130°，
故选：C．
7．在下列结论中：
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．
故选：C．
8．已知等腰三角形其中一个内角为70°，那么这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．70° B．70°或55° C．40°或55° D．70°或40°
【解答】解：分两种情况：
当70°的角是底角时，则顶角度数为40°；
当70°的角是顶角时，则顶角为70°．
故选：D．
9．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
3 3 3
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜ C．− ＜a＜1 D．a＞
2 2 2
【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在第四象限，
{ a+1＞0①
∴ ，
2a−3＜0②
解不等式①得，a＞﹣1，
3
解不等式②得，a＜ ，
2
3
所以，不等式组的解集是﹣1＜a＜ ，
2
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点
F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AFB＝90°，EF＝2，
∴AE＝2EF＝4，
∵点E为AD的中点，
∴DE＝AE＝4，
∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EBD＝30°，
∴BE＝2DE＝8，
∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，
故选：D．
11．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，
{∠ABP=∠EBP
BP=BP ，
∠APB=∠EPB
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP ＝S△EBP ，S△ACP ＝S△ECP ，
1 1
∴S△PBC = S△ABC = ×12＝6，
2 2
故选：C．
12．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则
CD长的最大值是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．21
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故选：B．二．填空题（共4小题）
13．若点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，则2m+3n的值为 ﹣ 5 ．
【解答】解：∵点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴2m+3n＝2×2+3×（﹣3）＝﹣5．
故答案为：﹣5
14．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为
19 cm ．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为19cm．
15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′＝70°，则
∠B′OG的度数为 55 ° ．
【解答】解：根据轴对称的性质得：∠B′OG＝∠BOG
又∠AOB′＝70°，可得∠B′OG+∠BOG＝110°
1
∴∠B′OG= ×110°＝55°．
2
16．如图，∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，B ，…在射线OM上，△A B A ，
1 2 3 1 2 3 1 1 2
△A B A ，△A B A …均为等边三角形．若OA ＝1，则△A B A 的边长为 2 n ﹣ 1 ．
2 2 3 3 3 4 1 n n n+1【解答】解：∵△A B A 是等边三角形，
1 1 2
∴A B ＝A B ，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
1 1 2 1
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA ＝A B ＝1，
1 1 1
∴A B ＝1，
2 1
∵△A B A 、△A B A 是等边三角形，
2 2 3 3 3 4
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A B ∥A B ∥A B ，B A ∥B A ，
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A B ＝2B A ，B A ＝2B A ，
2 2 1 2 3 3 2 3
∴A B ＝4B A ＝4，
3 3 1 2
A B ＝8B A ＝8，
4 4 1 2
A B ＝16B A ＝16，
5 5 1 2
以此类推：△A B A 的边长为 2n﹣1．
n n n+1
故答案是：2n﹣1．
三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°；
（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，
∴AD＝DB，
∵AC＝EC，∠ACB＝90°，
∴AD＝DE，
∴DE＝DB．
18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA
延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
1
∴BE= BD＝2，
2
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都
在格点上）．
（1）△ABC的面积为 5 ；
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）
1 1 1
【解答】解：（1）S△ABC ＝3×4− ×2×2− ×1×4− ×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
2 2 2
故答案为：5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE
与AF关于AG对称．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB＝2，求△AFD的面积．
【解答】解：（1）∵AE是BC边上的高，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°，
∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，
∴AF＝EF＝DF，
∵AE与AF关于AG对称，
∴AE＝AF，
则AE＝AF＝EF，
∴△AEF是等边三角形；（2）记AG、EF交点为H，
∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，
∴∠EAG＝30°，AG⊥EF，
∵AB与AG关于AE对称，
∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°，
∵AB＝2，
∴BE＝1、DF＝AF＝AE=√3，
1 √3 3
则EH= AE= 、AH= ，
2 2 2
1 3 3√3
∴S△ADF = ×√3× = ．
2 2 4
21．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
22．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h ，h ，h ，△ABC的高为
1 2 3
h．
（1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h ＝0，求证：h +h +h ＝h；
3 1 2 3
（2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？
若成立，请予以证明；若不成立，h ，h ，h 与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．
1 2 3
【解答】解：（1）如图1，连接AP，则 S△ABC ＝S△ABP +S△APC
1 1 1
∴ BC•AM= AB•PD+ AC•PF
2 2 2
1 1 1
即 BC•h= AB•h + AC•h
1 2
2 2 2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC＝AB＝AC，
∴h＝h +h ；
1 2
（2）点P在△ABC内时，h＝h +h +h ，理由如下：
1 2 3
如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC ＝S△ABP +S△BPC +S△ACP1 1 1 1
∴ BC•AM= AB•PD+ AC•PE+ BC•PF
2 2 2 2
1 1 1 1
即 BC•h= AB•h + AC•h + BC•h
1 2 3
2 2 2 2
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC．
∴h＝h +h +h ；
1 2 3
点P在△ABC外时，h＝h +h ﹣h ．
1 2 3
理由如下：如图3，连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC ＝S△PAB +S△PAC ﹣S△PBC ，
1 1 1 1
即 BC•AM= AB•PD+ AC•PE− BC•PF，
2 2 2 2
∵AB＝BC＝AC，
∴h +h ﹣h ＝h，
1 2 3
即h +h ﹣h ＝h．
1 2 3
23．如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时
针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停
止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的
时间；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
{
∠C=∠B
∠AMC=∠ANB，
AC=AB
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．
24．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且
∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE＝CF．
（2）解：GE＝BE+GD成立．
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠ECD+∠ECB＝∠ECD+∠FCD．
即∠ECF＝∠BCD＝90°．
又∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴EG＝GF．
∴GE＝DF+GD＝BE+GD．（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，
又∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG＝BC＝12．
已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE+DG，
设DE＝x，则DG＝x﹣4，
∴AD＝AG﹣DG＝16﹣x，AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8．
在Rt△AED中
∵DE2＝AD2+AE2，即x2＝（16﹣x）2+82
解得：x＝10．
∴DE＝10．
