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期中 A卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 如图，平行四边形 ABCD 中， DB=DC ， ∠C=70° ， AE⊥BD 于 E ，则 ∠BAE
等于（ ）．
A. 50° B. 25° C. 30° D. 20°
【答案】 A
【考点】三角形内角和定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ DC=DB ，
∴ ∠C=∠DBC=70° ，
∴ ∠BDC=40° ，
∵平行四边形 ABCD ，
∴ DC∥AB ，
∴ ∠ABE=∠BDC=40° ，
∵ AE⊥BD ，
∴ ∠BEA=90° ，
∴ ∠EAB=50° ．
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角和已知条件∠ C = 70 ° 可得∠C=∠DBC=70°，由三角形内角和定理可得
∠BDC=40°，根据平行四边形的性质可得DC∥AB，所以∠ABE=∠BDC=40°，再根据直角三角形两锐角互
余可得∠EAB=50°。
2. ( 3分 ) 已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x+y的值为（ ）
A. 2 B. ﹣1 C. 7 D. 1
【答案】 C
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，
1∴x＝3，y＝4，
∴x+y＝7，
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得x、y的值，进而可得x+y
的值．
3. ( 3分 ) 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两
部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满
足轴对称图形的定义．不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形．是中心对称图形，故正确．
故选D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
4. ( 3分 ) 不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ）
A. 3，7，5 B. 3x，4x，5x（x＞0）
C. 5，5，a（0＜a＜10）
D. a2， b2， c2（a＞b＞c＞0）
【答案】 D
【考点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系，即“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边”进行注意分析排除。
【解答】A、∵3+5＞7，能够组成三角形；
B、∵x＞0，∴3x+4x＞5x，能够组成三角形；
C、∵0＜a＜10，∴5-5＜a＜5+5，能够组成三角形；
D、如a=3，b=2，c=1，则a2-b2=5＞c2 ， 不能组成三角形．
2故选D．
【点评】解答本题的关键是掌握好三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边” ，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，当遇到字母的时候，
只要举出一个反例，即可说明错误。
5. ( 3分 ) 点P（3，5）关于直线y＝x对称的点为点P1，关于直线y＝-x对称的点为点P2，则点P1，P2
的坐标分别为（ ）
A. (3,5),(5,3) B. (5,3),(-5,-3) C. (5,3),(3,5) D. (-5,-3),(5,3)
【答案】 B
【考点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图，
∴点P（3，5）关于直线y＝x对称的点为点P（5，3），关于直线y＝-x对称的点为点P（-5，-3），
1 2
故答案为：B.
【分析】由点P（m，n）关于直线 y＝x对称的点的坐标为（n,m），点P（m，n）关于直线 y＝-x对称
的点的坐标（-m，-n）即可直接得出答案。
6. ( 3分 ) 等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）
A. 120° B. 60° C. 45° D. 135°
【答案】 B
【考点】等边三角形的判定与性质，等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：如图，
3过点D作DE∥BC，交AB于点E．
∴DE=CB=AD，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴腰与下底的夹角为60°．
故选B．
【分析】过点D作DE∥BC，可知△ADE是等边三角形，从而得到腰与下底的夹角的度数．
7. ( 3分 ) 如图，直线a，b，c表示交叉的公路，现要建一货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则
可供选择的站址有（ ）
A. 一处 B. 两处
C. 三处
D. 四处
【答案】 D
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意作图
图中小虚线和大虚线分别为所过角的平分线，
根据角平分线到两边的距离相等，我们可知图中A、B、C、D四处可供选择站址．
故选D．
4【分析】根据题意可作出示意图，利用角平分线定理即可．
8. ( 3分 ) 已知2是关于x的方程 x2−2mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形
ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10
【答案】 B
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，∴22-4m+3m=0，m=4，∴ x2-8x+12=0，解
得x1=2，x2=6．①当6是腰时，2是底边，此时周长为6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2<6，不能
构成三角形．所以它的周长是14，故选B
【分析】把x=2代入方程可解出m的值，再将m的值代入原方程，解出x的另外一解，再分类讨论，是否
满足构成三角形的条件，再求周长.
9. ( 3分 ) 在平面直角坐标系中，正方形AB C D ， DEEB ， AB C D ， DEEB ，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3
AB C D…按如图所示的方式放置，其中点B 在y轴上，点C ， E ， E ， E ， E ， C ，
3 3 3 3 1 1 1 2 3 4 3
…在x轴上，已知正方形AB C D 的边长为1，∠B C O=60°，B C ∥B C ∥B C …则正方形
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3
5A B C D 的边长是( )
2015 2015 2015 2015
1 1 √3 √3
A. ( )2014 B. ( )2015 C. ( )2015 D. ( )2014
2 2 3 3
【答案】 D
【考点】坐标与图形性质，含30度角的直角三角形，正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，B C ∥B C ∥B C ∥. . .
1 1 2 2 3 3
1
∵B C =1,∠B C O=60°∴D E =C D sin30°=
1 1 1 1 1 1 1 1 2
B E (√3) 1 1 (√3) 2
B C = 2 2 = ,同理求得：B C = =
2 2 sin60° 3 3 3 3 3
n−1 2014
(√3) (√3)
故B C = ,∴A B C D 的边长为 .
n n 3 2015 2015 2015 2015 3
故答案为：D.
1 √3
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质，可得DE=C D= ， B C = ， 进而得出B C =
1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
√3
（ ）2 ， 观察数据找到变化规律，即可求得答案.
3
k
10. ( 3分 ) 如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴
x
的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）
6A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】 D
【考点】一次函数的实际应用，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性
质
【解析】【解答】解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，如图1，
k
设P点坐标（n， ），
n
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
k
∵P点坐标（n， ），
n
∴OD=CQ=n，
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
7√2
∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= 2√2 ；
2
√2k
同理可证：BG= √2 BF= √2 PD= ，
n
√2k
∴BE=BG+EG= + 2√2 ；
n
∵∠AOB=135°，
∴∠OBE+∠OAE=45°，
∵∠DAO+∠OAE=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
∠DAO=∠OBE
∵在△BOE和△AOD中， { ，
∠BEO=∠ADO=90°
∴△BOE∽△AOD；
√2k
OE BE 2√2 +2√2
∴ = ，即 = n ；
OD AD n
4+n
整理得：nk+2n2=8n+2n2 ， 化简得：k=8；
故答案为：D．
方法2、如图2，
过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
8k
∵P点坐标（n， ），
n
k k
∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ）
n n
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=4，
当y=0时，x=﹣4．
∴OG=4，
∵∠AOB=135°，
∴∠BOG+∠AOC=45°，
∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，
∴∠AGO=∠OCG=45°，
∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，
∴∠OBG=∠AOC，
∴△BOG∽△OAC，
OG BG
∴ = ，
AC OC
4 BG
∴ = ，
AC 4
√2k
在等腰Rt△BFG中，BG= √2 BF= ，
n
在等腰Rt△ACD中，AC= √2 AD= √2 n，
√2k
∴ 4 n ，
=
√2n 4
∴k=8，
故答案为：D．
【分析】方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，如图1，首先求出C,G两点的坐标，从而得出
OC=OG，根据等边对等角得出∠OGC=∠OCG=45°再根据平行线的知识得出∠PBA=∠OGC=45°，
∠PAB=∠OCG=45°，进而PA=PB，设出P点的坐标，求出OD=CQ.AD的长，然后判断出△BOE∽△AOD；
根据相似三角形对应边成比例得出方程，求解即可； 方法2、如图2， 过B作BF⊥x轴于F，过点A作
AD⊥y轴于D，首先求出C,G两点的坐标，从而得出OC=OG，根据等边对等角得出∠OGC=∠OCG=45°再
根据平行线的知识得出∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，进而PA=PB， 设出P点的坐标进而得出
9A,B两点的坐标，找到OC.OG的长，进而判断出△BOG∽△OAC，根据相似三角形对应边成比例得出方程，
在等腰Rt△BFG中表示出BG，在等腰Rt△ACD中表示出AC，代入方程求解即可。
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，△ABC中.点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点.若∠CAE=16°，则∠B为
________度.
【答案】 37
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴ ∠C=90°−∠CAE=74°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37.
【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可
得出结论.
12. ( 4分 ) 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，若CD=3cm，则点D到AB的
距离DE是________cm。
10【答案】 3
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°
∴DE=CD
∵CD=3cm
∴DE=3cm
【分析】由三角形的角平分线定理可知DE=CD。
13. ( 4分 ) 如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中
共有等腰三角形的个数是________．
【答案】 6
【考点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，
即△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=108°，
∵∠DAE=∠EAC=36°，
∴∠BAD=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，
∴△ABD，△ACE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，
∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．
故答案为：6．
【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据等腰三角形的
性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．
14. ( 4分 ) 如图，点 C 在线段 AB 上，等腰 △ADC 的顶角 ∠ADC=120° ，点 M 是矩形 CDEF
的对角线 DF 的中点，连接 MB ，若 AB=6√3 ， AC=6 ，则 MB 的最小值为为________.
11【答案】 9−2√3
【考点】线段的性质：两点之间线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质
【解析】【解答】解：过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连结MH，HB，
∵等腰 △ADC 的顶角 ∠ADC=120° ，
1
∴DG平分∠ADC，AG=CG= AC=3 ，
2
∴∠GDC=60°，∠DCG=90°-∠GDC=90°-60°=30°，
∴CD=2DG，
在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2 ， 即4DG2=DG2+9，
∴DG= √3 ，CD=2 √3 ，
∵M，H为中点，
1
∴MH= DC=√3 ，
2
根据两点之间线段最短，则有MB ⩽ MH+HB，MH为定值，
∴HB最小时，MB最短，
∴BH⊥CF，
∠HCB=180°-∠DCA-∠DCF=180°-30°-90°=60°，
1 1
CH= BC= (6√3-6)=3√3-3 ，
2 2
BH= √CB2−CH2=√3CH=√3(3√3−3)=9−3√3 ，
12BH = √3+9-3√3=9−2√3 ，
最小
故答案为： 9−2√3 .
【分析】过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连结MH，HB由等腰 △ADC 的顶角 ∠ADC=120° ，
1
可得DG平分∠ADC，AG=CG= AC=3 ，可求∠GDC=60°，∠DCG=30°，在Rt△DGC中，由勾股定理
2
1
DC2=DG2+GC2 ， 即4DG2=DG2+9，可求DG= √3 ，CD=2 √3 由M，H为中点，可得MH= DC=√3
2
，根据两点之间线段最短，可得MB ⩽ MH+HB，MH为定值，HB最小时，MB最短，BH⊥CF，可求
1 1
∠HCB=60°，CH= BC= (6√3-6)=3√3-3 ，由勾股定理BH= √CB2−CH2=9−3√3 ，BH =
2 2 最小
√3+9-3√3=9−2√3 .
15. ( 4分 ) 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=105°，则∠ADC＝________°.
【答案】 50
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
1
【解析】【解答】由AC=AD=DB，可知∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=x，可得∠B=∠BAD=
2
1
x，因此可根据三角形的外角，可由∠BAC=105°，求得∠DAC=105°- x，所以在△ADC中，可根据三
2
1
角形的内角和可知∠ADC+∠C+∠DAC=180°，因此2x+105°- x =180°，解得：x=50°.
2
1
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=x，可得∠B=∠BAD= x，从而可得
2
1
∠DAC=105°- x，在△ADC中，根据三角形的内角和建立方程，求出x值即可.
2
16. ( 4分 ) 如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm．BC=2cm，将△DBC
沿射线BC平移一定的距离得到△DB C ， 连接AC ， BD ． 如果四边形ABD C 是矩形，那么平
1 1 1 1 1 1 1
移的距离为________ cm．
13【答案】 7
【考点】等腰三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，
∴∠AEB=∠AEC =90°，
1
∴∠BAE+∠ABC=90°
∵AB=AC，BC=2，
1
∴BE=CE= BC=1，
2
∵四边形ABD C 是矩形，
1 1
∴∠BAC =90°，
1
∴∠ABC+∠AC B=90°，
1
∴∠BAE=∠AC B，
1
∴△ABE∽△C BA，
1
BE AB
∴ =
AB BC
1
∵AB=3，BE=1，
3 1
∴ = ，
BC 3
1
∴BC =9，
1
∴CC =BC ﹣BC=9﹣2=7；
1 1
即平移的距离为7．
故答案为7．
14【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质和矩形的性质求得∠BAE=∠AC B，
1
∠AEB=∠BAC =90°，从而证得△ABE∽△C BA，根据相似三角形对应边成比例求得BC =9，即可求得平移
1 1 1
的距离即可．
1
17. ( 4分 ) 如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 A,B 分别在反比例函数 y= 图像的两个分支上，点
x
k
C 在反比例函数y= （k≠0）的图像上，当 ΔABC 的面积最小时，k的值________．
x
【答案】 -3
【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性
质
【解析】【解答】解：根据题意当A、B在直线y=x上时，△ABC的面积最小，
1
函数y= 图象关于原点对称，
x
∴OA=OB，
连接OC，过A作AE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AO⊥OC，
∴∠AOC=90°，∠ACO=30°，
∴∠AOE+∠COF=90°，
15设OA=x，则AC=2x，OC= √3 x，
∵AE⊥y轴，CF⊥y轴，
∴∠AEO=∠OFC=∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠COF=∠OAE，
∴△AOE∽△OCF，
S OA 2 x 2 1
∴ △AOE=( ) =( ) = ，
S OC √3x 3
△OCF
1
∵顶点A在函数y= 图象的分支上，
x
1
∴S = ，
△AOE 2
3
∴S = ，
△OCF 2
k
∵点C在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
x
∴k=-3，
故答案为-3．
1
【分析】当等边三角形ABC的边长最小时，△ABC的面积最小，点A，B分别在反比例函数y= 图象
x
的两个分支上，则当A、B在直线y=x上时最短，即此时△ABC的面积最小，根据反比例函数图象的对称
性可得OA=OB，设OA=x，则AC=2x，OC= √3 x，根据等边三角形三线合一可证明△AOE∽△OCF，根
据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结论．
18. ( 4分 ) 如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝
40°，则∠CAP＝________．
16【答案】 50∘
【考点】三角形的外角性质，直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=(x−40)°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x°−(x°−40°)−(x°−40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
17【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，
得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
三、解答题
19. ( 5分 ) 如图，点A，F，C，D在同一条直线上，EF∥BC，AB∥DE，AB=DE，求证：AF=CD.
【答案】 证明：∵EF∥BC，AB∥DE，
∴∠EFD=∠BCA，∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∠EFD=∠BCA
{ ∠A=∠D ，
AB=DE
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF，
∴AC-FC=DF-FC，
即AF=DC
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出 ∠EFD=∠BCA，∠A=∠D， 从而利用AAS判断出
△ABC≌△DEF ，根据全等三角形的对应边相等得出 AC=DF， 再根据等量减去等量差相等即可得出结论：
AF=DC 。
20. ( 5分 ) 如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF=AE，连接BE、CF求
证：BE=CF。
【答案】 证明：四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，AD∥BC
∴∠A=∠CBF……2分
在△ABE和△BCF中
18AE=BF
{∠A=∠CBF
AB=BC
∴△ABE≌△BGF(SAS)
∴BE=CF
【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的邻边相等可得AB=BC， 其对边平行，结合两直线平行同位角相等可得
∠A=∠CBF，于是利用边角边定理即可证明 △ABE≌△BGF，则对应边BE和CF相等.
21. ( 12分 )如图(1)，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC，连接
AE．
（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明 AE∥BC 的理由；
（3）如图(2)，将(1)动点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证
明你的猜想．
【答案】 （1）解：△DBC≌△EAC ，理由如下：∵△ABC、△EDC均为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，∴∠BCD=∠ACE在△DBC 和
{
BC=AC
)
△EAC 中， ∠BCD=∠ACE
DC=EC
∴△DBC≌△EAC（SAS）.
（2）解：由（1）知△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60° ，
19又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC.
（3）解：AE∥BC 仍然成立；理由如下：∵△ABC、△EDC 为等边三角形，∴BC=AC，DC=CE，
∠BCA=∠DCE=60°，又∵∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△DBC 和
{
BC=AC
)
△EAC 中， ∠BCD=∠ACE ∴△DBC≌△EAC（SAS），
CD=CE
∴∠EAC=∠B=60° ，又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．
【考点】平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）△DBC≌△EAC ，理由如下：由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE=60°，再根
据等量代换求出∠BCD=∠ACE；最后根据SAS得△DBC≌△EAC.
（2）由（1）知△DBC≌△EAC，根据全等三角形的对应角相等得出∠EAC=∠B=60° ，又∠ACB=60°，等
量代换得出∠EAC=∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，从而得证.
（3）AE∥BC 仍然成立；理由如下：由等边三角形的性质得出BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，再
根据等量代换求出∠BCD=∠ACE；最后根据SAS得△DBC≌△EAC；再根据全等三角形的对应角相等得出
∠EAC=∠B=60° ，又∠ACB=60°，等量代换得出∠EAC=∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，从而得
证.
四、作图题
22. ( 5分 ) 如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请作出它的对称轴．
【答案】 解：如图所示：
20直线m就是它的对称轴
【考点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，根据成轴对称图形的性质，B与B'是一对对
称点，连接BB'，作出BB'的中垂线，此线就是它们的对称轴。
23. ( 10分 ) 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形.请仅用无刻度
直尺在网格中完成下列画图.
（1）在图1中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
（2）在图2中，画出∠APC，使∠APC＝∠ABC，且点P是格点（画出一个即可）.
【答案】 （1）如图所示，线段CM即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求.
21【考点】等边三角形的性质，圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分，故连接DE，DE与AB的交点M就是AB的中点，连
接CM即可；
（2）先分析出A、B、C在一个同一个圆上，接着作AB、BC、AC任意两边垂直平分线交点找到圆心
O，以OA为半径把圆画出来，在优弧ABC上随便找一点即可.
五、综合题
24. ( 6分 ) 如图①,在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,点E在AC上(且不与点A,C重合),在△ABC的外部作
△CED,使∠CED=90∘，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF.
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系________；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数
量关系，并证明你的结论。
【答案】 （1）AF=√2AE
（2）解：如图,连接EF,DF交BC于K.
∵ 四边形ABFD是平行四边形，
22∴ AB // DF,
∠DKE=∠ABC= 45°
∵ ∠EKF= 180°-∠DKE= 135°,
∴ ∠ADE= 180°-∠EDC
= 180°-45
= 135
∴ ∠EKF=∠ADE,
∵ ∠DKC=∠C,
∴ DK=DC,
∵ DF=AB=AC,
∴ KF=AD,
在 △EKF 和 △EDA 中，
EK=DK
{∠EKF=∠ADE
KF=AD
∴ △EKF≌△EDA(SAS) ,
∴ EF= EA，∠KEF=∠AED,
∴ ∠FEA=∠BED= 90° ,
∴ △AEF是等腰直角三角形,
∴ AF= √2 AE.
【考点】平行四边形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，四边形ABFD是平行四边形,
∴ AB= DF ,
∵ AB=AC,
∴ AC=DF,
∵ DE=EC，.
∴ AE= EF
∵ ∠DEC=∠AEF= 90°,
∴ △AEF是等腰直角三角形，
23∴ AF= √2 AE.
故答案为: AF= √2 AE.
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得到AB=DF，结合已知可得到AC=DF，由此可推出AE=EF，就
可证得△AEF是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得AF和AE的数量关系。
（2）连接EF，DF交BC于K，有AB ∥ DF，可得到∠DKE=∠ABC= 45°，再证明KF=AD，
∠EKF=∠ADE，利用SAS证明△EKF≌△EDA，利用全等三角形的性质，可知EF= EA，∠KEF=∠AED，由
此可证得△AEF是等腰直角三角形，然后利用勾股定理可得到AF与AE的 数量关系。
25. ( 15分 ) 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=8，BC=6，点D为AB的中点，动点P从点A出发，
沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度先沿CB
方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP，DQ为邻边构造 ▱PEQD，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t=2时，求PD的长；
（2）如图2，当点Q运动至点B时，连结DE，求证：DE∥AP.
（3）如图3，连结CD．
①当点E恰好落在△ACD的边上时，求所有满足要求的t值；
S 1
②记运动过程中 ▱PEQD的面积为S， ▱PEQD与△ACD的重叠部分面积为S
1
， 当
S
1 ＜
3
时，请直
接写出t的取值范围．
【答案】 （1）解：如图1中，作DF⊥CA于F，
243
当t=2时，AP=2，DF=AD•sinA=5× =3，
5
4
∵AF=AD•cosA=5× =4，
5
∴PF=4-2=2，
∴PD= √DF2+PF2 = √32+22 = √13 ．
（2）证明：如图2中，
在平行四边形PEQD中，
∵PE∥DQ，
∴PE∥AD，
∵AD=DQ．PE=DQ，
∴PE=AD，
∴四边形APED是平行四边形，
∴DE∥AP．
（3）解：①分三种情况讨论：
25Ⅰ．当点E在CA上时，
DQ⊥CB（如图3所示），
1 3
∵∠ACB=Rt∠，CD是中线，∴CD=BD，∴CQ= CB=3即：t=
2 2
Ⅱ．当点E在CD上，且点Q在CB上时 （如图4所示），
过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，
易证Rt△PGE≌Rt△PHQ，∴PG=DH=4，
∴CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3，
∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC
GE 2t−3 3 24
∴在Rt△CEG中，tan∠ECG= = = ，∴t=
CG 4−t 4 11
Ⅲ．当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图5所示），过点E作EF⊥CA于点F，
∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．
26∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，
1 8−t
∴PF= PC= ，PE=DQ=11-2t，
2 2
8−T
PF 4
∴在Rt△PEF中，cos∠EPF= = 2 =
PE 5
11−2t
48
∴t=
11
3 24 48 72 56
综上所述，满足要求的t的值为 或 或 ； ＜t＜
2 11 11 25 17
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角
函数的定义
【解析】【解答】（3）②如图6中，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′，EG⊥AC于G．
1
当△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的 时，PE′：EE′=2：1，
3
由（Ⅱ）可知CG=4-t ， GE=2t-3，
∴PG=8-t-（4-t）=4，
∵E′G′∥EG，
PG' E'G' PE' 2
∴ = = = ，
PG EG PE 3
8 2 8 16
∴PG′= ，E′G′= （2t-3），CG′=8-t- = -t ，
3 3 3 3
2
(2t−3)
E'G' 3 3
∵tan∠ECG= = = ，
CG' 16 4
−t
3
72
解得t= ．
25
27如图7中，当点Q在AB上时，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′．
1
∵△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的 ，
3
∴PE′：EE′=2：1，
1 1 2 2
由Ⅲ可知，PG′= PC=4- t ， PE′= DQ= （11-2t），
2 2 3 3
PG' 4
∵cos∠E′PG′= = ，
PE' 5
1
4− t
2 4
∴ = ，
2 5
(11−2t)
3
56
解得t= ，
17
S 1 72 56
综上所述，当 1 ＜ 时，请直接写出t的取值范围是 ＜t＜ ．
S 3 25 17
【分析】（1）求出DF和PF的长，再利用勾股定理求出PD的长即可；
（2）证出四边形APED是平行四边形，即可得出DE∥AP；
（3）分三种情况讨论： 当点E在CA上时， 当点E在CD上，且点Q在CB上时 ， 当点E在CD上，
且点Q在AB上时，分别根据题意列出等式，求出t的值即可.
28
