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高 一 年 级 考 试
数学(A)试题参考答案及评分标准
2025.01
一、单项选择题：
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
D A C C B B D D
二、多项选择题：
题 号
9 10 11
答 案
ACD ACD AC
三、填空题：
1 1 1 3
12.(-∞, )⋃( , ] 13.- 14.0
4 4 2 2
四、解答题：
（ 分）
15. 13
解：A x| x x|x ……………………………………………………… 分
={ 2 <4 }={ <2 } 2
（1）a 时，B x|x x
2
= -2 ={ + 4 + 3<0 }
x| x ……………………………………………… 分
={ -3< <-1 } 4
A B x|x ………………………………………………………… 分
∴ ⋃ ={ <2 } 6
（2）B x|x ax a
2 2
={ - 2 + - 1<0 }
x| x a
2
={ ( - ) <1 }
x|a x a …………………………………………………… 分
={ - 1< < + 1 } 8
“x A”是“x B”的必要条件
∵ ∈ ∈
B A……………………………………………………………………… 分
∴ ⊆ 10
a ………………………………………………………………… 分
∴ + 1≤2 12
a ……………………………………………………………………… 分
∴ ≤1 13
16.（15分）
α
解：（1） 1
∵tan =
2 2
α
1
2tan 2×
α 2 2 4 ………………………………………………… 分
tan = α = = 2
2 1 3
1- tan 1-
2 4
α π α
4cos( - )- cos α α
又 2 4sin - cos …………………………………… 分
∵ α α = α α 4
3cos + sin(π + ) 3cos - sin
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A 1 5
{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}α
4tan - 1 ………………………………………………… 分
= α 5
3- tan
13…………………………………………………………… 分
= 6
5
α
（2）由（）知 α sin 4
1 tan = α =
cos 3
又 2 α 2 α α π
sin + cos = 1, ∈(0, )
2
α 4， α 3 …………………………………………………………… 分
∴sin = cos = 8
5 5
α β均为锐角
∵ ,
α β π π ………………………………………………………………… 分
∴ - ∈(- , ) 9
2 2
又 s α β 5
∵ in( - )=
13
α β 12 ……………………………………………………………… 分
∴cos( - )= 11
13
β α α β
∴cos = cos[ -( - )]
α α β α α β ………………………………… 分
= cos cos( - )+ sin sin( - ) 13
3 12 4 5
= × + ×
5 13 5 13
56 …………………………………………………………………… 分
= 15
65
17.（15分）
解：（1）当x 时，x ，
>0 - <0
x x
f x -3 3 …………………………………………………… 分
(- )= x = x 2
- - 1 + 1
f x 为奇函数
∵ ( )
x
f x f x -3 ………………………………………………… 分
∴ ( )= - (- )= x 4
+ 1
ì x
ï 3 x
ï x , ≤0
f x í - 1 ……………………………………………………… 分
∴ ( )= ï x 5
ï -3 x
î x , >0
+ 1
（2）任取x x ，且x x
1, 2 ∈[0, + ∞) 1< 2
x x x x
f x f x -3 1 -3 2 3( 2 - 1) ……………………… 分
( 1)- ( 2)= x - x = x x 7
1 + 1 2 + 1 ( 1 + 1)( 2 + 1)
x x
∵0≤ 1 < 2
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A 2 5
{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}x x x x
∴ 2 - 1 >0, 1 + 1>0, 2 + 1>0
x x
3( 2 - 1) ……………………………………………………… 分
∴ x x >0 8
( 1 + 1)( 2 + 1)
f x f x
∴ ( 1)- ( 2)>0
f x f x
∴ ( 1)> ( 2)
f x 在 上单调递减 ……………………………………………… 分
∴ ( ) [0, + ∞) 9
（3） f m x f x x 恒成立
2 2
∵ ( - 3 )+ (2 - 4 - 3)≥0
f m x f x x 恒成立
2 2
∴ ( - 3 )≥- (2 - 4 - 3)
又 f x 为奇函数
∵ ( )
f m x f x x 恒成立 ………………………………… 11分
2 2
∴ ( - 3 )≥ (-2 + 4 + 3)
由（2）知f x 在 上单调递减，且f x 为奇函数
( ) [0, + ∞) ( )
f x 在R上单调递减 …………………………………………………… 12分
∴ ( )
m x x x 恒成立
2 2
∴ - 3 ≤-2 + 4 + 3
m x x 恒成立 ………………………………………………… 13分
2
∴ ≤ + 4 + 3
令h x x x x
2 2
( )= + 4 + 3=( + 2) - 1
当x 时，h x 取得最小值-1…………………………………………… 14分
= -2 ( )
m …………………………………………………………………… 15分
∴ ≤-1
18.（17分）
解：（1）设扇形空地MON所在圆半径为r，扇形孤长为l
ì
ï r l 20π
ï 2 + = 40 +
由题意知í 3
ï
ï 1 rl 200π
î =
2 3
ì r ì
ï = 20 ï r 10π
解得í 或í = ………………………………………………… 分
ï l 20π ï 3 3
î = î l
3 = 40
ì
ï r 10π
当í = 时，圆心角 MON 40 12 ，不符合题意 …………… 分
ï 3 ∠ = = >π 4
î l 10 π
= 40 π
3
ì r 20
ï = 20 π
当í 时，圆心角 MON 3 π，符合题意
ï l 20π ∠ = =
î = 20 3
3
扇形空地MON的半径为 米，圆心角为π …………………………… 分
∴ 20 5
3
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A 3 5
{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}（2）（i）由（1）知，MON π，则α π
∠ = ∈(0, )
3 6
在Rt COE中，OE αCE α，则BF α……………… 分
△ = 20cos , = 20sin = 20sin 6
BF
在Rt BOF中，BOF π OF α
△ ∠ = , = = 20 3sin
6 π
tan
6
EF OE OF α α ………………………………… 分
∴ = - = 20cos - 20 3sin 8
S BF EF α α α
∴ = 2 · = 40sin (20cos - 20 3sin )
α α α
2
= 800sin cos - 800 3sin
α α
= 400sin2 - 400 3 (1- cos2 )
α α ……………………………… 分
= 400sin2 + 400 3cos2 - 400 3 11
α π ………………………………………… 分
= 800sin(2 + )- 400 3 13
3
（ii）由（i）知，当α π α π π 2π …………………………… 分
∈(0, ),2 + ∈( , ) 14
6 3 3 3
当 α π π时，即α π 时，S …………………… 分
2 + = = max = 800 - 400 3 16
3 2 12
当α π 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 平方米
∴ = 800 - 400 3
12
……………………………………………………………………………… 分
17
19.（17分）
解：（1） f x 为奇函数，且定义域为R
∵ ( )
f x f x
∴ (- )= - ( )
aex e x ae x ex………………………………………………………… 分
- -
∴ + = - - 2
a ex e x
-
∴( + 1)( + )= 0
a ……………………………………………………………………… 分
∴ = -1 4
（） f x a 恒成立
2 ∵ ( )≥ + 1
ae x ex a 恒成立
-
∴ + ≥ + 1
a ex ex ex 恒成立 ……………………………………………… 分
∴ ( - 1)≤ ( - 1) 6
又 x
∵ ∈(0, + ∞)
ex
∴ - 1>0
a ex恒成立 ……………………………………………………………… 分
∴ ≤ 7
又 ex
∵ >1
a ………………………………………………………………………… 分
∴ ≤1 8
（3） g x ex aex aex ex……………………………………………… 分
2
∵ ( )= ( - 1)= - 9
设h x g x g x aex ex ae x e x
2 -2 -
( )= (- )+ ( )= - + -
a ex e x ex e x …………………………………………… 10分
2 -2 -
= ( + )-( + )
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A 4 5
{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}令t ex e x 则t ex e x ，当且仅当x 取到等号
- -
= + , ≥2 · = 2 = 0
ex e x t
2 -2 2
∴ + = - 2
设m t at t a且t ……………………………………… 11分
2
( )= - - 2 ∈[2, + ∞)
t
令m t ，得a 1
( ) =0 = t =
2
- 2 t 2
- t
令φ t 1 ，t
( )= ∈[2, + ∞)
t 2
- t
又 φ t 1 在 上单调递减
∵ ( ) = [2, + ∞)
t 2
- t
φ t ……………………………………………………………… 12分
∴ ( ) ∈(0,1]
当a 或a 时，y φ t 与y a无交点，m t 无零点，h x 无零点，方程无根
>1 ≤0 = ( ) = ( ) ( )
…………………………………………………………………………………… 分
13
当a 时，t t
2
= 1 - - 2 = 0
t 或t （舍）
∴ = 2 = -1
t ex e x 只有x 一个解
-
∵ = + = 2 = 0
h x 只有一个零点，方程有一个根……………………………………… 分
∴ ( ) 14
a
2
当 a 时，m t 在t 上有零点t 1+ 1+ 8
0< <1 ( ) ∈[2, + ∞) = a >2
2
先证t ex e x在 上单调递增
-
= + [0, + ∞)
任取x x 且x x ，
1, 2 ∈[0, + ∞) 1 < 2
t t ex
1
e- x
1
ex
2
e- x
2
1 - 2 = + - -
= ex ex 1
1 2
( - )(1- ex ex )
1 2
ex ex ex ex
1 2 1 2
=( - )( - 1)
ex ex
1 2
x x
∵0 ex ≤ 1 e < x 2 ex ex
1 2 1 2
∴ - <0, - 1>0
t t
∴ 1 - 2 <0
t ex e x在 上单调递增 ……………………………………… 15分
-
∴ = + [0, + ∞)
又 t ex e x为偶函数
-
∵ = +
t ex e x在 上单调递减
-
∴ = + (-∞,0)
a
2
ex e - x 1+ 1+ 8 有两个互为相反数的根
∴ + = a
2
此时h x 有 个零点，方程有两个根 …………………………………… 分
∴ ( ) 2 16
综上，a 或a 时，方程无根；
>1 ≤0
当a 时，方程有一个根；
= 1
当 a 时，方程有两个根 ……………………………………………… 分
0< <1 . 17
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{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}
