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人教版八年级数学上学期期中检测 A 卷
考试范围：第十一章-第十三章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积
相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据全等图形的判定方法分析解答．
【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等；
②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等；
③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等．
正确的有③，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键．
2．（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）观察下列图形，从图案看不是轴对称图形的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】分别沿一条直线将每个图形对折，看直线两旁的部分能否重合．
【详解】解：图1有1条对称轴，是轴对称图形；
图2有1条对称轴，是轴对称图形；
图3有3条对称轴，是轴对称图形；
图4没有对称轴，不是轴对称图形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对
称．
3．（2022·江苏镇江·七年级阶段练习）如图，画△ABC一边上的高，下列画法正确的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】作BC边的高，找到顶点A，过A作BC的垂线，由于是钝角三角形，交BC的延长线与D，
AD⊥BC，垂足为D．
【详解】解：过A点作BC边的垂线，交BC的延长线与D，则AD为△ABC 中BC边的高．
故选C．
【点睛】本题考查三角形的高的作法，掌握高线的画法，会作钝角三角形的高是解题的关键．
4．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，
AE＝5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（ ）
A．23cm B．28cm C．13cm D．18cm
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=CD，将△ABC的周长表示成△ABD的周长加上AC长求解．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE=5cm，
∴AC=10cm，
∵△ABD的周长是18cm，
∴AB+BD+AD=18cm，
△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=AB+BD+AD+AC=18+10=28cm．
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
5．（2021·江西·鹰潭市余江区正源学校七年级阶段练习）如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直
线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，得到∠B＝∠AED，然后根据三角形的外角的性质得到，
∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C，又因为∠B+∠C＝60°，得到20°+∠C+∠C＝60°，即可求解．【详解】
解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE．
∴∠B＝∠AED，
∵∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
即20°+∠C+∠C＝60°，
∴∠C＝20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质以，三角形内角和定理及三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性
质是解决问题的关键．
6．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，点C在线段 上， 于点 于点
，且 ，点P从点A开始以 的速度沿 向终点C运动，同时点Q
以 的速度从点E开始，在线段 上往返运动（即沿 运动），当点P到达终点时，
同时停止运动．过 分别作 的垂线，垂足分别为 ．设运动的时间为 ，当以
三点为顶点的三角形与 全等时，t的值为（ ）s．
A．1 B．1或2 C．1或 D．1或 或
【答案】C
【分析】需要分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解．
【详解】解：当点 在 上，点 在 上时，
以 ， ， 为顶点的三角形与 全等，
，
，
，
当点 在 上，点 第一次从点 返回时，
以 ， ， 为顶点的三角形与 全等，，
，
，
综上所述： 的值为1或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性
质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）如图、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据
的数学道理是三角形具有____________性．
【答案】稳定
【分析】根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形具有稳定性是解题的关键．
8．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图，点D在BC上，AB=AD，∠B=∠ADE，添加适当
的条件能使△ABC≌△ADE，则添加的条件是____________．
【答案】
【分析】根据题意条件可知，△ABC和△ADE有对应一组等角和一组等边，结合判定两个三角形全等的方
法，若 ，即可根据AAS方法来判定三角形全等．
【详解】解：添加一个条件 ，理由如下，
在△ABC和△ADE中则△ABC≌△ADE（AAS）
故答案为：
【点睛】本题考查的是添加条件使三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
9．（2022·上海市民办桃李园实验学校八年级期中）多边形从一个顶点出发可引出 条对角线，这个多边
形的内角和为______．
【答案】 ##1260度
【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式 求出边数，然后根据多边形的内角和公
式 列式进行计算即可得解．
【详解】解： 多边形从一个顶点出发可引出 条对角线，
∴ ，
解得： ，
∴这个多边形的内角和为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．
10．（2022·河南周口·七年级期末）如图， ，点B和点C是对应顶点，若AB=8cm，
AD=3cm，则DC=________cm．
【答案】5
【分析】根据全等三角形的性质，可得AB=AC，AD=AE，根据线段的和差即可求解．
【详解】解：∵△ABD≌△ACE，点B和点C对应，
∴AB=AC，AD=AE，
∴AB-AE=AC-AD即CD=BE，
已知AB=9，AE=4，
∴CD=BE=AB-AE=9-4=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
11．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着
GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部的点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数是_____．
【答案】90°##90度
【分析】根据折叠的性质可得 ，再由FH平分∠BFE，可得 ，再由
∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得： ，
∵FH平分∠BFE，
∴ ，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=90°，即：∠GFH=90°．
故答案为：90°．
【点睛】此题主要考查了翻折变换以及角平分线的性质，解决问题的关键是根据翻折的方法得到∠1和∠3
的关系，根据角平分线的性质得到∠2和∠4的关系．
12．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图所示，在 ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，点D
为AB边上一点且不与A、B重合，将 ACD沿CD翻折得到 ECD，直线CE与直线AB相交于点F．
△
DEF为等腰三角形时，∠ACD=__________．
△ △
△
【答案】15°或30°或60°【分析】当 DEF为等腰三角形时，分四种情况讨论，三角形的外角性质以及等腰三角形的性质即可求得
结果．
△
【详解】解： DEF为等腰三角形时，
根据折叠变换的性质可得∠A=∠E=40°，∠ACD=∠ECD，
△
①当DF=DE时，∠E=∠DFE=40°，如图，
∴∠CFB=40°，
∵∠B=50°，
∴∠FCB=90°，显然不符合题意；
②当EF=DE时，∠E=40°，如图，
∴∠EDF=∠EFD= =70°，
∴∠CFB=70°，
∴∠ACF=70°-40°=30°，
∴∠ACD=15°；
③当EF=DF时，∠E=∠FDE=40°，如图，
∴∠DFE=180°-40°-40°=100°，∴∠ACE=100°-40°=60°，
∴∠ACD=30°；
④当点E在线段AB上侧时，DE=EF，如图，
∵△ACD沿CD翻折得到 ECD，
∴∠CAD=∠CED=40°，
△
∴∠EDF=∠EFD=20°，
∴∠ADC=∠EDC= =80°，
∴∠ACD=180°-40°-80°=60°；
故答案为：15°或30°或60°．
【点睛】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形的外角性质，解题关键是分类讨论求解．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·河北邢台·七年级期末）如果一个三角形的一边长为9cm、另一边长为1cm，求：
(1)这个三角形的第三边的范围；
(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
【答案】(1)8＜x＜10；
(2)19cm．
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到有关第三边的取值范围即可；
（2）根据（1）得到的取值范围确定第三边的值，从而确定三角形的周长．
（1）
设第三边的长为x cm，
∵三角形的一边长为9cm，另一边长为1cm，
∴9-1＜x＜9+1，
即8＜x＜10；
（2）
∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为9cm，
∴三角形的周长为19cm．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关x的取值范围．14．（2021·广西贵港·八年级期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且 ABD≌ EBC．
（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；
（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）1；（2）AD⊥CE，见解析
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE=AB=2，BD=BC=3，再利用线段的和差可得答案；
（2）先利用全等三角形的性质与邻补角互补求解∠ABD＝∠EBC＝90°， 从而可得
，再证明 从而可得答案.
【详解】解：（1） ∵△ABD≌△EBC，AB＝2，BC＝3，
∴BE=AB=2，BD=BC=3，
∵点E在BD上，
∴DE=BD-BE=3-2=1；
（2）AD与CE所在直线的位置关系为AD⊥CE.
理由如下：如图，延长 交 于
∵点A，B，C在同一直线上，且 ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°， △
∴ ，
∴
，
∴AD⊥CE.
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握“全等三角形
的对应边相等，对应角相等”是解题的关键.
15．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图，CE是 ABC的外角∠ACD的平分线，且
CE交BA的延长线于点E．
△(1)若∠B=30°，∠BAC=120°，求∠E的度数；
(2)证明：∠BAC=∠B+2∠E．
【答案】(1)∠E=45°；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠ACD，即可求出∠ECD，再根据三角形外角的性质求出∠E即
可；
（2）利用角平分线定义和三角形外角的性质求出∠ECA=∠B+∠E，再次利用三角形外角的性质即可得出结
论．
（1）
解：∵∠B=30°，∠BAC=120°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=150°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD=75°，
∴∠E=∠ECD－∠B=45°；
（2）
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ECA，
∵∠ECD=∠B+∠E，
∴∠ECA=∠B+∠E，
∴∠BAC=∠E+∠ECA=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和．
16．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）下列正方形网格图中，部分方格涂上
了阴影，请按照不同要求作图．(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．
(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．
(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；
（2）根据要求画出图形即可；
（3）根据要求画出图形即可．
（1）
如图①中，直线m即为所求；
（2）
如图②中，图形即为所求；
（3）
如图③中，图形即为所求．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，
， ．(1)求证：△ABC ≌△DFE；
(2)若BF＝12，EC＝4，求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据线段和差可得 ，然后根据 定
理即可得证；
（2）先根据线段和差可得 ，从而可得 ，再根据 即可得．
（1）
证明： ，
，
，
，即 ，
在 和 中， ，
．
（2）
解： ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解
题关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，在六边形ABCDEF中，AF BE CD，ED AB，∠A=110°，
∠ABC=100°．(1)求六边形ABCDEF的各内角和的度数；
(2)求∠C、∠D的度数；
(3)若一只蚂蚁从A点出发沿A-B-C-D-E-F-A运动到A点停止，蚂蚁一共转过了多少度？
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，得出 ， ，
， ，全部相加即为六边形ABCDEF的内角和；
（2）根据平行线的性质，得出 ， ， ，
，再利用角之间的换算，则可计算出答案；
（3）利用多边形的外角和为 的性质即可．
（1）
∵AF BE CD，
∴ ， ， ， ，
∴六边形ABCDEF的各内角和
；
（2）
∵AF BE CD，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ED AB，
∴ ，
∴ ，
；
（3）
由于蚂蚁从A点出发沿A-B-C-D-E-F-A运动到A点停止，即绕了多边形一周，转过的角度多边形为外角和，
∴蚂蚁一共转过了 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形外角和定理，解题关键是灵活运用平行线的性质进行角之间的
换算．
19．（2022·江苏·八年级专题练习）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠
△ABC,
（1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长；
（2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长．
【答案】（1） ；（2）
【分详】（1）由勾股定理求出AB的长度，设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x，在
Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，列式计算求出x的值即可；
（2）过点B作BH⊥BC交DF于点H，由全等三角形的判定得△DGC≌△HBG，由全等三角形的性质得DC
＝BH，∠CBH＝∠DCB，由平行线的判定得AC//BH及∠A＝∠HBF，由折叠知∠A＝∠F，得∠HBF＝
∠F，HB＝HF．设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，列式计算即
可求出AD的长
【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10．
设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x．
在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，(8－x) 2＋62＝x2，
解得x＝ ，AD的长为 ；
（2）过点B作BH⊥BC交DF于点H．
在△DGC与△HBG中，
∵∠DCB＝∠HBG，∠DGC＝∠BGH，CG＝BG，
∴△DGC≌△HBG．
∴DC＝BH，DG＝GH，∠CBH＝∠DCB，
∴ AC//BH．∴∠A＝∠HBF．
由折叠可知∠A＝∠F，
∴∠HBF＝∠F．
∴HB＝HF．
设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，
∴DG＝ DH＝ (8－y－y) ＝4－y，
在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，y2＋32＝(4－y) 2，
解得y＝ ，
∴AD=8－y＝ ，即AD的长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的
关键．
20．（2021·重庆市渝北区实验中学校八年级期中）在 中， 是 中点， 分别为射线
上一点，且满足
(1)如图1，若 ，且 分别在线段 上， ，求线段 的长度；
(2)如图2，连接 并延长至点 ，使 ，过点 作 于点 ，当点 在线段 的延长线
上，点 在 延长线上时，求证：
【答案】(1)2
(2)见解析【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE=CE，∠C=∠EAG=45°，根据已知
条件，可得∠CEH=∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG；
（2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分
线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH=GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），
可得BF=BI，即可得证．
（1）
解：连接AE，如图所示：
∵∠B=45°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴AE=CE，AE⊥BC，∠CAE=∠BAE=45°，
∴∠C=∠BAE，
∵∠CAB+∠GEH=180°，
∴∠GEH=∠AEC=90°，
∴∠CEH=∠AEG，
在△CEH和△AEG中，
∴△CEH≌△AEG（ASA），
∴AG=CH=2；
（2）
证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，如图所示：则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴EJ=BE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴EJ=EC，
∵∠GEH+∠BAC=180°，∠GAH+∠BAC=180°，
∴∠GEH=∠GAH，
∴∠JGE=∠CHE，
∵EJ=EB，AB=AC，
∴∠EJB=∠ABC=∠ACB，
∴∠EJG=∠ECH，
∴△ECH≌△EJG（AAS），
∴CH=JG，
∵AC=AB，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又DE=AE，
∴BD=AB，
∴∠ABE=∠DBE，
∵EF⊥BD，EI⊥AB，
∴∠BIE=∠BFE=90°，
∵BE=BE，
∴△BFE≌△BIE（AAS），
∴BF=BI，
∴2BF+CH=BG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三
角形是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上， ，
∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且 ．(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且 ，求△ABE的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出 ，再根据直角三角形的两个锐角互余可得 ，然后根据
即可得；
（2）过点 作 于点 ，作 于点 ，先根据角平分线的性质可得 ，
从而可得 ，再根据角平分线的判定即可得证；
（3）过点 作 于点 ，作 于点 ，则 ，设 ，再根
据 和三角形的面积公式可得 的值，从而可得 的值，然后利用三角形的面积
公式即可得．
（1）
解： ，
，
，
，
．
（2）
证明：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，
平分 ， ，，
由（1）可知， ，即 平分 ，
，
，
又 点 在 的内部，
平分 ．
（3）
解：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，
由（2）已得： ，
设 ，
，
，
，即 ，
又 ，
，
，
，
的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分
线上的点到角的两边的距离相等．
22．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q
分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，
P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．(1)当运动时间为t秒时，BQ的长为 厘米，BP的长为 厘米．（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形；
(3)如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，△CMQ会变化吗？若变化，则说明
理由；若不变，请直接写出它的度数．
【答案】(1)t，（6﹣t）；
(2)2或4；
(3)△CMQ不会变化，始终是60°，理由见解析
【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）
厘米；
（2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可；
（3）只需要证明 ABQ≌ CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC
＝60°，即∠CMQ不会变化．
△ △
（1）
解：∵点P、Q的速度都为1厘米/秒．
∴BQ＝t厘米，AP＝t厘米，
∴BP=AB-AP=（6-t）厘米，
故答案为：t，（6﹣t）；
（2）
解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米，
①如图1，当∠PQB＝90°时，
∵ ABC是等边三角形，
∴∠△ B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，
解得，t＝2，②如图2，当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），
解得，t=4，
∴当第2秒或第4秒时， PBQ为直角三角形；
（3）
△
解：∠CMQ不变，理由如下：
∵ ABC是等边三角形，
∴A
△
B=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
在 ABQ与 CAP中，
△ △
，
∴ ABQ≌ CAP（SAS），
∴ △∠BAQ＝
△
∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，
∴∠CMQ不会变化．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等
等，熟知等边三角形的性质是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图① ，在△ ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射
线 ．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿
CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．
(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为______s；
(2)当 ABM与 MCN全等时，① 若点M、N的移动速度相同，求t的值；
② 若点M、N的移动速度不同，求a的值；
△ △
(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达
点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是
否存在 PBM与 MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)5
△ △
(2)① ；②
(3)存在， 或
【分析】（1）根据时间=路程÷速度计算即可
（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可
②当 时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论
（3）分两种情况分别求解即可解决问题
（1）
解：点M的运动t=20÷4=5（s）
（2）
∵ ，
∴ ，
∴ B、C对应
① 若点M、N的移动速度相同
∴
若
则
即：12=20-4t
解得：t=2
② 若点M、N的移动速度不同
则∴当 时，两个三角形全等
∴ 运动时间t=10÷4=
∴a=12÷2.5=
（3）
① 若点M、N的移动速度不同，则
由 求得时间t= ，
此时BP=12- ×3=
CN= ·a=
解得：a=
∴当t= 时， （此时点N的速度为 ）
②若点M、N的移动速度相同，则
∴只要 ,两个三角形全等
或
解得： （舍去）或
综上：t= 或
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，抓住点B始终与点C对应，由点M与
点N速度相同和不相同分类求解是解题关键．
