文档内容
19.2 二次根式的乘法与除法（第 3 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习了二次根式的乘除运算法则和运用法则进行化简的基础上，引入最简二次根式的概念。
2. 内容分析
本节课承接二次根式的乘除运算法则及化简技巧，同时为后续二次根式的加减运算奠定核心基础。从
知识逻辑来看，教材先通过展示多个二次根式化简后的结果，让学生感知“最简形式”的特征，再提炼出
最简二次根式的两个核心条件，最后通过例题示范如何运用乘除法则将非最简二次根式化为最简形式，符
合学生的认知规律。从教学价值来看，本节课不仅是对二次根式化简技能的巩固，更能帮助学生建立“运
算结果需规范统一”的数学意识，发展“抽象能力”和“运算能力”，同时培养学生严谨的解题习惯。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解最简二次根式的概念。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解最简二次根式的概念，培养数学抽象与判断辨析能力，能准确区分最简二次根式与非最简
二次根式。
（2）能用最简二次根式的概念进行二次根式的化简，发展运算能力。
2. 目标解析
（1）要求学生能准确把握最简二次根式的两个本质特征：一是被开方数不含分母，二是被开方数不
含能开得尽方的因数或因式。同时能根据这两个特征，判断一个二次根式是否为最简形式。该目标侧重培
养学生的数学抽象能力和判断辨析能力。学生需要从多个具体例子中剥离非本质属性，提炼出最简二次根
式的共性特征，形成清晰的概念；同时能运用概念对不同形式的二次根式进行准确判断。
（2）学生不仅能对“被开方数含能开得尽方的因数或因式”的二次根式进行化简；还能对“被开方
数含分母”的二次根式进行化简。最终要求学生能综合运用乘除法则，将非最简二次根式化为最简形式。
“发展运算能力”强调运算的规范性、合理性和简洁性。
三、教学问题诊断分析
常见问题：学生对最简二次根式的两个特征理解片面，仅关注“被开方数不含能开得尽方的因数或因
式”，忽略“被开方数不含分母”。混淆“最简二次根式”与“分母不含根号”的关系，认为只要分母不
含根号就是最简。学生对最简二次根式的概念缺乏整体性认知。
应对策略：设计概念辨析清单，将最简二次根式的两个条件列成判断步骤，让学生按照“第一步：看
被开方数是否含分母；第二步：看被开方数是否含能开得尽方的因数或因式”的顺序逐一判断，强化“两步判断法”的应用；开展正反例对比训练，出示一组二次根式，让学生分组讨论哪些是最简二次根式，并
说明理由，通过错误例子的辨析，加深对概念的理解。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：将二次根式化为最简形式。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.二次根式的乘法法则：√a×√b=√ab(a≥0,b≥0).
2.二次根式的除法法则：√a √a .
= (a≥0,b>0)
√b b
反过来，可以进行二次根式的化简.
设计意图：快速唤醒旧知，搭建新知基础：回顾二次根式的乘、除法法则，帮学生快速激活已学的运
算核心知识，为后续学习做好知识储备。强调法则的双向功能：点明法则“反过来可用于化简”，让学生
明确法则的实用价值。
（二）合作探究
探究 例4、例5、例6中各小题的最后结果是
√3 y√y √30
2√2，3√3， ， ，
10 x 3
观察这些式子中的二次根式并思考： .
这些结果有什么共同特点?你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
(1)被开方数不含分母（分母中不含二次根式）；
(2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式.
设计意图：从实例归纳概念，降低理解难度：依托之前例题的运算结果，让学生从具体的二次根式中
观察共性，自主提炼 “最简二次根式” 的特征，避免抽象概念的生硬灌输。明确化简的最终标准：通过
总结“被开方数不含分母、不含开得尽方的因数或因式”这两个条件，让学生清晰掌握二次根式运算结果
的规范要求，解决“化简到哪一步为止”的困惑。体现合作探究的价值：引导学生通过观察、讨论共同总
结概念，提升归纳能力与合作交流的意识。
（三）典例分析
概念辨析 下列二次根式中是最简二次根式的是（ C ）
A．√0.3
B．√1
C．√7 D．√12
2例7 计算：
√3 3√2 √8
（1） ； （2） ； （3） .
√5 √27 √2a
√3 √3 √3×5 √15 √15 √15
解： （1）解法1： = = = = = .
√5 5 5×5 52 √52 5
√3 √3×√5 √15 √15
解法2： = = = .（分母有理化）
√5 √5×√5 (√5)2 5
3√2 3√2 3√2 √2 √2×√3 √6
（2） = = = = = .
√27 √32×3 √32×√3 √3 √3×√3 3
√8 √8∙√2a 4√a 2√a
（3） = = = .
√2a √2a∙√2a 2a a
本章引言中的问题 如果两个广播电视塔的高分别是h km，h km，那么它们的传播半径之比是
1 2
√2Rh
1
.
√2Rh
2
你能化简这个式子吗？
√2Rh √2R∙√h √h √h ∙√h √h h
1= 1= 1= 1 2= 1 2.
√2Rh √2R∙√h √h √h ∙√h h
2 2 2 2 2 2
广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会
增加到相应的倍数呢？
设计意图：用 “概念辨析” 题快速检验学生对 “最简二次根式” 的判断能力，强化概念理解；例
7通过不同类型的二次根式除法运算，示范 “分母有理化” 的多种方法，让学生掌握化简为最简二次根
式的实操技巧。衔接实际，体现应用价值：结合 “广播电视塔传播半径” 的实际问题，将二次根式化简
与真实情境结合，既呼应了章节引言，又让学生感知数学在实际中的应用，提升知识的关联性与实用性。
（四）巩固练习
1.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
(1)√32； (2)√40； (3)√24×75；
(4) ； (5)√4； (6)√16b2c
√1.5 .
3 a2
解： （1） √32=√16×2=4√2；
（2）√40=√4×10=2√10；
（3） √24×75=√2×36×25=30√2；（4）√1.5=
√3
=
√3
=
√3×√2
=
√6
；
2 √2 √2×√2 2
（5）
√4
=
√4
=
2×√3
=
2√3
；
3 √3 √3×√3 3
（6）√16b2c √16b2c 4b√c.
= =
a2 √a2 a
2.计算：
1 2√3 5n 2xy
（1） ； （2） ； （3） ； （4） .
√2 √10 3√n √2x
1 √2 √2
解： （1） = = ；
√2 √2×√2 2
2√3 2√3×√10 2√30 √30
（2） = = = ；
√10 √10×√10 10 5
5n 5n∙√n 5n√n 5√n
（3） = = = ；
3√n 3√n∙√n 3n 3
2xy 2xy∙√2x 2xy√2x
（4） = = =y√2x.
√2x √2x∙√2x 2x
3.一个长方体的体积V=4√3，高h=3√2，求它的底面积S.
V 4√3 4√3×√2 4√6 2√6
解：S= = = = = .
h 3√2 3√2×√2 6 3
4．已知√m−3是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： 5 ．(答案不唯一)
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考1．（2021年广西桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（ D ）
A．√1
B．√4 C．√a2 D．√a+b
9
2．（2022年广西桂林）化简√12的结果是（ A ）
A．2√3 B．3 C．2√2 D．2
3．（2021年湖南益阳）将√45
化为最简二次根式，其结果是（ D ）
2
√45 √90 9√10 3√10
A． B． C． D．
2 2 2 2
4．（2021年上海）下列实数中，有理数是（ C ）
A．√1 B．√1 C．√1 D．√1
2 3 4 5
5．（2021年湖北黄石）先化简，再求值：(1−
1
)÷
a2 −1
，其中a=√3−1．
a a
a 1 (a+1)(a−1)
解：原式=( − )÷
a a a
a−1 a
= ·
a (a+1)(a−1)
1
= ，
a+1
1 1 √3
将a=√3−1代入，原式= = = ．
√3−1+1 √3 3
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题19.2 第3，4，5题.2.探究性作业：习题19.2 第8，12题.
五、教学反思
