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第十三章 轴对称(B 卷·能力提升练)
(时间：90分钟，满分：120 分)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。)
1．(广东省深圳市宝安区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题)下列城市的地铁图标中，不是轴对称
图形的是( )
A． 天津 B． 南京 C． 深圳 D． 沈阳
【答案】D
【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．(2019年广西北部湾经济区中考数学试题)如图，在 中， ，观察图中尺规作图
的痕迹，可知 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由作法得 ，
∵ ，
∴ 平分 ， ，
∵ ，
∴ ．故选C．
3．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交
OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为( )
A．5cm B．10cmC．20cmD．15cm
【答案】B
【详解】试题分析：∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴PA=AG，PB=BH，
∴△PAB的周长=AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm．
故选B．
4．已知点 和点 关于 轴对称，则 等于( )
A．1 B． C．2019 D．
【答案】A
【详解】 点 和点 关于 轴对称
， .
故选A.
5．(江苏省苏州市吴江青云中学2018-2019学年八年级上学期9月数学反馈测试卷)如图所示的正方形网格
中，网格线的交点称为格点．已知 、 是两格点，如果 也是图中的格点，且使得 为等腰三角形，
则点 的个数是( )A．10 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
6．(人教版2020年八年级上学期数学第十三章轴对称全章综合训练)在等边 中，D，E分别为
边上的动点， ，连接 ，以 为边在 内作等边 ，连接 ，当D从点A向B运
动(不与点B重合)时， 的变化情况是( )
A．不变B．变小 C．变大 D．先变大后变小
【答案】A
【详解】如图，在 上截取 ，连接 ．
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ ，∴ ．∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ ，
，
∴ ．在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的大小不变，故选A．
7．(山东省枣庄市滕州市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题)如图，在平面直角坐标系中，
关于直线 (直线 上各点的坐标都为1)对称，点 的坐标为 ，则点 的坐标为( )A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，
∵点C的坐标为(4，1)，
∴设B(x,1)则 ，解得x=-2
则点B的坐标为：(-2，1)．
故选：B．
8．如图，四边形 中， ， ，在 、 上分别找到一点 、 ，使
周长最小时，则 的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【详解】作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，则A'A″即为△AMN
的周长最小值．
∵∠DAB=120°，∴∠AA'M+∠A″=60°．
∵∠MA'A=∠MAA'，∠NAD=∠A″，
且∠MA'A+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠AA'M+∠A″)=2×60°=120°．
故选C．9．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，
测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点C作CD⊥AD，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6cm．
故选：B．
10．如图，在 中， ， 于点D， ，则 等于( )
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ， ， ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
二、填空题(本题共12小题，每小题3分，共36分。)
11．如图，已知等边三角形 中，点 分别在边 上，把 沿直线 翻折使点 落在
处， 、 分别交边 于点 、 ，若 ，则 度数为__________．
【答案】40°
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由翻折可得∠B′=∠B=60°，
∴∠A=∠B′=60°，
∵∠AFD=∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF=∠B′GF，
∵∠EGC=∠FGB′，
∴∠EGC=∠ADF=80°，
∴∠CEG=180°-∠C-∠CGE=180°-60°-80°=40°．
故答案为：40°．
12.如图，在△ABC中，AC＝6，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，
两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于D，连接BD．若BD＝4，则AD＝___．【答案】2
【详解】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=4，
∵AC＝6，
∴AD＝AC-CD=6−4＝2，
∴AD＝2．
故填2．
13.(海南省省直辖县级行政单位澄迈县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题)如图， 和
是 分别沿着 、 边翻折 形成的，若 ，则 的度数为_______度．
【答案】80
【详解】解： EOC是 OBC的外角
EOC＝ EBC＋ BCD
和 是 分别沿着 、 边翻折 形成的
可知：翻折前后图形全等
即： ABE＝ ABC， ACD＝ ACB
ABC＋ ACB＝40
EOC＝ EBC＋ BCD＝2( ABC＋ ACB)＝80
故答案为8014．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是_____．
【答案】130°．
【详解】∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝ ＝ ＝60°﹣ ，
∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，
∴20°+60°＝∠COB+60°﹣ ，
∴∠BOC＝40°，
∵OC＝OA＝OB，
∴∠OBC＝70°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，
故答案为：130°．
15．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，
且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．【答案】4．
【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为4．
16.(上海市虹口实验学校2021-2022学年上学期八年级期中数学试卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝
100°，BD平分∠ABC，交AC于D，BD＝BE，则∠DEC＝___度；
【答案】100
【详解】解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)= ×(180°-100°)=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE= ∠ABC＝20°，∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE= ×(180°-∠DBE)=80°，
∴∠DEC=180°-∠BED=100°，
故答案为：100．
17．(吉林省长春市宽城区长春新区北湖明达学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题)如图，
∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，
动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t
＝___s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】2或6
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上；当点P在CO的延长线上时，分别
列式计算即可；
【详解】分两种情况：
当点P在线段OC上，
设t秒后 是等腰三角形，
有 ，即 ，解得： ；
当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s，
当 是等腰三角形时， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
即 ，解得： ；
故答案是：2或6．
18．如图，在 中， ， ，AD是 的中线，AE是 的角平分线，交AE的延长线于点F，则DF的长为________．
【答案】4
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，从而可得到∠BAD=60°，
∠ADB=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE=∠EAB=30°，从而可推出AD=DF，根据直角三角形
30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
∵∠BAC=120°
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°
∵AE是∠BAD的角平分线
∴∠DAE=∠EAB=30°
∵DF AB
∴∠F=∠BAE=30°
∴∠DAF=∠F=30°
∴AD=DF
∵AB=8，∠B=30°
∴AD=4
∴DF=4
故答案为：4．
19．如图，六边形 的六个角都是120°，边长 ， ， ， ，则这
个六边形的周长是_______ ．
【答案】15
【详解】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．
∴GC=BC=3cm，DH=DE=2cm．
∴GH=3+3+2=8cm，FA=PA=PG-AB-BG=8-1-3=4cm，EF=PH-PF-EH=8-4-2=2cm．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15cm．
故答案为：15cm．
20．如图，已知 中， ，D为 上一点，且 ，则 的度
数是_________．
【答案】20°
【详解】解：如图，延长 至点E使 ，连接 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴设 ，则 ．在 与 中，∵ ∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
21．如图，在△ABC中，∠BAC=100° ，AB=AC， AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接
AF，则∠AFC=___．
【答案】80°
【详解】解： ∠BAC=100° ，AB=AC，
,
EF是AB的垂直平分线,
,
．
故答案为：80°．
22.(2022·江西鹰潭·七年级期末)在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC
上，若AE＝EP，则∠AEP的度数为______．
【答案】 或
【详解】解：根据题意作出图形，如图所示，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∵∠AEB=105°，
∴∠BAE=45°．
当AE=EP且点P在边AB上时，
∴∠EAB=∠APE=45°，
∴∠AEP=90°；
当 且点 在边BC上时，
连接CE，
∵BD垂直平分AC，
∴AE=AC= ，
∴∠EAD=∠ECD=15°，
∴
∴
∴
∴ ．
故答案为：90°或120°．
三、解答题(本题共6小题，共54分。)
23.(6分)如图，在 中， ， ， 为 的中点， ， 分别是 ， 上的点，且
，求证：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)
证明：连接AD，如图，
∵∠BAC=90°， 为 的中点，
∴AD=BD=CD= ，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵AB=AC， 为 的中点，
∴∠DAC= ∠BAC= ，
∴∠B=∠DAF=45°，
在△BDE与△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴DE=DF．
(2)
证明：由(1)知：△BDE≌△ADF，
∴∠BDE=∠ADF，
∵AB=AC， 为 的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADB=90°，
∴∠EDF=∠ADF+∠EDA=90°，
∴DE⊥DF．
24．(6分)(2022·湖南永州·八年级期末)如图，已知 ，
(1)求证： ；
(2)若 平分 ，求证： 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据 ，可得∠A＝∠D，利用SAS证明△ABE≌△DCF即可得出结论；
(2)根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC，进而可得∠BEF＝∠CFE，然后利用角平分线的定义等量
代换后可得∠BEF＝∠BFE，求出BE＝BF可得结论．(1)证明：∵ ，∴∠A＝∠D，在△ABE和△DCF中， ，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴BE
＝CF；
(2)证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∵∠BEF＝180°－∠AEB，∠CFE＝180°－∠DFC，
∴∠BEF＝∠CFE，又∵ 平分 ，∴∠BFE＝∠CFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴ 是
等腰三角形．
25.(8分)(2021·山东威海·七年级期中)如图．等腰 中， ，点D为直线BC下方一点，
(1)如图1，若 ，求证：AD平分
(2)如图2，若 ，DA平分 ，过点A作CD的垂线，垂足为点
E， ．求BD的长度．
【答案】(1)证明见详解
(2)1
【解析】
(1)
证明： ， ，
垂直平分 ，
，
平分 ；
(2)解：如图，过点 作 于 ，
， ，
，
在 和 中，
，
(AAS)，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
．
26.(8分)如图，△ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别
为F、G．(1)求证：BG＝CF；
(2)若AB＝17，AC＝5，求AF的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接 ， ，证明 ，由此可得 ；
(2)由勾股定理证 ，由 证 ，设 ， ，则由题意可
列出关于 ， 的二元一次方程组，由此进行求解．
(1)
证明：连接 ， ．
平分 ， ， ，
．
垂直平分 ，
．
在 与 中，
，
．
．(2)
解： ，
．
，
，即 ，
．
设 ， ，
则 ①，
②．
联立①②，解得 ， ．
的长度为 ．
27.(12分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂
线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．
(1)说明：AE＝CE＝BE；
(2)若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)当点P在E处时，PB+PC＝15cm．
【分析】(1)根据等边三角形“三合一”的性质证得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE＝CE，根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得∠BCE＝∠B；最后根据等角
对等边证得CE＝BE，所以AE＝CE＝BE；
(2)由(1)知，DE垂直平分AC，故PC＝PA；由等量代换知PB+PC＝PB+PA；根据两点之间线段最短可知，
当点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．
【详解】(1)在等边三角形ADC中，∵DF⊥AC，∴DF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE(等边
对等角)；
∵∠ACB＝90°(已知)，∴∠ACE+∠BCE＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝BE(等角对等边)，
∴AE＝CE＝BE；
(2)由(1)知，DE垂直平分AC，∴PC＝PA，∴PB+PC＝PB+PA；
∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．
当点P在E处时，PB+PC＝EB+EC＝EB+EA＝AB＝15cm．
28.(14分)(2022·贵州铜仁·八年级期末)如图，在等边 中，点E在 上，点D在 的延长线上．
(1)如图1， ，求证： ；
(2)如图2，若E为 上异于A、C的任一点， ，(1)中结论是否仍然成立？为什么？
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
【解析】
(1)证明：∵ 是等边三角形， ，
∴BE平分 ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：(1)中的结论仍然成立，理由如下：
∵ 是等边三角形，过点E作EF//BD交AB于点F，如图所示，
则 ， ，
∴ 是等边三角形．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∵ 是 的外角， 是 的外角，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ．
∴ ．
