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专题 08 垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型
利用垂径定理求值
例题：（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图， 是 的直径，弦 于点 ，
， ，则 ．
【答案】2
【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，
即 ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
【变式训练】
1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图， 的半径为6cm， 是弦，
于点C，将劣弧 沿弦 折叠，交 于点D，若D是 的中点，则 的长为．
【答案】 / 厘米
【分析】连接 ，延长 交弧 于 ，可证 ，从而可求 ，由
，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，延长 交弧 于 ，
由折叠得： ，
是 的中点，
，
，
，
，
，
在 中
，
．故答案： ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心
距、半径组成的直角三角形是解题的关键．
2．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连
接 ，若 ， ，则弦 的长为 ．
【答案】
【分析】由题意易得 ，根据勾股定理可求 的长，然后问题可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ,
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
垂径定理的实际应用
例题：（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面
宽度为6米，拱高 （弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽
度为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【分析】以O为圆心，连接 ，根据三线合一定理可得 ，设
，则 ，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为 ，连接 ，根
据水面下降1米，可得 ，再根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，以O为圆心，连接 ，
由题意可得，D为弧 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得： ，∴主桥拱所在圆的半径 ；
由题意得，水面下降为 ，连接 ，
∵水面下降1米，
∴ ，
则 ，
∴ ，即水面的宽度为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平
分弦所对的弧，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国
古代劳动人民的智慧．如图1，点 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运
行路径是以轴心 （ 在水面上方）为圆心的圆，且圆 被水面截得的弦 长为8米．若筒车工
作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】D
【分析】过圆 作 于 ，如图所示，由垂径定理可知 ，设圆的半径为 ，再
利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：过圆 作 于 ，如图所示：弦 长为8米，
，
盛水桶在水面以下的最大深度为2米，
设圆的半径为 ，在 中， ， ， ， ，则由
勾股定理可知 ，即 ，整理得 ，
解得 ，
这个圆的半径为5米，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，根据题意，垂径定理构造直角三角形，勾股定理列
方程求线段长是圆背景下求线段长的解题关键．
2．（2023下·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图， 为 的半
径，弦 ，垂足为 ， 寸， 尺 尺 寸 ，则此圆材的直径长是 寸．
【答案】
【分析】连接 ，依题意，得出 ，设半径为 ，则 ，在 中，
，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，∵ ， ， ， 为 的半径，
∴ ，
设半径为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴直径为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
利用弧、弦、圆心角的关系求解
例题：（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图所示， 是⊙O的内接三角形，点B是
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等弧对等弦，三角形内角和逐项判断即可．
【详解】A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，选项正确，符合题意；故选：D ．
【点睛】此题考查了圆和三角形，解题的关键是熟悉圆和三角形的相关知识．
【变式训练】
1．（2023上·广西河池·九年级统考期末）如图， 是 的直径，C是 的中点，若 等
于 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出 的度数，进而可得 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵C是 的中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）如图，点A，B，C都在 上，B是 的中点，
，则 等于 ．
【答案】 /80度
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 ，然后根据圆心角、弧的关系
即可求出答案．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵B是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧的的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
半圆（直径）所对的圆周角是直角
例题：（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图， 的直径是 ，
，圆的半径是4，则弦 的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图：连接 ，由圆周角定理可得 、 ，然后再说明
，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的直径是 ，圆的半径是4，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，解得： ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾
股定理成为解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·广西玉林·九年级统考期末）如图，在 中， 为 的直径，已知 ，
， ， ，则 ．
【答案】
【分析】连接 ，先由三角形内角和定理求出 的度数，再根据直径所对圆周角为直角，进而
求出 ，即有 ，灵活运用勾股定理即可作答．
【详解】解：连接 ，如图，∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，含 角直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆
周角定理是解题的关键．
2．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图， 为 的直径， 内接于 ，
， 交 于点E．
(1)求 的度数；
(2)若点E为 中点， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形三线合一，直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方．
（1）连接 ，根据 为 的直径，得出 ，再根据圆周角定理得出 ，
最后根据直角三角形两锐角互余，即可求解；
（2）连接 ，易得 ，设 ，则 ，根据勾股定理可得
，列出方程求解 ，即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵点E为 中点，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ， ，
， ．则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，根据圆周角定理得出 是直径， 是等腰
直角三角形，勾股定理求得 的长，进而得出 的长，设 ，则 ，在
中，勾股定理求得 的长，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ 是直径，
∴
∵ ，∴
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的添加辅助线是
解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形 中， ， 点沿线段 由
向 运动（到 停止运动）， 点沿线段 由 向 运动（到 停止运动），两点同时出发，速
度相同，连接 ，作 于 点，则在整个运动过程中 点的运动轨迹长为 ．【答案】
【分析】连接 交 于点O，根据正方形的性质可证得 ，可得到
，再由 ，可得点P在以 为直径半圆上运动，即可求解．
【详解】解：如图，连接 交 于点O，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
根据题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴点P在以 为直径半圆上运动，
∴ 点沿线段 由 向 运动时，点P的运动路径为 的长，
的长为 ，即在整个运动过程中 点的运动轨迹长为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意得到点
P在以 为直径半圆上运动是解题的关键．
2．（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在 中， ， ， ， 是
内部的一个动点，连接 ，且满足 ，过点 作 于点 ，则
；当线段 最短时， 的面积为
【答案】
【分析】（1）由 ，得到 ，即可得到 ；
（2）首先证明点 在以 为直径的 上，连接 与 交于点 ，此时 最小，利用勾股
定理求出 即可得到 ，进而即可求解．
【详解】解：（1） 在 中， ，则 ，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）设 的中点为 ，连接 ，则 ，
点 在以 为直径的 上，连接 交 于点 ，此时 最小，
在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，
求圆外一点到圆的最小、最大距离．
已知圆内接四边形求角度
例题：（2023上·辽宁铁岭·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ， 为 延长线上
的一点，若 ，则 的度数为 ．【答案】
【分析】根据圆内接四边形的性质得出 ，再由同角的补角相等即可得出结果．
【详解】解：∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）如图， 内接于 ， 外角的平分线交 于
点 ，射线 交 延长线于点 ．若 ， ，则 的度数为 °．
【答案】40
【分析】根据已知可得 ，由圆周角定理可得 ，进而求出
，再利用圆内接四边形对角互补以及平角的定义可得
，继而利用角平分线定义及三角形内角和定理即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，熟练
掌握知识点是解题的关键．
2．（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ，分别延长 ， ，
使它们相交于点 ， ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，点 为 的中点，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得 ，再由邻补角互补可得
，根据同角的补角相等可得 ，再根据等边对等角可得
，再根据等量代换可得 ．
（2）连接 根据直角所对的弦是直径得出 为 的直径，根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ．
（2）如图，连接∵ ，
∴ 是 的直径，
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的半径为
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题关
键．
一、单选题
1．（2023上·河北张家口·九年级统考期末） 中的一段劣弧 的度数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．
【详解】解： 中的一段劣弧 的度数为 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：在同圆或等圆中，如果厂内人个圆心角、
两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么对应的其余两对也分别相等．
2．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）如图，在 中，弦 相交于点P，若 ，
，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到 ，再根据三角形外角的性质得到 的
大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A
【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等和三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等
是解题的关键．3．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图， 的半径为 ，弦 的长为
，P是弦 上一动点，则线段 长的最小值为（ ）
A．10 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】过O点作 于H，连接 ，如图，根据垂径定理得到 ，再利用勾股
定理计算出 ，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：过O点作 于H，连接 ，如图，
∴ ，
在 中， ，
∴线段 长的最小值为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了
垂线段最短．
4．（2023上·江西赣州·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ，若它的一个外角
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求出 ，再根据圆周角定理即可
求解．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对
角互补；圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
5．（2023上·河北邢台·九年级校考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家
徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心
O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 被水面截得的弦 长为4米， 半径长
为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 所在直线的距离是（ ）
A．1米 B． 米 C．3米 D． 米
【答案】D
【分析】连接 交 于D，根据圆的性质和垂径定理可知 ， ，根据勾股定理求得 的长，由 即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接 交 于D，
则 ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
即点C到弦 所在直线的距离是 米，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
二、填空题
6．（2023下·山东济宁·九年级统考期末）如图，将 沿弦 折叠交直径 于圆心O，则
度．
【答案】120
【分析】过O点作 交 于D，交 于E，连接 ， ．根据折叠可得 ，
，根据三角形中位线定理可得 ，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．
【详解】解：过O点作 交 于D，交 于E，连接 ， ．
由折叠可得： ， ，则 为 的中位线，
∵ 是直径，
∴ ， ，则 ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：120．
【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性
质，以及邻补角的定义，综合性较强，构造辅助线是是解决问题的关键．
7．（2022上·天津滨海新·九年级校考期中）如图，AB，CD是 的直径， ，若
，则 的度数是 ．
【答案】 /64度
【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出 ，再根据对顶角相
等，可推出 ，最后用 即可求解．
【详解】解： ，故答案为：
【点睛】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相
等是解题的关键．
8．（2023下·江西南昌·九年级统考期末）如图， 是半圆O的弦， 过圆心O，过O
作 于点D．若 ，则 cm．
【答案】3
【分析】由圆的性质可得 ，再根据垂径定理可得 ，则 是 的中位线，然
后根据中位线的性质即可解答．
【详解】解：∵ 过圆心O，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明 是 的中
位线成为解答本题的关键．
9．（2023上·浙江宁波·九年级统考期末）在圆 中， 四点在圆上， ， ，
，则 的值为 ．【答案】
【分析】连接 ，如图所示，由直径所对的圆周角为直角可知 ，根据垂径定理
及勾股定理求出 ，代入求值即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
， ， ，设圆 半径为 ，
，
在 中， ，则 ，
，解得 ，
在 中， ， ，则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆中求线段长，涉及圆周角定理的推论、勾股定理、垂径定理及解方程等知识，
熟练掌握圆的性质及勾股定理是解决问题的关键．
10．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在 中， ，以 为直径的半圆
交 于点 ，点 为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】如图，连接 ，根据 是半圆 的直径，得到 ，从而有 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，再利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是半圆 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，若 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．
掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·安徽合肥·九年级统考期末）如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为E，
．
(1)求 的半径长；
(2)连接 ，作 于点F，求 的长．【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）设 的半径长为R，则 ，根据垂径定理求出 ，连接
，根据勾股定理得 ，列得 ，求出R即可；
（2）在 中，勾股定理求出 ，利用 垂径定理求出 ，再利用勾股定理求出 即可．
【详解】（1）解：设 的半径长为R，则 ，
∵ 的直径 垂直于弦 ， ，
∴ ，
连接 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径长为5；
（2）在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确理解垂径定理并熟练应用是解题的关键．12．（2023上·湖北荆门·九年级校考期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更
换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)若这个输水管道有水部分的水面宽 ，水面最深地方的高度为4 ，求这个圆形截面
的半径；
(2)在（1）的条件下，小明把一只宽12 的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出
水面13 ，问此小船能顺利通过这个管道吗？
【答案】(1)
(2)能顺利通过
【分析】（1）过 作 于 ，交弧 于 ，连接 ，根据垂径定理得到
，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
（2）连接 ，设 ，可求得此时 的高，即可求得 的长，比较 ，即可得到此
时小船能顺利通过这个管道．
【详解】（1）解：过 作 于 ，交弧 于 ，连接 ．
，
，
由题意可知， ，
设半径为 ，则 ，
在 中，由勾股定理得：解得 ．
即这个圆形截面的半径为 ．
（2）如图，小船能顺利通过这个管道．理由：
连接 ，设 ．
， ，
在 中，
，
小船能顺利通过这个管道．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数
形结合思想与方程思想的应用．
13．（2023上·广东广州·九年级校考期末）如图，A是 上一点， 是直径，点D在 上且平
分 ．
(1)连接 ，求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析；
(2)6
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．
（1）利用圆周角定理即可证明结论；
（2）利用圆周角定理得到 ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵点 在 上且平分 ，平分
（2）解：∵ 是直径，
点D在 上且平分 ，
14．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，四边形 是 的内接四边形，且 ，
垂足为 ， 是 的直径．
(1) 和 相等吗？为什么？
(2)过圆心 作 ，垂足为 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)10
【分析】（1）根据 是 的直径得到 ，又由垂线定义得
，利用等角的余角相等证明即可；（2）由垂径定理得 ，再由三角形的中位线性质求得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，等角的余角相等，圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质，
垂径定理，掌握圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质以及垂径定理是解题的关键．
15．（2023上·山东威海·九年级统考期末）【初识模型】如图1，在 中，
．点 为 边上一点，以 为边作 ，使 ， ，
连接 ，则 与 的数量关系是__________；
【构建模型】如图2， 内接于 为 的直径， ，点 为弧 上一点，连接
．若 ，求 的长；
【运用模型】如图3，等边 内接于 ，点 为弧 上一点，连接 ．若
，求 的长．【答案】（1） ；（2） ；（3）4
【分析】（1）只需要利用 证明 ，即可证明 ；
（2）如图所示，过点A作 交 于D，由 是直径，得到 ，即可证
明 ，再证明 ，得到 ，即可证明 得到
，则 ，即可利用勾股定理得到 ；
（3）如图所示，在 上取一点D使得 ，先证明 ，则 是等边
三角形，得到 ，证明 ，得到 ，即可得
到 ．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图所示，过点A作 交 于D，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，在 上取一点D使得 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股
定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
