单元测试第二十三章旋转（夯实基础培优卷）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第3套）

【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教 版） 【单元测试】第二十三章 旋转（夯实基础培优卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．点A和点B关于原点成中心对称，已知点A的坐标是(4，-3)，则点B的坐标是( ) A．(4，3) B．(-4，3) C．(-4，-3) D．(-3，4) 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求解即可． 【详解】∵点A和点B关于原点成中心对称，A(4，-3)， ∴点B的坐标是(-4，3)． 故选B． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点．掌握关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数是解题关键． 3．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（ ） A．55° B．45° C．40° D．35° 【答案】D 【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转 角，利用角的和差关系求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°， 所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线 所构成的旋转角相等． 4．奥运火炬时隔 年再次在“鸟巢”点燃，北京由此成为世界上首个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运 会的“双奥之城”，下列各届冬奥会会徽图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的 图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所 以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 度后与原图重 合．5．如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到 ，设点A的坐标为（a，b），则点 的坐标为 （ ） A．（-a，-b） B．（-a，-b-1） C．（-a，-b+1） D．（-a，-b-2） 【答案】D 【分析】根据题意可知 关于点C对称，即点C为 的中点，据此求解即可 【详解】解：根据题意，点 关于点C对称，设点 的坐标是（x，y）， 则 ， 解得 ， ∴点 的坐标是 ． 故选：D． 【点睛】本题主要本题考查的是旋转的性质，坐标与图形，中点坐标公式的应用，由旋转的性质得到C是 是解本题的关键． 6．如图，在以下平面直角坐标系中， 绕某点旋转90°得到 ，则旋转中心是点（ ） ． A．O B．M C．N D．无法确定 【答案】A 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段 的垂直平分线上，由图形可知，线段 与 的垂直平分线的交点即为所求．【详解】解：∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到 ， ∴A、B的对应点分别是 、 ， 由图形可知，旋转中心是原点O． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质及线段垂直平分线的判定．能够结合图形，找出对应点的垂直平分线是解 题的关键． 7．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七 块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正 方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（ ） A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】由题意画出图形可求解。 【详解】B选项拼图如下：C选项拼图如下： D选项拼图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用． 8．如图，在 Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝ ，∠ABC＝30°，点O为Rt ABC内一点，连接 △ △ AO、BO、CO．且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则OA+OB+OC的值为（ ） （提示：以点B为旋转中心，将 AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到 ） △ △A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠ ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜 边的一半求出AB=2AC，即 的长，再根据旋转的性质求出 是等边三角形，根据等边三角形的三 △ 条边都相等可得BO= ，等边三角形三个角都是60°求出∠ =∠ =60°，然后求出C、O、 、 四点共线，再利用勾股定理列式求出 ，从而得到OA+OB+OC= ． 【详解】解：以点B为旋转中心，将 AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到 ，如图： △ △ ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°， ∴∠ =∠ABC+60°=30°+60°=90°， ∴ ⊥CB， ∵∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°， ∴AB=2AC=2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△ ， ∴ =AB=2，BO=BO′， =AO， ∴△ 是等边三角形，∴BO= ，∠ =∠ =60°， ∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°， ∴∠COB+∠ =∠ +∠ =120°+60°=180°， ∴C、O、 、 四点共线， 在Rt△A′BC中， ， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一 半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，求出C、O、 、 四点共线是解题的关 键． 9．如图，在 中， ，将 绕顶点 逆时针旋转得到 ， 是 的中点， 是 的中点，连接 若 ， ，则线段 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知 ，在△CMP中，利用三角形三边 关系可得PM的最大值． 【详解】解：如图，连接CP， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ， ，∴AB=8， ∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到 ， ∴ ， ∵点P为 的中点， ∴ ， ∵M是BC的中点， ∴CM= 2 ， ∵MP≤CP+CM，（当 三点共线时取等号） ∴MP≤6， ∴MP的最大值为6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了含 的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关 系，旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键． 10．如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到 ，若 ，则图中阴影部分 面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC＝45°，再根据旋转的性质求出 ∠CAC′＝15°，AC′＝AC，然后求出∠C′AD＝30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可 得AD＝2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】如图，设B′C′与AB交点为D，∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到， ∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1， ∴∠C′AD＝∠BAC−∠CAC′＝45°−15°＝30°， ∵AD＝2C′D， ∴AD2＝AC′2＋C′D2， 即（2C′D）2＝12＋C′D2， 解得C′D＝ 故阴影部分的面积＝ 故选B 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的 性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分） 11．如图， 与 关于点 成中心对称， ， ， ，则 的长是______． 【答案】5． 【分析】根据对称可得∠D=90°，利用勾股定理求解． 【详解】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ACB≌△DCE， ∴AC=CD=2，∠A=∠D=90°，AB=DE=3， ∴AD=4， ∴AE= ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查中心对称，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活 运用所学知识解决问题． 12．如图，把△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC与DE交于F，连接CE，若∠BFD＝20°，则 ∠ACE＝_____度． 【答案】80 【分析】由旋转的性质可得∠ACB＝∠AED，AC＝AE，由外角的性质可得∠CAE＝∠EFC＝∠BFD＝20°， 由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，设AC与DE交点为O， ∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE， ∴∠ACB＝∠AED，AC＝AE， ∵∠COE＝∠CAE+∠AED＝∠ACB+∠EFC， ∴∠CAE＝∠EFC＝∠BFD＝20°， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， 故答案为：80． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．13．如图，已知在平面直角坐标系 中，0为坐标原点， ，过点P作直线 轴，点 B是直线l上的一个动点，线段AB绕点A按逆时针方向旋转 得到线段AC，则 的最小值为 __________． 【答案】 【分析】连接AP，在射线AO上截取AD=AP，连接BD，作D点关于直线l的对称点 ，连接 B，连接 D ，可证明△PAC≌△DAB（SAS），此时当A、B、 三点共线时，AC+CP有最小值，最小值为A 的 长． 【详解】解：连接AP，在射线AO上截取AD=AP，连接BD，作D点关于直线l的对称点 ，连接D'B， 连接 ， ∵A(0，3 )、P（3，0）， ∴AO=3 ，OP=3， ∴ ， 取 的中点 ，连接 ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ 线段AB绕点A按逆时针方向旋转 得到线段AC， ∴∠PAC=∠DAB， ∵AD=AP，AB=AC， ∴△PAC≌△DAB（SAS），∴CP=BD， 由对称性可知BD=B ， ∴AC+CP=AB+B ≥A ， 当 三点共线时，AC+CP有最小值， ∵AD=6， =6， ∴ =6 ， ∴AC+CP的最小值为6 ， 故答案为：6 ． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等将所求线 段进行转化是解题的关键． 14．如图， 中， ， ，底边上的高 ， 是 中点． 是 上一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 交 的延长线于点 （1）若 ，则 __ ； （2）若 为 的中点，则 __． 【答案】 20 ##【分析】（1）根据已知条件证明 是等边三角形，然后根据三角形内角和定理即可解决问题； （2）证明 ，可得 ，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1） ， 是高， ， ， ， ， 是 的中点， ， 是等边三角形， ， 根据旋转的性质，可知 ， ， 设 与 交于点 ， ， ， ； 故答案为：20； （2）由（1）可知： ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 在Rt△ADC中， ， ， ， ， ∵ 是 的中点， ，． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形， 勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2， 0）． 点C的坐标为________； ②若正方形ABCD和正方形ABC B 关于点B成中心对称；正方形ABC B 和正方形ABC B 关于点B 成 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 中心对称；…，依此规律，则点C 的坐标为________． 7 【答案】 （3，2） （7， ） 【分析】①过点C作x轴的垂线，垂足为E，易证 AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质得到BE和CE的 长度，然后就可以求出点C的坐标； △ ②根据中心对称的性质容易得到A 和C 的坐标，于是可以发现规律： 和 的横坐标相差4，纵坐标 1 1 C 相差 ， 和 的横坐标相差 ，纵坐标相差 ，根据此规律可以求出 7的坐标．【详解】①如图，过点C作x轴的垂线，垂足为E， ∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，0）， ∴AB=BC，∠ABC=90°，AO1，BO2， ∴∠ABO+∠CBE=90°，∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠CBE=∠OAB， ∴在 AOB和 BEC中， A△OBBE△C  CBEOAB ，  ABBC ∴ AOB≌ BEC（AAS）， ∴△ BE A △ O1，CEBO2，OE123， ∴点C的坐标为（3，2）； ②由题意知正方形ABCD和正方形ABC B 关于点B成中心对称， 1 1 1 ∴根据中心对称的性得到A（4，-1）和C （1，-2）， 1 1 C C C C 于是根据图像知： 2n和 2n1的横坐标相差4，纵坐标相差 2 ， 2n1和 2n的横坐标相差 2 ，纵坐标相差 4， ∴ C 2的横坐标为 145 ，纵坐标为 224 ，故 C 2的坐标为（5，-4）， C C C C C 同理得 3的坐标为（3，-8）， 4（7，-11）， 5（5，-14）， 6（9，-16）， 7（7，-20）， 故答案为①（3，2），②（7，20）．【点睛】本题考查了中心对称、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平面直角坐标系中点的规律的 探索，考要求学生对过去所学的知识要熟练掌握，灵活运用，还要求学生步骤书写要规范工整． 16．在古代的两河流域，人们用粘土制成泥版，在泥版上进行书写．古巴比伦时期的泥版BM15285（如图 1）记录着祭司学校的数学几何练习题，该图片由完美的等圆组成．受泥版上的图案启发，某设计师设计 出形似雨伞的图案用作平面镶嵌（如图2），若图案中伞顶与伞柄的最长距离为2，则一块伞形图案的面积 为______． 【答案】2 【分析】观察图形，知一块伞形图案的面积为：矩形面积-下半圆面积+上半圆面积=矩形面积，据此即可求 解． 【详解】解：观察图形， 一块伞形图案的面积为：矩形面积-下半圆面积+上半圆面积=矩形面积， ∴一块伞形图案的面积为：2×1=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了图形的平移、旋转、中心对称，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分；第17-18每小题5分，第19-22每小题6分，第 23小题8分，第24小题10分） 17．如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点O是坐标原点，AO AB5，OB6．(1)求点A的坐标； (2)将AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得 AOB，点A的对应点A在x轴上，求点O的对应点 O的坐标． △ (3,4) 【答案】(1) 48 24 (2)( ， ) 5 5 【分析】（1）如图，过点A作AC OB于点C，则ACO90，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求 出OC，AC，可得结论； （2）由旋转的性质可知，AOB AOB，推出AB AB5，O'BOB6，过点O作OD AB于点 D，利用面积法求出OD，再利用△勾股定理求出BD，OD，可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作AC OB于点C，则ACO90，  AO AB，AC OB， 1 OC BC  OB3 ， 2 在RtACO中，ACO90， AC AO2OC2  5232 4 ， 点A的坐标为(3,4)； （2）解：由旋转的性质可知，AOB△AOB， AB AB5，OBOB6， 过点O作OD AB于点D， S S  AOB AOB， 1 1 ACOB ABOD ，  2 2 1 1 46 5OD ，  2 2 24 O'D ， 5  OD AB， ODA90， 24 2 18 在 Rt △ OBD 中， BD OB2OD2  62  5    5 ， 18 48 ODOBBD6  ， 5 5 48 24 ( ， )． O 5 5 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关 键是学会利用面积法求线段的长． ABC A(2,2),B(4,1),C(4,4)  18．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 ．(1)点A关于x轴对称的点的坐标是 y (2)点B关于 轴对称的点的坐标是 (3)作出 ABC 关于原点 O 成中心对称的  A 1 B 1 C 1 ； 2,2 4,1 【答案】(1) ；(2) ；(3)见解析 【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数解题； （2）根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数解题； （3）先分别作ABC关于原点的对称点，再依次连接即可． 2,2 x 【详解】（1）点A关于 轴对称的点的坐标是 y 4,1 （2）点B关于 轴对称的点的坐标是 ABC  1 1 1 （3） 如图所示： 【点睛】本题主要考查作图-中心对称和轴对称，熟练掌握中心对称和轴对称变换的性质是解题的关键． A3,3 B4,0 C1,1 ABC 19．如图，已知 中， ， ， ．ABC △ABC  1 1 1 (1)画出 向右平移4个单位后得到的 ． ABC △ABC △ABC  2 2 2 2 2 2 (2) 以B点为旋转中心，顺时针旋转90°后得到 ，画出 ． AA AA AA  AA  (3)分别连接点 1， 1 2，则 1 ______； 1 2 ______． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 AA 4，A A 2 5 (3) 1 2 2 A B C 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出点 1， 1， 1的坐标，然后描点即可； A B C （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点 2、 2 、 2 ，然后描点即可； （3）利用平移性质和勾股定理计算即可． A B C 1 1 1 【详解】（1）解：如下图，将点A、B、C向右平移4个单位，得到点 ， ， ，顺次连接得到△ ABC 1 1 1 ； （2）A B C ABC 如（1）图，将△ABC以B点为旋转中心，顺时针旋转90°，得到点 2、 2 、 2 ，顺次连接得到△ 2 2 2 ； （3） AA AA 如（1）图，连接点 1， 1 2， A ∵点A到点 1是右平移4个单位， AA ∴ 1 =4， ADA 90 AD4 A D2 ∵∠ 1 2 ， 1 ， 2 ， AA  2242 2 5 ∴ 1 2 ． 【点睛】本题考查了平移，旋转作图，勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质，由旋转可知，对应角都 相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找 到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． A4,4 B2,5 C2,1 ABC 20．如图，在平面直角坐标系内， 的顶点坐标分别为 ， ， ． (1)平移 ABC ，使点 C 移到点 C 1 2,2 ，画出平移后的 △A 1 B 1 C 1 (2)将 ABC 绕点 0,0 旋转 180 ，得到 △A 2 B 2 C 2，画出旋转后的 △A 2 B 2 C 2； △ABC △ABC 1 1 1 2 2 2 (3) 与 是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标：若不是，请写出理由．【答案】(1)见解析 (2)见解析 1 (3)是，坐标为（2， ） 2 1 △ABC 【分析】 根据平移的性质即可画出平移后的 1 1 1； 2 根据旋转的性质即可将 ABC 绕点 0,0 旋转 180 ，得到 △A 2 B 2 C 2； 3 AA ,CC 根据中心对称的性质即可进行判断，连接 1 2 1 2交点即为对称中心． △ABC 1 1 1 【详解】（1）解：如图， 即为所求； △ABC 2 2 2 （2）如图， 即为所求； △ABC △ABC 1 1 1 2 2 2 （3） 与 关于某点成中心对称， AA ,CC 连接 1 2 1 2交点即为对称中心， C 2,2,C 2,1 ∵ 1 2  21  1 ∴对称中心的坐标为2， 即2， ．  2   2 【点睛】本题考查了平移作图，旋转作图，中心对称，解决本题的关键是掌握平移以及旋转的性质．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶 点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）． (1)把△ABC向上平移6个单位后得到对应的△ABC ，画出△ABC ，并写出C 的坐标； 1 1 1 1 1 1 1 (2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点对称的△ABC ，并写出点C 的坐标； 2 2 2 2 (3)△ABC 与△ABC 是否为中心对称?如果是，请直接写出对称中心坐标；如果不是，请说明理由． 1 1 1 2 2 2 【答案】(1)图见解析，C1（4，5） (2)图见解析，C （﹣4，1） 2 (3)△A1B1C1与△A2B2C2是中心对称，对称中心坐标（0，3） C 【分析】（1）分别作出点A、B、C向上平移6个单位后得到对应点，然后顺次连接，写出 1的坐标． C 2 （2）分别作出点A、B、C关于原点O对称的点，然后顺次连接，写出点 的坐标． （3）连接对应点即可求出． A B C A B 1 1 1 1 1 【详解】（1）如图，分别作出A、B、C、向上平移6个单位后得到对应点 ，顺次连接 C C 1 1 即可，此时 （4，5）． A B C 2 2 2 （2）如图，分别作出点A、B、C关于原点O对称的点 、 、 即可，此时 C2（﹣4，1）． AA BB CC 1 2 1 2 1 2 （3）如图，连接 ， 、 得到三条线交于同一点，所以△ABC 与△ABC 成中心对称，对称 1 1 1 2 2 2 中心为他们的交点，坐标为（0，3）．【点睛】本题考查了根据旋转变换和平移变换作图，根据网格结构作出对应点是解答本题的关键． 22．已知：在Rt△ABC中，BAC＝90，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点 （不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90，得到线段ME，连接EC． (1)如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数． (2)如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)45 2 (2)AC−CE＝ CM，证明过程详见解析 【分析】（1）如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，先判断出∠FMA＝∠CME，再判断出 FMA≌ CMESAS   FM＝CM，进而判断出 ，即可得出结论； （2）如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，先判断出FMA＝CME，再判断出FM＝CM ，判断  FMA≌  CMESAS AF＝CE 出 ，进而得出 ，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，∴FMC＝90， ∴FMAAMC90， ∵将线段AM绕点M顺时针旋转90，得到线段ME， ∴AME＝90， ∴CME＋AMC＝90， ∴∠FMA＝∠CME， ∵BAC＝90，AB＝AC， ∴ABC＝ACB＝45， ∴在Rt  FMC中，F＝FCM＝45， ∴FM＝CM， 在△FMA和△CME中，  FM＝CM  FMA＝CME   AM＝EM ∴△FMA≌△CME（SAS）， ∴MCE＝F＝45； （2） 2 AC−CE＝ CM，理由如下： 如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，∴FMC＝90， ∴FME＋CME＝90， ∵将线段AM绕点M顺时针旋转90，得到线段ME， ∴AME＝90， ∴FME＋FMA＝90， ∴∠FMA＝∠CME， 在Rt△FMC中，F＝FCM＝45， ∴FM＝CM， 在△FMA和△CME中，  FM＝CM  FMA＝CME   AM＝EM ∴△FMA≌△CME（SAS）， ∴AF＝CE， 2 在Rt△CMF中，CF＝ CM， 2 ∴AC−CE＝AC−AF＝CF＝ CM． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知 识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 23．在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来 得到一个图案N．(1)在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案； (2)在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图 案； (3)在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质作出图形即可； （2）利用平移变换的性质作出图形即可； （3）利用中心对称变换的性质作出图形即可． 【详解】（1）图形如图所示： （2）图形如图所示： （3）图形如图所示． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对 称变换，旋转变换，平移变换的性质．24．点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF ． (1)如图1，连结AF 、BC，判断AF 与CB的位置关系和数量关系，并证明． (2)如图2，将正方形PBEF 绕点P逆时针旋转，使得点E落在线段BC上，EF交PC于点G，若DADF AF 10 S ， ，求 CEG ． (3)如图3，将方形PBEF 绕点P旋转至如图的位置，且APPB，连结AF ，作CPF 的角平分线交AF 于点H ，请写出AH 、PH 、HF之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)AF CB，AF CB，证明见解析 25 S  (2) CEG 4 AH HF 2PH (3) ，证明见解析 1 CPBSAS AF BC O APF  AF CB 【分析】 延长 交 于点 ，证明 ≌ ，由全等三角形的性质得出 ， PAF PCB，由直角三角形的性质可得出结论； 2 PFAAAS CBPSAS 过点 D 作 DN  AF 于点 N ，证明△AND≌  ，得出 AN PF 5 ，证明 AFP ≌  ，由全等三角形的性质得出PF PB5，AF BC 10，求出EG的长，由三角形面积公式可得出答案； 3 FPHSAS 在 AH 上截取 AM HF ，连接 MP ，证明△ APM ≌  ，由全等三角形的性质得出 PM PH FPHSAS APM FPH △ CPH  FPH CPH ， ，证明 ≌ ，由全等三角形的性质得出 ，由等腰直 角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）解：AF CB，AF CB． 证明：如图1，延长AF 交BC于点O，在正方形APCD和正方形PBEF 中，APCP，PF PB，APF BPF 90， 在 APF和△CPB中，  APCP  APF CPB ，   PF PB CPBSAS △APF  ≌ ， AF CB，PAF PCB，  AFPCFO， APF COF 90， AF BC； （2） 过点D作DN  AF于点N ，  DADF， AN NF 5，  DANFAP90，FAPAPF 90， DAN APF ， 又 ANDAPF，AD AP， PFAAAS  AND   ≌ ，AN PF 5，  APPC，APF CPB，PF PB， CBPSAS  AFP   ≌ ， PF PB5，AF BC 10，  BEPF 5， CE5， ∴EG∥PB， 1 5 EG PB ， 2 2 1 1 5 25 S  CEEG 5  ； CEG 2 2 2 4 （3） AH HF 2PH ． 证明：在AH 上截取AM HF ，连接MP， 正方形APCD和正方形PBEF 中，APPB，  APPF ，PC PF ， PAM PFH ， FPHSAS  APM   ≌ ， PM PH ，APM FPH ， QPH平分CPF ， CPH FPH， 又 PC PF，PH PH ， FPHSAS  CPH   ≌ ，FPH CPH ， APM CPH ，  APC90， APM MPC CPH MPC MPH 90， MH  2PH ，  AH  AM MH ， AH HF 2PH ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定 与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．