文档内容
第十三章 轴对称 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·海南·八年级期末）2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，所以不是轴对称图形，选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（2022·山西晋中·八年级期中）小明同学发现，只用两把宽度相同的长方形直尺就可以画一个角的平分
线．如图，一把直尺压住∠AOB的一边OB，另一把直尺压住∠AOB的另一边OA，并且与第一直尺交于点
P，则射线OP就是∠AOB的平分线．他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的
距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平
分线上．
3．（2022·重庆市·八年级期末）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再
沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案．【详解】
还原后只有B符合题意，故选B．
【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直
观的得到答案．
4．（河南省周口市西华县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）如图，已知△ABC是等边三角形，
点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，∴∠CGD＋∠CDG＝60°，
∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，
∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，∴∠DFE＋∠E＝30°，
∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形的外角性质，利用等边对等角和三角形
的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
5．（2022·河北沧州·八年级期末）小明用尺规在 ABC上作图，并留下如图所示的痕迹，若AB=6，
AC=4，则 ABD与 ACD的面积之比为（ △）
△ △A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线
的性质得到DE=DF，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，
过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，
∵S ABD= AB•DE，S ACD= AC•DF，∴ ，
△ △
∵AB=6，AC=4， ，故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的面积，熟记角平分线的作法及性质是解题的关键．
6．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，在 ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连
接AE．若AD=3， ACE的周长为13，则 A△BC的周长为（ ）
△ △
A．18 B．19 C．26 D．29
【答案】B
【分析】由AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，易得AE=BE，又由△ACE的周长是13，可求得
AC+BC=13，继而求得答案．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=BE，AB=2AD=6，
∵△ACE的周长是13，∴AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=13，∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=6+13=19．故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
7．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，点A在直线l上，△ABC与 关于直线l对称，连接 ，
分别交AC， 于点D， ，连接 ，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解： 与 关于直线 对称，
， ， ， ， ，
， ，即选项A、B正确；
由轴对称的性质得： ， ，即 ，选项C正确；
由轴对称的性质得： ，但 不一定等于 ，即选项D不一定正确；故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
8．（2022·山东威海·中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法
线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面
EF反射后经过的点是( )A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，
由此推断出结果．
【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：
由图可得MN是法线， 为入射角
因为入射角等于反射角，且关于MN对称由此可得反射角为
所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键．
9．（云南2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在等边 中，BC边上的高 ，E
是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中， 存在最小值，则这个最小值是
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】解：如图，连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，
∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，
即EF+BE的最小值为6．故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及
轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短
等结论．
10．（山东省泰安市宁阳县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图， 和 是两个等
边三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形，连接 ， ， ，下列三个结论：①
；② ；③点 在线段 的中垂线上；④ ；⑤ ；⑥
．其中正确的结论的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝
∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，则根据“SAS”可证明 APC≌△BPD，则可对①进行判
△断；根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断；计算出∠BPC＝150°，再利用PB＝PC和三角形内角和
可计算出∠PBC＝15°，则可对④进行判断；由于∠ABC＝75°，∠BAD＝105°加上BD＝CA，则可判断
ABD与 BCA不全等，从而可对②进行判断；求出∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，根据平行线的判
△定方法可△对⑤进行判断；延长CP交AB于H，计算出∠CHB＝90°，则可对⑥进行判断．
【详解】解：∵△ABP和 CDP是两个等边三角形， APD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
△ △
∴PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，
∴∠APC＝∠BPD＝150°，
在 APC和 BPD中， ，∴△APC≌△BPD（SAS），所以①正确；
△ △
∵PB＝PC，∴点P在线段BC的中垂线上，所以③正确；
∵∠BPA＝∠CPD＝60°，∠APD＝90°，∴∠BPC＝150°，
∵PB＝PC，∴∠PBC＝15°，所以④正确；
∵∠ABC＝60°＋15°＝75°，∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝60°＋45°＝105°，BD＝AC，
∴∠ABC≠∠BAD，∴△ABD与 BCA不全等，所以②错误；
∵∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝△180°，
∴AD∥BC，所以⑤正确；延长CP交AB于H，如图，
∵∠PCB＝15°，∠ABC＝75°，∴∠ABC＋∠PCB＝90°，
∴∠CHB＝90°，∴PC⊥AB，所以⑥正确．正确的有5个，故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的
判定、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决此类问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、
DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的____线．【答案】垂直平分
【分析】根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得出A、D都在线段BC的垂直平分线上，根据两点确
定一条直线得出直线AD是线段BC的垂直平分线．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵ ，
∴点A在线段 的垂直平分线上，点D在线段 的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出直线 是线段 的垂直平分线，故答案为：垂直平分．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
12．（2021·江苏九年级二模）顶角是 的等腰三角形叫做黄金三角形．如图， 是正五边形
的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
【答案】
【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为 ，每一个内角为 ，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．
则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．
【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都
是黄金三角形．
13.（江西省吉安市峡江县2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷）如图，在 ABC中，AB=AC，
∠ABC=30°，D、E 分别为BC、AB边上的动点，且∠ADE=45°，若 ADE为等腰三角△形，则∠DAC的大
小为______． △
【答案】30°或75°或52.5°
【分析】分AD=AE；EA=ED；DA=DE三种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当AD=AE时，∴∠AED=∠ADE=45°，∴∠DAE=180°-45°×2=90°，
在 ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAC=180°-30°×2=120°，
∴∠△DAC=∠BAC-∠DAE=120°-90°=30°；
当EA=ED时，∴∠DAE=∠ADE=45°，在 ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAC=180°-30°×2=△120°，
∴∠DAC=∠BAC-∠DAE=120°-45°=75°；
当DA=DE时，∵∠ADE=45°，∴∠DAE=（180°-45°）÷2=67.5°，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAC=180°-30°×2=120°，
∴∠DAC=∠BAC-∠DAE=120°-67.5°=52.5°．综上所述，∠DAC的大小为30°或75°或52.5°．
故答案为：30°或75°或52.5°．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．
14．（2022·河南·八年级阶段练习）如图， 和 关于直线AB对称， 和 关于直线
AC对称，CD与AE交于点F，若 ， ，则 的度数为________．
【答案】105°
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC，再根据轴对称的性质求得∠DAE和∠EAC，再根据三角形外
角的性质可求得∠CFE．
【详解】解：∵ ， ，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=135°，
根据轴对称的性质可知∠BAE=∠DAC=∠BAC=135°，∠DCA=∠ACB=15°，
∴∠DAE=∠BAE+∠DAC+∠BAC-360=45°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=90°，
∴ ．故答案为：105°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理．掌握轴对称图形对应角相等是
解题关键．
15．（陕西省西安市2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）已知 中， ，在AB边
上有一点D，若CD将 分为两个等腰三角形，则 ________．
【答案】100°，70°，40°或者10°
【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种请况：BC=CD时，如图，
∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，
∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，
∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．
16．（2021·四川）如图，已知 ，点 、 、 …在射线 上，点 、 、 …在射线
上， 、 、 …均为等边三角形，若 ，则 的边长为__________．【答案】22019
【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出 ，得出 ，
， …进而得出答案．
【详解】解：∵ 是等边三角形，∴ ， ∴
，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ 、 是等边三角形，
同理可得：∴ ，∴ ， ，
，…，则 的边长为 ．故答案为：22019．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角
形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
17．（2021·陕西交大附中分校九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB
边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为_____．
【答案】9【分析】将 沿DE翻折到 的位置，将 沿EC翻折到 的位置，连接 ，证明
是等边三角形，得 ，再根据两点之间线段最短可得结论．
【详解】解：将 沿DE翻折到 的位置，将 沿EC翻折到 的位置，
连接 ，如图，
由翻折知， ， ， ， ，
∵∠CED＝120°，∴ ∴
∴ ∴
∴ 是等边三角形，∴ 由两点之间线段最短得，
当 在同一条直线时， 取最大值为：3+3+3=9，故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定以及两点之间线段最短的应用，证明 是等边三角形是解
答此题的关键．
18．（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知 和 都是等腰三角形， ，
、 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ⊥ ；③ 平分 ；④ ．
其中正确结论的是__________．【答案】①②④
【分析】证明△DAC≌△EAB，再利用全等三角形的性质即可判断①；②由全等三角形的性质可得
∠ADC=∠AEB，再由∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD =90°，证得∠EOD=90°，即可判断
②；过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即
AO平分∠BOD即可判断④；根据现有条件无法证明OA平分∠CAE即可判断③．
【详解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠DAE+ ∠EAC=∠BAC+ ∠EAC=∠EAB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠AEB，故①正确：
∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD=90°，
∴∠AED+∠EDO+∠AEB=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠EOD=90°，∴BE⊥CD，故②正确：
如图，过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，
∵△DAC≌△EAB，∴ ，
∴AM=AN，∴OA平分∠BOD，
∵BE⊥CD，∴∠BOD=90°，∴∠AOD=∠AOB=45°，故④正确；根据现有条件无法证明OA平分∠CAE，故③错误，
∴正确结论为①②④．故答案为：①②④
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义，以及三角形内角和定理，熟练掌
握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·陕西渭南·三模）如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一
点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】因为∠A＝100°，∠C＝30°，所以∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．
【详解】解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠B＝50°，
若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．
作图如下：
【点睛】本题考查作角平分线，解题的关键是分析题意知道作∠B的角平分线，掌握作角平分线的方法．
20．（2021·山东烟台·七年级期中）已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、
点B、点C都在格点（正方形的顶点）上．(1) 的面积等于______个平方单位；(2)以BC为边画出所有与 全等的三角形；
(3)在直线l上确定点P，使 的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）
【答案】(1)3(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）利用割补法求三角形面积=长方形面积-3个三角形面积即可；
（2）以BC的垂直平分线为对称轴，作出点A的对称点A，连结AB、AC，得出△ACB使
1 1 1 1
△ABC≌△ACB，以BC所在直线为对称轴作点A的对称点A，连结AB、AC，得出△ACB使
1 2 2 2 2
△ABC≌△ABC，以BC中点为旋转中心，将点A绕旋转中心旋转180°，得点A3，连结AB、AC，得出
2 3 3
ACB使 ABC≌ ACB；
3 3
△（3）作点△B关于△直线l的对称点B′，根据两点之间线段最短，连结AB′交直线l于P即可．
(1)解：S ABC=2×4-
△
(2)根据勾股定理AB= =AC=AB=AC，AC= =AB=AB=AC
1 2 3 1 3 2
在 ABC和 ACB中， ，∴ ABC≌ ACB（SSS），
1 1
△ △ △ △
在 ABC和 ABC中， ，∴ ABC≌ ABC（SSS），
2 2
△ △ △ △
在 ABC和 ACB中， ，∴ ABC≌ ACB（SSS），
3 3
△ △ △ △(3)作点B关于l的对称点B′，连结AB′，交直线l于P，
∵点B关于l的对称点B′∴PB=PB′，∴PA+PB=PA+PB′≥AB′
当A、P、B′三点共线时最短，PA+PB = AB′，
最短
【点睛】本题考查用割补法求三角形面积，利用轴对称性质，中心对称性质画网格图形，最短路径，三角
形全等判定，勾股定理，掌握用割补法求三角形面积，利用轴对称性质，中心对称性质画网格图形，最短
路径，三角形全等判定，勾股定理是解题关键．
21．（2022.江苏八年级期中）如图， 中，边 的垂直平分线交于点P．
（1）求证： ．（2）点P是否也在边 的垂直平分线上？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA=PB，PB=PC，则PA=PB=PC．
（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．
【详解】解：（1）证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC．
∴PA=PB=PC．
（2）∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上．
【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的
两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
22．（四川省广元市剑阁县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知在等腰直角三角形
△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．
(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；(3)求证：CE BF．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全
等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DCA+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后
求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，
从而得证；（3）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE= BF．
（1）在等腰Rt△DBC中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，
，∴△FBD≌△ACD（SAS）；
（2）∵△FBD≌△ACD，∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，∴∠DCA+∠A=90°，∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中， ，
∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AB=CB，∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵△FBD≌△ACD，∴BF=AC，∵△ABE≌△CBE，∴AE=CE= ，∴CE= BF．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，等边对等角
的性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
23．（河南省郑州市2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）已知，如图，△ABC为等边三角
形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，
PQ＝6，PE＝2，求AD的长．
【答案】(1)证明见详解；(2)60°；(3)14．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到
2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14，进而得出AD的长．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中 ，∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，∴BE=BP+PE=12+2=14，
∵△ABE≌△CAD，∴BE=AD=14．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为
60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．
24．（2022·湖北八年级期中）（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ， ，求证： ．
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： ．
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【分析】（1）由题意得DE=DF， ， ，即可得出 ： =AB：
AC；
（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出 ， ，
即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为
∠BAM的角平分线，即 ，即可得出答案；
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，
∵ ， ，∴ ： =AB：AC；
（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中， ，∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴ ，∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中， ，∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，∴BE：CD=AB：AC；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知
识点是解题的关键；
25．（2022·北京西城·二模）在 ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在
直线AC的异侧）点D是射线C△B′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且
∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与 的位置关系是______，若 ，则CD的长为______；
（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示 与 之间的
数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)AD⊥CB′； ；
(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析
【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明
ADC≌ AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-
△ △
∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后证明 ABG≌ ACD(SAS)， GAE≌ DAE (SAS)，即可求解．
(1)解：∵点E与点C重合，且∠DA△E+∠AC△D=90°， △ △
∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，∴CF=BF= BC= ，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF= AD，∴ ADC≌ AFC(HL)，
△ △
∴CD=CF= ，故答案为：AD⊥CB′； ；
(2)解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，
∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°- ∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°- ∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，
在 ABG和 ACD中， ，
△ △
∴ ABG≌ ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵△∠BAC=∠△BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，
在 GAE和 DAE中， ，
△ △
∴ GAE≌ DAE (SAS)，∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．
【△点睛】本△题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是
解题的关键．
26．（2022·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，
则称△DEF是△ABC的内接三角形．（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 ．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或等边三角形 D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，
不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三
角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需
∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC
于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重
合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果
存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由： 是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边
三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出
△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）B；（2）见解析；（3）①有一个角是60°的等腰三角形；②见解析；③见解析
【分析】（1）通过已知条件判断三角形全等即可；（2）过三点作对边的垂线即可；
（3）①运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一定理即可；
②通过证明三角形全等得到BE＝F′F和EC＝FF″，即可证明FF'+FF″＝BC；
③运用②的结论，确定等边三角形一个点F，再通过截取确定点E，即可作出所求三角形．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵AD＝BE＝CF，∴AB﹣AD＝BC﹣BE＝AC﹣CF，∴BD＝CE＝AF，在△ADF和△BED中， ，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝ED，
在△ADF和△CFE中， ，∴△ADF≌△CFE（SAS），
∴DF＝EF，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，故答案为：B；
（2）如图所示，△ABC的边长最小的内接等边△DEF即为所求；
（3）①∵DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
故答案为：有一个角是60°的等腰三角形；
②连接FF′和FF″，∵△DBF′、△DEF、△DCF″都是等边三角形，
∴DB＝DF′，DE＝DF，DC＝DF″，∠BDF′＝∠EDF＝∠CDF″＝60°，
∴∠BDE＝∠F′DF，∠EDC＝∠FDF″，
在△DBE和△DF′F中， ，∴△DBE≌△DF′F（SAS），∴BE＝F′F，
在△DEC和△DFF″中， ，∴△DEC≌△DFF″（SAS），∴EC＝FF″，
∴BC＝BE+EC＝F′F+FF″，即FF'+FF″＝BC；
③以BD为边作等边△BDF′，以CD为边作等边△CDF″，连接F′F″交AC于点F，连接DF，
在BC上截取BE＝F′F，连接DE，DF，△DEF即为所求．
【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及尺规作图，构造全等三角形是
解题的关键．
