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期末 A卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 下列运算正确的是（ ）
A. m2•m3＝m6 B. （m2）3＝m5 C. m3÷m2＝m D. 3m﹣m＝2
【答案】 C
【考点】整式的加减运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方
【解析】【解答】解：A. m2•m3＝m5 ， 故错误；B. （m2）3＝m6 ， 故错误；C. m3÷m2＝m，故正确；
D. 3m﹣m＝2m，故错误；故答案为：C.
【分析】分别运用同底数幂相乘除、幂的乘方、合并同类项法则方进行计算.
2. ( 3分 ) 下列图形中是中心对称图形的是
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，故不符合；
B是轴对称图形，故不符合；
C不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合；
D是中心对称图形，因为它能绕它的中心旋转180度能与自身重合；
故选D.
【分析】AB是轴对称图形，它们能分别沿某一条线折叠使与自身完全重合；D是中心对称图形，绕中心
旋转180度与自身重合.
3. ( 3分 ) 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A. 1cm、2cm、3cm B. 1dm、5cm、6cm C. 1dm、3cm、3cm D. 2cm、4cm、7cm
【答案】 B
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形的三边关系可知：
A．2+1＝3，不能组成三角形；
B．1dm=10cm ， 5+6＞10，能组成三角形；C．1dm=10cm ， 3+3＜10，不能组成三角形；
D．2+4＜7，不能组成三角形．
故答案为：B．
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断即可.
4. ( 3分 ) 一个正多边形的一个外角是30°，则这个正多边形的对称轴有（ ）
A. 9条 B. 10条
C. 11条
D. 12条
【答案】 D
【考点】多边形内角与外角，正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的一个外角是30°，
∴这个正多边形的边数=360÷30=12，故其对称轴有：12条.
故答案为：D.
【分析】根据多边形外角和等于360°计算多边形的边数，据边数即可得出多边形对称轴的条数.
5. ( 3分 ) 如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处．若∠1=129°，则∠2的度数为
（ ）
A. 49° B. 50° C. 51° D. 52°
【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据翻折的性质可知，∠DOE=∠A，∠HOG=∠B，∠EOF=∠C，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠DOE+∠HOG+∠EOF=180°，
∴∠1+∠2=180°，又∵∠1=129°，
∴∠2=51°．
故选C．
【分析】根据翻折的性质可知，∠DOE=∠A，∠HOG=∠B，∠EOF=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，可知
∠1+∠2=180°，又∠1=129°，继而即可求出答案．本题考查翻折变换的知识，解答此题的关键是三角形折
叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，同时注意三角形内角和定理的灵活运用．
6. ( 3分 ) 若式子 √k-1 +（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】0指数幂的运算性质，二次根式有意义的条件，一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵式子 √k-1 +（k﹣1）0有意义，
k-1≥0
∴ { ，解得k＞1，
k-1≠0
∴1﹣k＜0，k﹣1＞0，
∴一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象过一、二、四象限．
故选C．
【分析】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．先求出k
的取值范围，再判断出1﹣k及k﹣1的符号，进而可得出结论．
k
7. ( 3分 ) 如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的
x
垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】 D【考点】一次函数的实际应用，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性
质
【解析】【解答】解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，如图1，
k
设P点坐标（n， ），
n
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
k
∵P点坐标（n， ），
n
∴OD=CQ=n，
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
√2
∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= 2√2 ；
2
√2k
同理可证：BG= √2 BF= √2 PD= ，
n
√2k
∴BE=BG+EG= + 2√2 ；
n
∵∠AOB=135°，
∴∠OBE+∠OAE=45°，
∵∠DAO+∠OAE=45°，∴∠DAO=∠OBE，
∠DAO=∠OBE
∵在△BOE和△AOD中， { ，
∠BEO=∠ADO=90°
∴△BOE∽△AOD；
√2k
OE BE 2√2 +2√2
∴ = ，即 = n ；
OD AD n
4+n
整理得：nk+2n2=8n+2n2 ， 化简得：k=8；
故答案为：D．
方法2、如图2，
过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
k
∵P点坐标（n， ），
n
k k
∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ）
n n
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=4，
当y=0时，x=﹣4．
∴OG=4，∵∠AOB=135°，
∴∠BOG+∠AOC=45°，
∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，
∴∠AGO=∠OCG=45°，
∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，
∴∠OBG=∠AOC，
∴△BOG∽△OAC，
OG BG
∴ = ，
AC OC
4 BG
∴ = ，
AC 4
√2k
在等腰Rt△BFG中，BG= √2 BF= ，
n
在等腰Rt△ACD中，AC= √2 AD= √2 n，
√2k
∴ 4 n ，
=
√2n 4
∴k=8，
故答案为：D．
【分析】方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，如图1，首先求出C,G两点的坐标，从而得出
OC=OG，根据等边对等角得出∠OGC=∠OCG=45°再根据平行线的知识得出∠PBA=∠OGC=45°，
∠PAB=∠OCG=45°，进而PA=PB，设出P点的坐标，求出OD=CQ.AD的长，然后判断出△BOE∽△AOD；
根据相似三角形对应边成比例得出方程，求解即可； 方法2、如图2， 过B作BF⊥x轴于F，过点A作
AD⊥y轴于D，首先求出C,G两点的坐标，从而得出OC=OG，根据等边对等角得出∠OGC=∠OCG=45°再
根据平行线的知识得出∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，进而PA=PB， 设出P点的坐标进而得出
A,B两点的坐标，找到OC.OG的长，进而判断出△BOG∽△OAC，根据相似三角形对应边成比例得出方程，
在等腰Rt△BFG中表示出BG，在等腰Rt△ACD中表示出AC，代入方程求解即可。
k
8. ( 3分 ) 如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ （x
x
＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（ ）9 25
A. 4 √3 B. √3 C. √3 D. 8 √3
2 4
【答案】 A
【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，反
比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵等边三角形AOB的边长为5，边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，
∴B（5，0），
∴OB＝5，
作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∴CE∥DF，
∴∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∴△COE∽△DBF，
OE CE OC
∴ = = ，
BF DF BD
设C（a，b），
∴OE＝a，CE＝b，
∵OC＝2BD，
a b
∴ = =2 ，
BF DF
1 1
∴BF＝ a，DF＝ b，
2 21
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣ b，
2
1 1
∴D（5﹣ b， b），
2 2
k
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，
x
1 1
∴k＝ab＝（5﹣ b）• b，解得a＝2，
2 2
∴OE＝2，
在Rt△COE中，∠AOB＝60°，
∴CE＝OE•tan60°＝2 √3 ，
∴C（2，2 √3 ），
∴k＝2×2 √3 ＝4 √3 。
故答案为：A。
【分析】根据等边三角形的性质得出OB＝5，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，很容易判断出
OE CE OC
△COE∽△DBF，根据相似三角形对应边成比例得出 = = ， 设C（a，b），故OE＝a，CE＝
BF DF BD
b，根据比例式用含a,b的式子表示出BF,CF，进而表示出OF，表示出带你D的坐标，根据反比例函数图
象上的点的横坐标与纵坐标的乘积等于常数k，列出方程求解算出a的值，进而在Rt△COE中，根据正切
函数的定义，由CE＝OE•tan60°表示出CE，求出点C的坐标，从而即可求出k的值。
9. ( 3分 ) 如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到
△A′D′C′，分别连接BC′，AD′，BD′，则BC′+BD′的最小值为（ ）
A. 2√2 B. 4 C. 4√2 D. 2√5
【答案】 D
【考点】正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题，平移的性质【解析】【解答】解：连接DD′，当等腰Rt△ADC在射线CA上运动时，点D运动轨迹为直线DD'，
∵AB∥C′D′，且AB=C′D′，
∴四边形ABC′D′为平行四边形，
∴BD′+BC′=D′B+D′A，
将点B关于直线l对称到点B′，BD′+BC′=D′B+D′A= D′B′+D′A≥AB′，当D′、B′、A三点共线时，BC′+BD′
的最小，最小值为AB′长，
作A′′B′⊥AD交AD延长线于点A′′，
由对称可知，BD′=BD，∠ADB=∠AD B′，∠BAD=∠B′A′′D，
∴△BAD≌△B′A′′D，
∴A′′D=AD=2，A′′B′=AB=2，
AB′= √A A''2+B' A''2= 2√5 ，
故答案为：D.
【分析】作点B关于直线DD′对称到点B′，连接AB′，作A′′B′⊥AD交AD延长线于点A′′，求出AB′长即可.
10. ( 3分 ) 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=30°，点E为AB的中点，DE⊥AB，交AB于点E，DE=
√3 ，BC=1，CD= √13 ，则CE的长是（ ）
A. √14 B. √17 C. √15 D. √13
【答案】 D【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB，
∴BD=AD，AE=BE，
∵∠DAB=30°，
∴∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE= 2√3 ，AE=BE= √3 DE=3，
∵BC2+BD2=12+（2 √3 ）2=13=CD2 ，
∴△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠CBF=180°-30°-90°=60°，
∴∠BCF=30°，∠BFC=90°，
∴∠BCF=30°，
1 1 √3
∴BF= BC= ，CF= √3 BF= ，
2 2 2
7
∴EF=BE+BF= ，
2
√ 7 2 √3 2
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE= ( ) +( ) =√13 ；
2 2
故答案为：D.
【分析】连接BD，作CF⊥AB于F，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=BE，得出
∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE= 2√3 ，AE=BE= √3 DE=3，证出△BCD
1 1 √3
是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF= BC= ，CF= √3 BF= ，求出
2 2 2
7
EF=BE+BF= ，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结果.
2
二、填空题
11. ( 4分 ) 已知AB=20，AC=30，∠A=150°，则△ABC的面积是________．
【答案】 150【考点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥AC于E，
∵∠BAC=150°，
∴∠BAE=180°﹣∠BAC=180°﹣150°=30°．
1
∴BE= AB=10，
2
∵AC=30，
1 1
∴S = AC•BE= ×30×10=150．
△ABC 2 2
故答案为150．
【分析】过点B作BE⊥AC于E，根据勾股定理可求得BE，再根据三角形的面积公式求出答案．
12. ( 4分 ) 因式分解： a2−5a= ________.
【答案】 a(a−5)
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】a2－5a＝a（a－5），故答案为a（a－5）.
【分析】根据因式分解的概念可得到答案.
13. ( 4分 ) 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的
5
进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是
4
________元．
【答案】 4
【考点】分式方程的实际应用
5
【解析】【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为 x元/支，
4600
600
根据题意得： ﹣ 5 =30，
x x
4
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
5
【分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为 x元/支，则第一次用
4
600
600
600元购进2B铅笔的数量为： 支，第二次用600元购进2B铅笔的数量为： 5 支，根据第二次购进
x x
4
的数量比第一次少了30支，列出方程，求解并检验即可。
14. ( 4分 ) 如图，△ABC中，IB ， IC分别平分∠ABC ， ∠ACB ， 过I点作DE∥BC ， 分别交
AB于D ， 交AC于E ， 给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分
∠BAC；④△ADE周长等于AB+AC ， 其中正确的是: ________（只需填写序号）。
【答案】 ①③④
【考点】平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵IB平分∠ABC，
∴∠DBI=∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，
∴∠DBI=∠DIB，
∴BD=DI，
∴△DBI是等腰三角形，故①符合题意；
∵∠BAC不一定等于∠ACB，
∴∠IAC不一定等于∠ICA，
∴△ACI不一定是等腰三角形，故②不符合题意；∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴AI平分∠BAC，故③符合题意；
∵BD=DI，同理可得EI=EC，
∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC，故④符合题意；
其中正确的是①③④，
故填：①③④.
【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排
除法求解．
15. ( 4分 ) 在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的
一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为________．
3
【答案】 （﹣ ，0）
2
【考点】待定系数法求一次函数解析式，轴对称的应用-最短距离问题，一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b
把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入
−1＝−k+b
{¿
−7＝2k+b
k＝−2
解得 {¿
b＝−3
∴直线AB′为：y=-2x-3，
3
当y=0时，x=-
2
3
∴M坐标为（- ，0）
2
3
故答案为：（- ，0）
2
【分析】取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．利用待定系数法求出直
线AB′解析式，根据直线与x轴交点的坐标特点得出M点的坐标。
16. ( 4分 ) 如图，△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6，则阴影部分的面积是
________．3
【答案】
2
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
1 1
∴S = S ， S = S ，
△AEC 2 △ACD △ACD 2 △ABC
1 1 3
∴S = S = ×6= ．
△AEC 4 △ABC 4 2
3
故答案为： .
2
【分析】根据点D、E分别是BC、AD的中点，可知AD、CE分别是△ABC、△ADC的中线，而三角形的
中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形，据此即可解答。
17. ( 4分 ) 如图，在扇形 ABD 中， ∠BAD=60° ， AC 平分 ∠BAD 交弧 BD 于点 C ，点 P
为半径 AB 上一动点，若 AB=4 ，则阴影部分周长的最小值为________．
2π
【答案】 4√2+
3
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点 C' ，
连接 C'D 交OB于点 P' ，连接 P'C 、 OC' ，此时 P'C+P'D 最小，即 P'C+P'D=C'D ，
由题意得， ∠DAC=∠CAB=∠BAC'=30° ，
∴ ∠DAC'=90° ，
∴ C'D=√OC2+OD'2=√42+42=4√2 ，
30π×4 2π
C´D 的长 l= = ，
180 3
2π
∴阴影部分周长的最小值为 4√2+ ，
3
2π
故答案为： 4√2+ ．
3
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的
长与CD'的长度和，分别进行计算即可。
三、计算题
18. ( 5分 ) 计算
（1）（2a＋1)2－(2a＋1)(－1＋2a)
（2）(x-y)3·(x-y)2·(y-x)
（3）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
【答案】 解：(1)原式= 4a2+4a+1-(4a2 -1)
=4a2+4a+1-4a2+1
=4a+2
(2) 原式=-（x-y）3·(x-y)2·(x-y)=-(x-y)6；
(3)原式=9m2n2 -1-8m2n2 =m2n2 -1．
【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式的几何背景，平方差公式及应用，整式的混合运算【解析】【分析】
（1）先根据完全平方公式、平方差公式把括号展开，再合并同类项即可求解；
（2）先把底数统一，再按照同底数幂的乘法即可求出结果；
（3）先根据平方差公式把括号展开，合并同类项即可．
19. ( 10分 ) 解方程：
（1）x2﹣4x+1=0
x+5 3 −6
（2） ﹣ = ．
x2−x x 1−x
【答案】 （1）解：x2﹣4x+1=0，
x2﹣4x=﹣1，
x2﹣4x+4=﹣1+4，
（x﹣2）2=3，
x﹣2=± √3 ，
解得x=2﹣ √3 ，x=2+ √3 ；
1 2
x+5 3 −6
（2）解： ﹣ = ，
x2−x x 1−x
x+5﹣3（x﹣1）=6x，
x+5﹣3x+3=6x，
﹣8x=﹣8，
x=1，
经检验x=1是增根，
故原方程无解．
【考点】配方法解一元二次方程，解分式方程
【解析】【分析】（1）在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的
平方；（2）先把分式方程整理成整式方程，再按照解整式方程的步骤进行计算，最后再进行检验，即可
得出答案．
四、解答题
20. ( 7分 ) 已知：如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，且CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
AD=EB．求证：AC=CB．【答案】 证明：∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，
且CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴CD=CE，∠ADC=∠BEC=90°，
在△ACD和△BCE中，
AD＝EB
{∠ADC＝∠BEC
DC＝CE
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AC=CB
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 CD=CE，然后利用SAS判断出
△ADC≌△BEC，根据全等三角形的对应边相等得出 AC=CB。
21. ( 7分 ) 已知 x=√5+2 ，求代数式x2﹣4x的值．
【答案】 解： x=√5+2 ，
∴x2﹣4x=x（x﹣4）=（ √5 +2）（ √5 ﹣2），
=5﹣4，
=1．
答：代数式x2﹣4x的值为1
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】首先对式子x2﹣4x进行因式分解，然后代入x的值可得到答案．
22. ( 9分 ) 请将下面的说理过程和理由补充完整．
如图，点B，E，C，F在一条直线上，BE=CF，AB∥DE，AB=DE，说明AC=DF．
解：∵BE=CF，（已知）
∴BE+EC=CF+ ▲ ． （等式的性质）即 BC= ▲ ．
∵AB∥DE，（已知）
∴∠B= ▲ ． （ ▲ ）
又∵AB=DE，（已知）
∴△ABC≌△DEF．（ ▲ ）
∴AC=DF．（ ▲ ）
【答案】 解：∵BE=CF，（已知）
∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）
即 BC=EF．
∵AB∥DE，（已知）
∴∠B=∠DEF．（两直线平行，同位角相等）
又∵AB=DE，（已知）
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC=DF．（全等三角形对应边相等）
【考点】三角形全等及其性质，推理与论证，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】首先根据等量代换得到BC=EF ， 再根据平行线的性质得到∠B=∠DEF ， 再利用
SAS得出△ABC≌△DEF ， 得出AC=DF.
23. ( 9分 ) 如图，在直角△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F为直线AD上任意一点，过点A作
直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C．过点F作FG∥BD，交直线AB于点G．
（1）如图1，点F在边AD上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是
；
（2）如图2，点F在边AD的延长线上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是
， 证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这
个角的两边分别交线段FG于M，N两点，当FM=2时，求线段NG的长．【答案】 解：（1）FG+DC=BD；理由：
∵∠ADB=90°，∠ABD=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=45°，
∴AD=BD，∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC，
∵FG∥BD，
∴∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABD=45°，
∴FG=AF，
∴FG+DC=AF+DF=AD=BD；
（2）FG=DC+BD；理由如下：
过点B作BH⊥GF于点H，如图2所示：
则四边形DFHB是矩形，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，FG∥BD，
∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形，
∴AD=BD，AF=FG，
∵AC⊥BF，
∴∠CEB=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠C+∠DAC=90°，∠CBE=∠DBF，∴∠DAC=∠DBF，∠ADB=90°，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DC=DF，
∴AF=DF+AD=DC+BD，
∴FG=DC+BD；
（3）作NP⊥AG于P，如图3所示：
则四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，
∴BH=DF=6，PG=PN，
设PG=PN=x，则NG=√2x，
∵∠G=45°，
∴GH=BH=6，BG=6√2 ， ∠GBH=45°，
∵∠MBN=45°，
∴∠PBN=∠MBH，
2 1
∴tan∠PBN=tan∠MBH= = ，
6 3
∴BP=3PN=3x，
∴PG+BP=x+3x=4x=6√2 ，
3√2
解得：x= ，
2
3√2
∴NG=√2× =3．
2【考点】全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明△BDF≌△ADC，得出DF=DC，再证明FG=AF，即可得出结论；
（2）过点B作BH⊥GF于点H，由△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形．得出AD=BD，AF=FG，再证
明△ADC≌△BDF，得出DC=DF，即可得出结论；
（3）作NP⊥AG于P，由四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，得出BH=DF=6，PG=PN，设
1
PG=PN=x，则NG=√2x，再证出∠PBN=∠MBH，得出tan∠PBN=tan∠MBH= ， 得BP=3PN=3x，列出
3
方程x+3x=6√2 ， 解方程即可得出结果．
五、作图题
24. ( 5分 ) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C
（﹣4，1）
①画出△ABC关于y轴对称的△AB C ， 并写出点B的对应点B 的坐标；
1 1 1 1
②画出△ABC向下平移3个单位的△AB C ， 并写出点C的对应点C 的坐标．
2 2 2 2
【答案】 解：如图：△AB C △AB C 即为①②所求，B 坐标为（3，3）、C 坐标为（﹣4，﹣2）．
1 1 1、 2 2 2 1 2【考点】作图﹣轴对称，作图﹣平移
【解析】【分析】（1）直接利用关于Y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2） 直接利用
关于平移的性质得出对应点位置进而得出答案。
六、综合题
25. ( 10分 ) 如图，在□ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，
（1）求证：△CFB≌△AED；
（2）若∠ADB＝90°，判断四边形BFDE的形状，并说明理由；
【答案】 （1）证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ ∠A=∠C ， AD=CB ， AB=CD
又∵点E,F分别是AB，CD的中点
1 1
∴ AE=CF= AB= CD
2 2
∴ △CFB≅△AED（SAS）
（2）解：四边形 BFDE 是菱形．证明如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形
AB//CD
∴
¿
又∵点E,F分别是AB，CD的中点
1
∴ BE∥DF , BE= AB
¿ 2∴四边形 BEDF 是平行四边形
又∵ ∠ADB=90°
1
∴在 Rt△ADB 中， DE= AB=BE
2
∴四边形 BFDE 是菱形．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定
【解析】【解答】（1） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ ∠A=∠C ， AD=CB ， AB=CD
又∵点E,F分别是AB，CD的中点
1 1
∴ AE=CF= AB= CD
2 2
∴ △CFB≅△AED（SAS）
（2） 解：四边形 BFDE 是菱形．证明如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形
AB//CD
∴
¿
又∵点E,F分别是AB，CD的中点
1
∴ BE∥DF , BE= AB
¿ 2
∴四边形 BEDF 是平行四边形
又∵ ∠ADB=90°
1
∴在 Rt△ADB 中， DE= AB=BE
2
∴四边形 BFDE 是菱形．
【分析】根据平行线的性质得到对角、对边相等，再利用“SAS”判定三角形全等；首先证明四边形
BFDE是平行四边形，再证明EF⊥BD，即可解决问题.
