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【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教
版）
【单元测试】第二十三章 旋转（综合能力拔高卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有 8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．将点 绕原点顺时针旋转 得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质即可确定点坐标．
【详解】解：点绕原点顺时针旋转90度的坐标变换规律：横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，
则点（3，1）绕原点O顺时针旋转90°得到的点的坐标为（1，-3），如图，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出
旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
2．下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中既是中
心对称又是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．关于等边三角形，下列说法不正确的是（ ）
A．等边三角形是轴对称图形 B．所有的等边三角形的内角都相等
C．等边三角形是正多边形 D．等边三角形是中心对称图形
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义，可判断A的正误；根据相似的判定条件，可判断B的正误；根据正多边
形的定义，可判断C的正误；根据中心对称图形的定义，可判断D的正误．
【详解】解：A、根据轴对称图形的定义，可知等边三角形是轴对称图形，正确，故不符合题意；
B、由所有的等边三角形的角都是60°，正确，故不符合题意；
C、因为等边三角形的角相等，边相等，所以等边三角形是正多边形，正确，故不符合题意；
D、根据中心对称图形的定义，可知等边三角形不是中心对称图形，错误，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形，相似，正多边形等知识．解题的关
键在于对知识的灵活运用．
4．如图，在 ABC中，∠CAB＝65°，将 ABC在平面内绕点A旋转到 ADE的位置，使CD AB，则旋
转角的度数为△（ ） △ △A．35° B．40° C．50° D．65°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，AC=AD，则根据
等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°-∠ADC-
∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．
【详解】解：∵CD AB，
∴∠DCA=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=65°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠DCA=50°，
∴∠BAE=50°，即旋转角的度数为50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角．
5．点 P（2，- 1）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（ - 1， 2 ） B．（ - 2 ，- 1） C．（ 2 ，1） D．（ - 2 ，1）
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的两个点，其坐标值全部互为相反数可直接得到答案．
【详解】∵关于原点对称的点的坐标是：(x，y)原点的对称点的坐标为(-x,-y)，
∴点P（2，- 1）关于原点的对称点的坐标为（ - 2 ，1），
故选：D．
【点睛】本题考查原点对称，解题的关键是熟知关于原点对称的两个点，其坐标值全部互为相反数．
6．如图所示，在 的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，
使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．
【详解】如图所示：5种不同的颜色即为使整个图案构成一个轴对称图形的办法．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称定义得出是解题关键．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的
直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
【答案】C
【分析】连接 ．先判定 ，即可得到 ．再根据 ， ，利用
勾股定理即可得到， 中， ，进而得出 的长．
【详解】解：如图，连接 ．
与 关于 所在的直线对称，
， ．按照顺时针方向绕点 旋转 得到 ，
， ．
，
．
．
（SAS）．
．
四边形 是正方形，
．
，
．
在 中， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转
中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．如图，平面直角坐标的原点是等边三角形的中心，A（0，1），把△ABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转
60°，则第 2021秒时，点A的坐标为（ ）A．（0，1） B．（－ ，－ ） C．（ ， ） D．（ ，－ ）
【答案】C
【分析】△ABC绕点O逆时针旋转一周需6秒，而2021=6×336+5，所以第2021秒时，点A旋转到点 ，
， ，作 ⊥x轴于H，然后通过解直角三角形求出 和OH即可得到 点的
坐标．
【详解】解：∵360°÷60°=6，
∴△ABC绕点O逆时针旋转一周需6秒，
∵2021=6×336+5，
∴第2021秒时，点A旋转到点 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∵点A的坐标为（0，1），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ， ）．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，点的坐标规律探索，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确确
定出点 的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，共18分）
9．如图， ABC和 DEF关于点O中心对称，若OB=4，则OE的长为______．
△ △【答案】4
【分析】利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵ ABC和 DEF关于点O中心对称，
∴点B与点E关△于点O中△心对称，
∴OB=OE，
∵OB=4，
∴OE=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查中心对称等知识，解题的关键熟练掌握中心对称的性质．用到的知识点：关于中心对称
的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
10．如图，直线 ， 的边 在直线 上， ，将 绕点 顺时针旋转 至
，边 交直线 于点 ，则 ______ ．
【答案】50
【分析】先根据旋转的性质得到 ，再由平角的定义求出 的度数，即可利用平
行线的性质得到答案．
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转 至 ，
∴ ，∵∠AOB=55°，
∴ ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等和旋转的性质是
解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，-4），若将线段AB绕点A顺时
针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为______．
【答案】（−2，2）
【分析】如图，过点C作CH⊥x轴于H．证明△AOB≌△CHA（AAS），推出CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，可
得结论．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴于H．
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵∠AHC＝∠AOB＝∠BCA＝90°，
∴∠CAH＋∠BAO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠CAH＝∠ABO，
在△AOB和△CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，
∴OH＝AH−OA＝2，
∴C（−2，2）．
故答案为：（−2，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问
题．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋
转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．
【答案】（1，1）
【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一
组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解．【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)．
故答案为(1，1)．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段
的垂直平分线的交点即可.
13．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上
（Ⅰ）线段AB的长度＝________；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在∠ABC的平分线上找一点P，在BC上找一点Q，使
CP+PQ的值最小，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的_____________（不要求证明）．
【答案】 5 构造边长为5的菱形ABKD，连接BD，射线BD为∠ABC的平分线，构造
△CEF≌△CAB，作直线CF交BD于P，交AB于Q′，再作点P关于直线BC的对称点J，连接PJ交BC于点Q，
点P、Q即为所求；
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可；
（Ⅱ）构造边长为5的菱形ABKD， 得到射线BD为∠ABC的平分线，再构造△CEF≌△CAB，作直线CF交BD
于P，交AB于Q′，再作点P关于直线BC的对称点J，连接PJ交BC于点Q，即可找到符合题意的点．
【详解】解：（Ⅰ） ，
故答案为：5；
（Ⅱ）构造边长为5的菱形ABKD，连接BD，射线BD为∠ABC的平分线，构造△CEF≌△CAB，作直线CF交BD于P，交AB于Q′，再作点P关于直线BC的对称点J，连接PJ交BC于点Q，点P、Q即为所求．
故答案为：构造边长为5的菱形ABKD，连接BD，射线BD为∠ABC的平分线，构造△CEF≌△CAB，作直线
CF交BD于P，交AB于Q′，再作点P关于直线BC的对称点J，连接PJ交BC于点Q，点P、Q即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、轴对
称、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，
属于中考填空题中的压轴题．
14．在如图所示的平面直角坐标系中， 是边长为2的等边三角形，作 与 关于点 成
中心对称，再作 与 关于点 成中心对称，如此作下去．则 （n是正整数）
的顶点 的坐标是________．
【答案】(4041， )
【分析】首先根据△OAB 是边长为2的等边三角形，可得A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，
1 1 1 1
0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A、A、A 的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，
2 3 4
求出An 的坐标是多少即可．
2 +1
【详解】解：∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1∴A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△BAB 与 OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点△A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵2×2-1=3，2×0- =- ，
∴点A 的坐标是（3，- ），
2
∵△BAB 与 BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A 与点△A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵2×3-1=5，2×0-（- ）= ，
∴点A 的坐标是（5， ），
3
∵△BAB 与 BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A 与点△A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵2×4-1=7，2×0- =- ，
∴点A 的坐标是（7，- ），
4
…
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，…，
∴An的横坐标是2n-1，An 的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1，
2 +1
∵当n为奇数时，An的纵坐标是 ，当n为偶数时，An的纵坐标是- ，
∴顶点An 的纵坐标是 ，
2 +1
∴△BnAn Bn （n是正整数）的顶点An 的坐标是（4n+1， ），
2 2 +1 2 +1 2 +1
当n=2021时，顶点An 的坐标是（4041， ），
2 +1
故答案为：（4041， ）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少．
三、解答题（本大题共有9小题，共52分；第17-20小题每小题4分，第21-22小题每小题
5分，第23小题6分，第24小题8分，第25小题12分）
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接
BE、CF相交于点 D．
(1)求证：BE=CF；
(2)求∠BDC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BDC的度数为50°
【分析】（1）利用旋转性质得∠BAE=∠CAF，再证明△ABE和△ACF全等即可得证；
（2）由△ABE≌△ACF得∠ABE=∠ACF，另由∠1=∠2，∠BAC=50°即可求得∠BDC的度数．
【详解】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴∠BAC=∠EAF，AB=AE，AC=AF，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AE，AC=AF，AB=AC，
∴AB=AE=AC=AF，
∴ △ABE≌△ACF(SAS)，
∴ BE=CF ．
（2）解：如下图，∵由（1）知：△ABE≌△ACF，
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠1=∠2，∠BAC=50°，∠ABE+∠1+∠BAC=∠ACF+∠2+∠BDC = ，
∴∠BDC=∠BAC=50°，
即∠BDC的度数为50°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形
的判定及性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OAB，并写出点A、B 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OAB，并写出点A、B 的坐标．
2 2 2 2
【答案】(1)图见解析，A（0，﹣4），B（2，﹣4）
1 1
(2)图见解析，A（﹣4，0），B（﹣4，﹣2）
2 2
【分析】（1）根据旋转先找到找到A，B 点，再进行连线即可；
1 1
（2）根据关于原点对称的点特征，找到A，B 点，再进行连线即可；
2 2
【详解】（1）如图所示，△OAB 即为所求，
1 1
由图知，A（0，﹣4），B（2，﹣4）；
1 1（2）如图所示，△OAB 即为所求，A（﹣4，0），B（﹣4，﹣2）．
2 2 2 2
【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，对称作图，根据找点，描点，连线的方法进行作图即可．
17．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=AC= ，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，
连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 ，如图2，连接CE，BD，CD．
(1)当 时，求证： ；
(2)如图3，当 时，延长 交 于点 ，求证： 垂直平分 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用“ ”证得 即可得到结论；
（2）利用“ ”证得 ，由性质推出 ，计算得出 ，再利用
等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
【详解】（1）证明：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90 ，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE △ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE △ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90 ，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90 ，
∴∠EFB=90 ，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，
∴BC= AB = ，CD= AC+ AD= ，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直
平分线的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用性质求解．
18．在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为：A（2，3）、B（3，1）、O（0，0）．
(1)将△ABO向左平移4个单位，画出平移后的△ABO．
1 1 1
(2)将△ABO绕点O顺时针旋转180°，画出旋转后得到的△ABO．此时四边形ABAB 的形状是 ．
2 2 2 2
(3)在平面上是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条
件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)平行四边形；(3)存在，（﹣1，2）；（1，﹣2）；（5，4）．
【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点A、B、O平移后的对应点A,B,O，然后描点即可得到
1 1 1
ΔABO;
1 1 1
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A,B 的坐标，即可得到ΔABO;利用对角线互相平分的四边形
2 2 2 2
为平行四边形即可判断四边形ABAB 的形状；
2 2
（3）分类讨论：分别以AB、BO、AO为对角线画平行四边形可得到满足条件的点D，然后写出对应的D
点坐标．
【详解】（1）如图ΔABO 为所作；
1 1 1
（2）如图ΔABO为所作，此时四边形ABAB 的形状是平行四边形，
2 2 2 2
故答案为平行四边形；
（3）存在．如图满足条件的点D的坐标为(5,4)或(1,−2)或(−1,2)．
【点睛】本题考查三角形的平移、旋转及平行四边形的判定，熟练掌握平移及旋转的性质、平行四边形的
判定及分类讨论的思想方法是解题关键．
19．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标
系中解答下列问题：(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△ABC ；
1 1 1
(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△ABC ；
2 2 2
(3)点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 ．
1 2
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) ，
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点 、 、 的位置，然后顺次
连接即可，
（2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点 、 、 的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据平面直角坐标系写出点 、 的坐标．
【详解】（1）解： 如图所示，
（2）解： 如图所示；（3）根据坐标系可得：
故答案为： ，
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：
(1)将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到△ABC ，请画出△ABC ；
1 1 1 1
(2)平移△ABC，使得点B的对应点B 的坐标为(5，4)，请画出平移后对应的△ABC ；
2 2 2 2
(3)请判断△ABC 与△ABC 是否成中心对称图形？若是，请直接写出对称中心．
1 1 2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)△ABC 与△ABC 成中心对称图形；对称中心为(0，0)
1 1 2 2 2
【分析】（1）将AB、AC分别绕A点旋转180°，找到 点，连接 ，即可；
（2）根据点B的对应点B 的坐标为(5，4)，可知 相对于△ABC右平移了10个单位即可确定
2，则连接 、 、 即可；
（3）根据图形先确定 的坐标，再结合 和 利用中点坐标公式即可求出旋转中心的坐标．
【详解】（1）解：如图所示： 为所示；
（2）如图所示： 为所示；
（3）△ABC 与△ABC 成中心对称图形；
1 1 2 2 2
∵ ，
∴△ABC 与△ABC 的对称中心为(0，0)．
1 1 2 2 2
故答案为：(0，0) ．
【点睛】本题考查了图形的旋转、平移以及根据旋转对称求旋转中心的坐标等知识，掌握平移、旋转的性
质特点以及中点坐标公式是解答本题的关键．
21．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角
坐标系，回答下列问题：(1)将△ABC绕原点O旋转 得到 ，在表格中画出 ；
(2)直接写出 的坐标为___；
(3)若顶点为C的抛物线 经过点 ，求该抛物线的解析式．
【答案】(1)见解析
(2) （4，1）
(3)
【分析】（1）先分别画出A、B、C三点关于原点O的对称点A、B、C ，再将三点依次连接即可；
1 1 1
（2）由（1）中可知，点A 的坐标为（4，1）；
1
（3）根据抛物线顶点为C，可知其对称轴为y轴，所以b=0，得到 ，再将点C、点A 的
1
坐标代入解析式中求出a和c即可．
【详解】（1）点A的坐标为（-4，-1），则点A关于原点的对称点A 的坐标为（4，1），点B的坐标为
1
（-2，-4），则点B关于原点的对称点B 的坐标为（2，4），
1
点C的坐标为（0，-2），则点C关于原点的对称点C 的坐标为（0，2），连接A、B、C ，即得下图：
1 1 1 1（2）
由（1）中可知，点A 的坐标为（4，1）；
1
（3）
若顶点为C的抛物线 经过点 ，
则抛物线的对称轴为y轴，
∴ ，
∴b=0，
∴
将点C（0，-2）、点A（4，1）的坐标代入解析式得：
1
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．【点睛】本题考查了中心对称和二次函数，熟练掌握中心对称图形的画法和二次函数代定系数法求解析式
是解题的关键．
22．图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格， 的三个顶点都在格点上，请在该 的网
格中，分别按下列要求画一个与 有公共边的三角形：
（1）使得所画出的三角形和 组成一个轴对称图形．
（2）使得所画出的三角形和 组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均
只需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：（答案不唯一）；
（2）如图所示：（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案以及轴对称变换，正确掌握相关定义是解题关键．23．已知：正方形 中， ，将 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 、 （或
它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当 绕点A旋转到 时，有 ．当 绕点A旋转到
BM DN 时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理
由；
MAN BM,DN MN
（2）当 绕点A旋转到如图3的位置时，线段 和 之间有怎样的等量关系？请写出你的
猜想，并证明．
【答案】（1）成立，见解析；（2）DN MN BM ，见解析
【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN；
（2）DN= MN+ BM．在线段DN上截取DQ=BM，然后△ADQ≌△ABM得到∠DAQ=∠BAM，从而得到
∠QAN=∠MAN，再证△AMN≌△AQN得到=QN，由此即可求解．
【详解】（1）BM+DN=MN成立．
证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴∠D=∠ABE，AE=AN，∠AEN=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠ABE=90°，
∴∠ABE+∠ABC=180°
∴E、B、M三点共线．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，
AE＝AN
EAM＝NAM
AM＝AM
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；
（2）DN= MN+ BM．在线段DN上截取DQ=BM，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠ABM=∠BAD=90°
在△ADQ与△ABM中，
AD＝AB
ADQ＝ABM
∵ ，
DQ＝BM
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∵∠BAQ+∠DAQ=90°，
∴∠MAQ=∠BAM+∠BAQ=90°，
又∵∠MAN=45°
∴∠QAN=∠MAN=45°．
在△AMN和△AQN中，AQ＝AM
QAN＝MAN
AN＝AN
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．
【点睛】本题是一道综合考查正方形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定与性质的几何题，熟悉相关
图形的性质并作出如图所示的辅助线是正确解答本题的关键.
