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第十三章 轴对称
一、单选题：
1．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
2．如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°；
∴∠B＝180°−30°-60°＝90°.
故答案为：C.
【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答
案.3．如图，将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不交，则所得图形与原图形的
关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位
D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】将△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得
横坐标互为相反数，纵坐标相等，得
所得图形与原图形的关系是关于y轴对称，
故答案为：B.
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案.
4．已知点P(a， )与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．Q (a， ) B．Q ( ， )
C．Q (a， ) D．Q ( ， )
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(a， b-2 )与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标为 (a， -b+2 )，
故答案为：A．
【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
5．有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等；其中正确
的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，所以①错误；
②等腰三角形两腰上的高相等，所以②正确；
③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形，所以③正确；
④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等，所以④正确.
以上命题正确的是②，③，④.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质判断出①错误；根据等积法判断出②正确；根据等边三角形的判定方
法判断出③正确；根据等边三角形的性质判断出④正确.
6．如图，在 正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，
使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：分别在下图1，2，3处涂上阴影都可得到一个轴
对称图形，故不符合条件的选A.【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可.
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接
AF，则∠AFC的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=（180°-120°）÷2=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠AFC=∠BAF+∠B=60°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的两底角相等和三角形内角和等于180 可求得∠B的度数，根据线段的垂直平
分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得BF=AF，由等边对等角可得
∠BAF=∠B，最后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得∠AFC=∠BAF+∠B可求
解.
8．如图，△ABC中，AB =AC，过点A作DA⊥AC交BC于点 D ．若∠B=2∠BAD，则∠BAD的度数
为（ ）
A．18° B．20° C．30° D．36°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠BAD 的度数为x,∵DA⊥AC∴∠BAC=90°+x，
∵AB=AC，
∴∠B= =45°- x
∵∠B = 2∠BAD ，
∴45°- x=2x
解得x=18°，
故答案为：A.
【分析】设∠BAD的度数为x,根据题意和图形用含x的式子表示∠B的度数，再根据∠B=2∠BAD列
出方程即可求解.
9．如图，等边 的边长为 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是
边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，连接CF交AD于E，
∵BF=4，AB=8，∴F是AB的中点，
∴CF是AB上的中线，
又∵AD是BC边上的中线，
ABC是等边三角形，
△∴B、C关于AD对称，
∴BE=CE，
∴EF+CE取最小值时，
∵EF+CE=CF，
∴CE=2EF，
∴BE=2EF，
∴∠EBF=30°，
∴∠EBC=30°，
故答案为：C．
【分析】连接CF与AD交于点E，此时BE+EF最小，根据 求得 ，
再根据30 所对的直角边等于斜边的一半，可求得答案．
10．如图，在 中，AB=AC，AD是BC边的中线，以AC为边作等边△ACE，BE与AD相交于
点P，点F在BE上，且PF=PA，连接AF下列四个结论：①AD⊥BC；②∠ABE=∠AEB；
③∠APE=60°；④△AEF≌△ABP，其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB=AC，AD是BC边中线，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，故①正确，
∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE，∠CAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，故②正确，
∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，
∴∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即2(∠BAD+∠ABE)+60°=180°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故③正确，
∵AP=PF，∠APE=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴∠APF=∠AFP=60°，
∴∠APB=∠AFE=120°，
在△AEF和△ABP中， ，
∴△AEF≌△ABP，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，可对①进行判断；由
AB=AC，△ACE是等边三角形可得AB=AE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB，可对②进行
判断；由三角形内角和定理可得∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即可求出
∠BAD+∠ABE=60°，根据外角性质可得∠APE=∠BAD+∠ABE=60°，可对③进行判断；由AP=PF，
∠APE=60°可得△APF是等边三角形，可得∠APB=∠AFE=120°，利用AAS即可证明△AEF≌△ABP，
可对④进行判断；综上即可得答案.
二、填空题：
11．给出下列4种图形：①线段，②等腰三角形，③平行四边形，④圆.其中，不一定是轴对称图形的
是 （填写序号）.
【答案】③
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：①线段，②等腰三角形，③平行四边形，④圆.其中，不一定是轴对称图形的是
③.
故答案为：③.【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即
可.
12．一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌照号码为 .
【答案】FM5379
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：
F M 5 3 7 9
∴该汽车牌照号码为FM5379.
故答案是：FM5379.
【分析】根据题意可得汽车的拍照和水中的倒影关于水面对称，根据对称的性质作出相应的图形，即
可作答.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD ，AB=BD，则∠B的度数为 ．
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，
故答案为：36°．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝∠DAC，∠BDA＝∠BAD，根据三角形外角的性质可
得∠BDA＝∠BAD＝2∠C，在△ABD中，根据三角形的内角和定理可得5∠B＝180°，即可求得∠B的度数.
14．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=
【答案】0
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2=4，3=n+5，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m+n=0，
故答案为：0．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC
于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ．
【答案】9
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故答案为：9．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，
内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．16．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与
△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵ ABC的周长=AB+AC+BC， EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴ ABC的周长- EBC的周长=AB，
∴AB=40-24=16 cm.
故答案为：16.
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质. 首先根据DE是AB的垂直平分线，得出AE=BE；然后
观察 ABC的周长和 EBC的周长两者的表达式，可得 ABC的周长- EBC的周长=AB，进而求解即
可.
17．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AG于点
F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm.
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ABC= BC AD= ×4×AD=12，
△ ⋅
解之：AD=6
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+2=8，
故答案为：8
【分析】连接AD。利用等腰三角形的性质，利用△ABC的面积=12求出AD的长，再根据对称轴的应
用，距离最短，可知AD的长为BM+MD的最小值，然后就可求出△BDM的周长的最小值。
18．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相
交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt CDF和Rt BDE中，
△ △
，
∴Rt CDF≌Rt BDE（HL），
∴BE△=CF， △
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE= （11-5）=3．
故答案为：3．
【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根
据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得
Rt CDF≌Rt BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
三△、作图题：△
19．作图：已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点
的距离也相等。
【答案】解：如图所示，画法如下：①作∠AOB的角平线OC；
②连结MN，画线段MN的垂直平分线，与OC交于点P，则点P为符合题意的点.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意得出，点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点，进而得出即可.
四、解答题
20．已知点A（a－1，5）和点B（2，b－1）关于x轴对称，求 的值.
【答案】解：由点A(a−1,5)和点B(2,b−1)关于x轴对称，得
a−1=2，b−1=−5，
解得a=3，b=−4，
则
【知识点】代数式求值；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可求出a，b
的值，再将a，b的值代入代数式进行计算可求解。
21．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，①直接写出△ABC的各顶点坐标：
A（ ， ），B （ ， ） ，C （ ， ） ；
②画出△ABC关于y轴的对称图形△ABC；
1 1 1
③直接写出△ABC关于x轴对称的△ABC 的顶点A （ ， ） B （ ， ） (其
2 2 2 2 2
中A 与A对应，B 与B对应，不必画图．)
2 2
【答案】解：①△ABC的各顶点坐标：A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）；
故答案为：﹣3、2；﹣4、﹣3；﹣1、﹣1；
②如图，△ABC 即为所求，
1 1 1
③如图，△ABC 即为所求，A 坐标为（﹣3，﹣2）、B 坐标为（﹣4，3）．
2 2 2 2 2
故答案为：﹣3、﹣2；﹣4、3．
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】①根据三角形在坐标中的位置可得；②分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再
顺次连接可得；③分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接可得．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE AB，DF AC，垂足分别为E，F.求证：DE=DF
【答案】解：如图，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的
两边的距离相等证明即可．
23．如图，在 中， ， ，过B作 于D，求 的度
数．
【答案】解： ，
，
．，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据AB=AC得出这是等腰三角形，然后两个底角相等，计算底角度数，根据BD是
垂线可以计算角ABD的度数，然后用底角度数减去他就是要求的角的度数
24．如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段
的中点，过点 作 ，过点 作 ,且 、 相交于点 .
（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）证明： ∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝
90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BA
（2）证明： ∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B=∠FAE在△ABC和△EAF中
∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝E
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，易证AD⊥BC，再利用同角的余角相等可证得结论。
（2）利用平行线的性质，可知∠FAE＝∠AEB，再利用等腰三角形的性质，可证得∠B＝∠AEB，就可推出∠B=∠FAE，然后利用ASA证明△ABC≌△EAF，利用全等三角形的性质，可证得结论。
25．如图
（1）如图①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，DE⊥AB，垂足为
E，求证：AB＝4AE．
（2）如图②所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE交于点
P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的长．
【答案】（1）证明：如图①中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
而∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，AB＝2AD，
∴AB＝4AE
（2）解：∵AB＝AC，AE＝CD，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°．
在Rt BPQ中，∵∠BPQ＝60°，
∴∠P△BQ＝30°，
∵PB＝2，
∴PQ＝ PB＝1
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。分析得∠B=∠C=30°。根据互余
两角的性质得 ∠ADE＝30° 。分析即可证明 AB＝4AE 。
（2）根据已知条件判定 △ABE≌△CAD（SAS） ，对应角相等。又三角形外角和性质特点，得
∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC 。在直角三角形BPQ中，根据已知条件，分析求得
PQ。
26．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝ AB，如果点P在线
段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一
点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全
等，请说明理由．
（2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点
A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数．
（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？
【答案】（1）解： ．
证明：点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，经过1s后，∴ ，
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
∴ ，
∵AB＝BC＝AC＝12cm，BD＝ AB，
∴ 是等边三角形， ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （SAS）．
（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
∴ ，
∵AB＝BC＝AC，
∴ 是等边三角形， ，
∵在 和 中，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （对顶角相等）．
（3）解：设点Q运动时间是x秒，若 ，可列方程：
，
解得： ．
∵在 中， ， ，
∴当 秒时， 是等边三角形（任意角是 的等腰三角形是等边三角形）．
∴当点Q运动 秒后，可得到等边 ．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据“SAS”证明 即可；
（2）根据“SAS”证明 ，得到 ，再利用三角形的外角求解即可；
（3）根据等边三角形的性质可得CP=CQ，列方程求解即可。
