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人教版八年级数学上学期期中常考精选 30 题
考试范围：第十一章-第十三章的内容，共30小题.
一、选择题（共8小题）
1．（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期中）下列各线段能构成三角形的是（ ）
A．7cm、5cm、12cm B．6cm、7cm、14cm
C．9cm、5cm、11cm D．4cm、10cm、6cm
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可
【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意；
B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意；
C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意；
D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意
故选：C
【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时
要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角
形．
2．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，
可以看作“沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图
形，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝
10，S ABD＝15，则CD的长为（ ）
△A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用
△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S ABD＝ AB•DE＝ ×10•DE＝15，
△
解得：DE＝3，
∴CD＝3.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此
题的关键．
4．（2022·江苏扬州·七年级期末）在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据高的定义对各个图形观察后判断即可．
【详解】解：根据三角形高线的定义可知，AC边上的高是过点B向AC作垂线段，
纵观各图形，A、B、D选项都不符合高线的定义，C选项符合高线的定义．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．
5．（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校七年级期中）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶
点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝80°，那么∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【详解】解：如图，
∵AB CD，
∴∠2＝∠3＝80°，
∵∠3＝∠1+30°，
∴∠1＝∠3－30°＝80°－30°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，关键是根据两直线平行，得出与∠2相等的角．
6．（2022·黑龙江双鸭山·七年级阶段练习）小刚想做一个等腰三角形的相框，他已经找到两根长分别是
10cm和5cm的细木条，他找的第三根木条长应是（ ）
A．15cm B．7cm C．10cm D．5cm
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的定义以及构成三角形三边的关系逐项判断即可．
【详解】A项，以10cm、5cm、15cm为三边无法构成等腰三角形，故A项不符合题意；
B项，以10cm、5cm、7cm为三边无法构成等腰三角形，故B项不符合题意；
C项，以10cm、5cm、10cm为三边可以构成等腰三角形，故C项符合题意；
D项，以10cm、5cm、5cm为三边，即有5+5=10即此时无法构成三角形，故D项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及构成三角形三边的关系的知识，掌握等腰三角形的定义以及构
成三角形三边的关系是解答本题的关键．有两条边相等的三角形被称作等腰三角形．
7．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图， ABC的面积为16，AD为BC边上的中线，E为AD
上任意一点，连接BE、CE，图中阴影部分的面积为（ ）
△A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】由D是BC的中点可得出 ABD的面积等于 ACD的面积等于8，再得出 BDE的面积等于 CDE
的面积，即可得出阴影部分的面积．
△ △ △ △
【详解】解：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质，关键是要牢记三角形的中线平分三角形的面积．
8．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）如图，在 ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE
AC交AB于点E，若AB=8，则DE的长度是（ ）
△
A．6 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分别延长AC、BD交于点F，根据角平分线的性质得到∠BAD=∠FAD，证明 BAD≌△FAD，根据
全等三角形的性质得到BD=DF，根据平行线的性质得到BE=ED，EA=ED，进一步计算即可求解．
△
【详解】解：分别延长AC、BD交于点F，∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠FAD，∠ADB=∠ADF=90°，
在 BAD和 FAD中， ，
△ △
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴∠ABD=∠F，
∵DE AC，
∴∠EDB=∠F，∠EDA=∠FAD，
∴∠ABD=∠EDB，∠EDA=∠EAD，
∴BE=ED，EA=ED，
∴BE=EA=ED，
∴DE= AB= ×8=4，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的
关键．
二、填空题（共8小题）
9．（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期中）如果一个多边形的每个内角为160°，那么它的边数
为_______．
【答案】
【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以外角即可得到边数
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于160°
∴ 多边形的每一个外角都等于180°-160°=20°
∴ 边数n=360°÷20°=18
故答案为：18
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角关系，求出每一个外角的度数是解题关键．
10．（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校七年级期中）如图所示的是自行车的三角形支架，这是利用三角形具有 ________________．
【答案】稳定性
【分析】根据三角形的特性即可解答．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴自行车三角形支架是利用了三角形稳定性的特性．
故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的特性，解决本题的关键是掌握三角形的特性．
11．（2020·北京·垂杨柳中学八年级期中）已知点A（m+1，2）和点B（﹣2，n+1）关于y轴对称，则m＝
___，n＝___．
【答案】 1 1
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得m+1＝2，n+1＝2，再解方
程即可．
【详解】∵点A（m+1，2）和点B（﹣2，n+1）关于y轴对称，
∴m+1＝2，n+1＝2，
解得m＝1，n＝1，
故答案为：1；1．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使
△ACB≌△DBC，你补充的条件是______（填出一个即可）．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】本题要判定△ACB≌△DBC，已知∠A＝∠D， ，则可以添加 从而利用AAS
判定其全等．
【详解】解：添加 ，
∵ ，∠A＝∠D，
∴△ACB≌△DBC．（AAS）
故答案是： (答案不唯一)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）琪琪画了一个等腰三角形，量得两条边长分别为12cm和5cm，那么
它的周长为______．
【答案】29cm##29厘米
【分析】因为三角形为等腰三角形，应分两种情况：①12cm是底边时；②5cm是底边时分别求解．
【详解】解：应分两种情况：
当12cm是底边，5cm是腰时，
此时等腰三角形的三边长分别为：12cm，5cm，5cm，
∵ ，
∴此时不能构成三角形；
当5cm是底边，12cm是腰时，
等腰三角形的三边长分别为：12cm，12cm，5cm，
此时 ，满足三角形的任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
∴三角形的周长为：12cm＋12cm＋5cm＝29cm，
综上可得三角形的周长为29cm．
故答案为：29cm．
【点睛】本题考查了三角形的三边之间的关系，等腰三角形的定义及分类讨论的思想，熟记三角形任意两
边之和大于第三边是解题的关键．
14．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C
作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．
【答案】2
【分析】先根据平行线的性质可得 ，再根据 定理证出 ，然后根
据全等三角形的性质可得 ，最后根据线段和差即可得．
【详解】解： ，
，
在 和 中， ，
，
，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．
15．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， ，E为CD的中点，连接AE并延
长交BC的延长线于点F．若 ， ，当 ______时，点B在线段AF的垂直平分线上．
【答案】4
【分析】通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF因为
AB=8，CF=AD=2，所以BC=BF-CF=6-2=4时有AB=BF．
【详解】解：∵AD BC，
∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≅△FCE(AAS)，
∴CF=AD；
连接BE，
∵BE垂直平分AF，
∴AB=BF，
∵AD=CF，
∵AD=2，AB=6，
∴BC=BF-CF，
=AB-AD，
=6-2，
=4，
∴当BC为4时，点B在线段AF的垂直平分线上．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是线段垂直平分
线上的点到线段两个端点的距离相等．
16．（2022·河南·漯河市第三中学九年级期末）如图，已知等边△ABC的边长为4，过AB边上一点P作
PN⊥AC于点N，Q为BC延长线上一点，取CQ=PA，连接PQ交AC于M，则MN的长为______．
【答案】2
【分析】过P作PF BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出
NF=AN，证 PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出MN= AC即可．
【详解】解：△过P作PF BC交AC于F，如图所示：
∵PF BC， ABC是等边三角形，
∴∠PFM=∠Q
△
CM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PN⊥AC，
∴AN=NF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在 PFM和 QCM中，
△ △
，
∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM=CM，
∵AN=NF，
∴NF+FM=AN+CM，
∴AN+CM=MN= AC，
∵AC=4，
∴MN=2，
故答案为：2．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行
线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
三、解答题（共14小题）
17．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，在△ABC中， ，BE平分∠ABC，交AC于
点E，过点E作ED⊥AB于点 ．
(1)求证：△BCE≌△BDE；
(2)若 ，CE=1，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）先根据角平分线的性质可得 ，再根据 定理即可得证；
（2）先根据直角三角形的性质、角平分线的定义可得 ，则 ，再根据
等腰三角形的判定可得 ，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得 ，由此即可得．
（1）
证明： 平分 ， ， ，
，
在 和 中， ，
．
（2）
解： ，
，
平分 ，
，
，，
又 在 中， ，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定、角平分线的性质、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角
形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定是解题关键．
18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上．
(1)若∠BED＝130°，∠D＝70°，求∠ACB的度数；
(2)若2BE＝EC，EC＝6，求BF的长．
【答案】(1)60°
(2)12
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠F，再根据全等三角形的对应角相等解答；
（2）根据题意求出BE、BC，再根据全等三角形的性质解答．
（1）
解：∵∠BED＝130°，∠D＝70°，
∴∠F＝∠BED－∠D＝60°，
∵ ABC≌ DEF，
∴∠ACB＝∠F＝60°；
（2）
∵2BE＝EC，EC＝6，
∴BE＝3，
∴BC＝BE＋EC＝9，
∵ ABC≌ DEF，
∴EF＝BC＝9，
∴BF＝EF＋BE＝12．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
19．（2022·新疆乌鲁木齐·八年级阶段练习）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一
条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
(1)请用含x的式子表示第三条边的长度．
(2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
【答案】(1) cm(2)7cm，17cm，17cm
【分析】（1）依据三角形的第一条边为 ，第二条边是第一条边的3倍少 ，即可用含 的式子表示
第三条边的长度．
（2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，即可得到这个等腰三角形的三边长．
（1）
解：∵三角形的第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少4cm，
∴第二条边长为 cm．
∴第三条边长为 cm．
（2）
解：若x＝3x-4，则x＝2，此时三边长分别为2cm，2cm和37cm，
根据三角形三边关系可知，2，2，37不能组成三角形；
若x＝45-4x，则x＝9，此时三边长分别为9cm，9cm和23cm，
根据三角形三边关系可知，9，9，23不能组成三角形；
若3x-4＝45-4x，则x＝7，此时三边长分别为7cm，17cm，17cm，
根据三角形三边关系可知，7，17，17可以组成三角形．
∴这个等腰三角形的三边长分别为7cm，17cm，17cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系
进行判断．
20．（2022·重庆市巴渝学校八年级期中）如图，在 中， ， 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若点 在边 上， 交 的延长线于点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠C＝36°，进而利用直角三角形的内角和解答即可；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质判定解答．
（1）
解：∵BA＝BC，
∴∠C＝∠A＝36°，∵BF⊥AC于点F，
∴∠BFC＝90°，
∴∠FBC＝90°−36°＝54°；
（2）
∵BA＝BC，BF⊥AC于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵DE BC，
∴∠E＝∠FBC，
∴∠E＝∠ABF，
∴DB＝DE．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是根据等腰三角形的性质得出
∠C＝36°解答．
21．（2022·河南·金明中小学九年级阶段练习）如图，已知△ABC的顶点都在图中方格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并直接写出A′、B′、C′三点的坐标．
(2)△A′B′C′的面积是 ；
(3)在y轴上找一点P使得PA+PB最小，画出点P所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）
【答案】(1) ， ， ，图见解析
(2)10.5
(3)见解析
【分析】（1）确定点A，B，C关于x轴的对称点 ， ， ，再连接即可得出对称图形，然后确定点的
坐标即可；
（2）根据三角形的面积=矩形的面积-3个直角三角形的面积计算即可；
（3）点A关于y轴的对称点为 ，可知 ，要求 最小，即求 最小，根据两点之
间线段最短可知连接 与y轴的交点符合题意．（1）
如图所示， 即为所求． ， ， ．
（2）
．
故答案为：10.5；
（3）
如图，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，求三角形的面积，根据两点之间线段最短求线段和最小等，准确
的画出图形是解题的关键．
22．（2021·福建·莆田第七中学八年级期中）（1）〖问题背景〗如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝
∠B＝∠M，DE＝EF，求证： DBE≌△EMF；
（2）〖变式运用〗如图2，B、E、C三点共线， DEF为等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求证：EC
△
＝BD＋BE.
△【答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】（1）根据∠DEM=∠B+∠BDE，∠B=∠DEF，可得∠BDE=∠MEF，利用AAS即可证明
；
（2）延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，根据BE=BN，可得∠BNE=∠BEN，即有
∠BNE=∠BEN=30°，进而得∠C=∠BNE，根据∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE；根据△DEF是等边三角形，可
得DE=EF，∠DEF=60°，即有∠CEF=∠BDE，利用AAS即可证明 ，则有EC=DN，即可得
EC=BD+BE．
【详解】（1）证明：∵B、E、M三点共线，
∴∠DEM=∠B+∠BDE，
∴∠DEF+∠MEF=∠B+∠BDE，
∵∠B=∠DEF=∠M，
∴∠BDE=∠MEF，
∵DE=EF，∠B=∠M，
∴ ；
（2）证明：延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，如图，
∵BE=BN，∴∠BNE=∠BEN，
∵∠BNE+∠BEN=∠DBE=60°，∴∠BNE=∠BEN=30°，
∵∠C=30°，∴∠C=∠BNE，
∵B、E、C三点共线，
∴∠DEC=∠DBE+∠BDE，
∴∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF，∠DEF=60°，
∵∠DBE=60°，
∴∠DBE=60°=∠DEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∵∠C=∠BNE，DE=EF，
∴ ，∴EC=DN，
∵BE=BN，DN=BN+BD，
∴EC=BD+BE．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及其性质，构造辅助线BN是解答本题的
关键．
23．（2022·上海·八年级开学考试）（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作
EF BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF BC交AB于
E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与
BE、CF之间类似的数量关系？
【答案】（1）见解析；（2）不成立,EF＝BE﹣CF．
【分析】（1）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝ED，CF＝FD即
可；
（2）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝DE，DF＝CF即可．
【详解】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．
又∵EF BC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF．
即：EF＝BE+CF．
（2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵EF BC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形判定与性质等问题，解题的关键是上述
知识点的综合应用．
24．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）如图，在 中， ， ， ，若动点P
从点A出发，沿着三角形的三边，先运动到点C，再运动到点B，最后运动回到点A， ，设点P
的运动时间为ts．
(1)当t为何值时，点P恰好在AB的垂直平分线上？
(2)当t为何值时，点P在BC上，且恰好在 的角平分线上？
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）点P恰好在AB垂直平分线上，利用垂直平分线的性质分类讨论，当点 在 上或点 在
上，画出图像，将线段用含t的代数式表示出来，运用勾股定理或者线段的和差建立方程，求出t的值；
（2）点P在BC上，且恰好在 的角平分线上，利用角平分线的性质画出图象，将线段用含t的代数
式表示出来，运用勾股定理建立方程，求出t的值即可．
（1）∵点P恰好在AB的垂直平分线上，点 在 上或点 在 上，当点 在 上，连接 ，
∵ ， ， ∴ ∵
∴ ∴ , ∴ ∴ ；当点 在 上，∴ ，∵ ,∴ ；综上
所述： 或 ．
（2）若点 在 上，且恰好在 的角平分线上， 过点 作
于点 ，∵AB平分 ，∴ ∴△ACP≌△AFP∴AF=AC=8∴ ， 在
Rt△BFP中， ∴ ∴ ∴当 时，点 在 上，且恰好在
的角平分线上．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，还考查了垂直平分线和角平分线的性质，在动点问题中用代数式
表示线段并列出方程是本题的关键．
25．（2022·四川·富顺第二中学校八年级阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直
线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明
理由．
【答案】(1)DE＝BD+CE．
(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析
【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA
＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证 DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝
△
α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证 DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．
（1）
△
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练
掌握全等三角形的判定与性质．
26．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图（1），AB＝8 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝
BD＝6 cm．点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D
运动．它们运动的时间为t（s）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时， ACP与 BPQ是否全等，请说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠
△
CAB＝∠
△
DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q
的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得 ACP与 BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不
存在，请说明理由．
△ △【答案】(1)当t=1时， ACP与 BPQ是全等，理由见解析
(2)存在当x=2，t=1或x=3，t=2时， ACP与 BPQ全等．
△ △
【分析】（1）利用SAS证得 ACP≌
△
△BPQ，
△
得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出
∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
△
（2）由 ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
（1）
△
解： ACP≌△BPQ，
证明
△
：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵t=1，
∴AP=BQ=2，
∴BP=6，
∴BP=AC，
在 ACP和 BPQ中，
△ △
，
∴△ACP≌△BPQ；
（2）
解：存在x的值，使得 ACP与 BPQ全等，
①若 ACP≌△BPQ，
△ △
则AC=BP，AP=BQ，可得：6=8-2t，2t=xt，
△
解得：x=2，t=1；
②若 ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，可得：6=xt，2t=8-2t，
△
解得：x=3，t=2；
综上，存在当x=2，t=1或x=3，t=2时， ACP与 BPQ全等．
【点睛】本题是三角形综合题，考查的是三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判
△ △
定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
27．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）已知 ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，
D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
△(1)如图，连接CE．
①若CE AB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
(2)若直线CE垂直于 ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
【答案】(1)① 42°；② 30°；
△
(2)∠BEC的度数为48°或132°或12°．
【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC=84°，由角平分线的定义得到∠ABE= ∠ABC=42°，根据
平行线的性质即可得到结论；
②根据邻补角的定义得到∠ACD=180°-∠ACB=144°，根据角平分线的定义得到∠CBE= ∠ABC=42°，
∠ECD= ∠ACD=72°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）①如图1，当CE⊥BC时，②如图2，当CE⊥AB于F时，③如图3，当CE⊥AC时，根据垂直的定义
和三角形的内角和即可得到结论．
（1）
）①∵∠A=60°，∠ACB=36°，
∴∠ABC=84°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC=42°，
∵CE AB，
∴∠BEC=∠ABE=42°；
②∵∠A=60°，∠ACB=36°，
∴∠ABC=84°，∠ACD=180°-∠ACB=144°，
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE= ∠ABC=42°，∠ECD= ∠ACD=72°，
∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°；
（2）
①如图1，当CE⊥BC时，∵∠CBE=42°，
∴∠BEC=48°；
②如图2，当CE⊥AB于F时，
∵∠ABE=42°，
∴∠BEC=90°+42°=132°，
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=42°，∠ACB=36°，
∴∠BEC=180°-42°-36°-90°=12°．
综上可得：∠BEC的度数为48°或132°或12°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性
质，正确的画出图形辅助解决问题是解题的关键．
28．（2021·重庆市渝北区实验中学校八年级期中）在 中， 是 中点， 分别为射线
上一点，且满足
(1)如图1，若 ，且 分别在线段 上， ，求线段 的长度；
(2)如图2，连接 并延长至点 ，使 ，过点 作 于点 ，当点 在线段 的延长线
上，点 在 延长线上时，求证：
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE=CE，∠C=∠EAG=45°，根据已知
条件，可得∠CEH=∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG；
（2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH=GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），
可得BF=BI，即可得证．
（1）
解：连接AE，如图所示：
∵∠B=45°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴AE=CE，AE⊥BC，∠CAE=∠BAE=45°，
∴∠C=∠BAE，
∵∠CAB+∠GEH=180°，
∴∠GEH=∠AEC=90°，
∴∠CEH=∠AEG，
在△CEH和△AEG中，
∴△CEH≌△AEG（ASA），
∴AG=CH=2；
（2）
证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，如图所示：
则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴EJ=BE，∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴EJ=EC，
∵∠GEH+∠BAC=180°，∠GAH+∠BAC=180°，
∴∠GEH=∠GAH，
∴∠JGE=∠CHE，
∵EJ=EB，AB=AC，
∴∠EJB=∠ABC=∠ACB，
∴∠EJG=∠ECH，
∴△ECH≌△EJG（AAS），
∴CH=JG，
∵AC=AB，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又DE=AE，
∴BD=AB，
∴∠ABE=∠DBE，
∵EF⊥BD，EI⊥AB，
∴∠BIE=∠BFE=90°，
∵BE=BE，
∴△BFE≌△BIE（AAS），
∴BF=BI，
∴2BF+CH=BG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三
角形是解题的关键．
29．（2022·广东·深圳市龙岗区平湖外国语学校八年级期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条对角线；经过C点可以做1条对角线；
经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．【答案】（1）2；（2）5、9；（3） ；（4）35
【分析】（1）通过实际操作可得答案；
（2）通过实际操作可得答案；
（3）由图1，图2，图3的探究，再归纳总结可得答案；
（4）把 代入总结出的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经
过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
图1有2条对角线，而
图2共有 5条对角线；而
图3共有 9条对角线；而
归纳可得：
对于 边形（n＞3），共有 条对角线．
（4）特例验证：
当 时，
十边形有 对角线．
故答案为：（1）2；（2）5、9；（3） ；（4）35．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结并运用规律解决问题”是解本题的关键．
30．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）如图 ABC为等边三角形，直线a AB，D为直线BC上任一动点，
将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
△
(1)若D恰好在BC的中点上(如图1)
①求证CD=CE；
②求证： ADE是等边三角形；
(2)若D为直线BC上任一点(如图2）其他条件不变，“ ADE是等边三角形”的结论是否仍然成立？若成
△
立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
△
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到BD=CD， AD⊥BC，进一步求出∠EDC=30°，然后根据三角
形内角和定理推出∠DOC=90°，再根据三角形的外角性质可求出∠DEC=30°，从而得出∠EDC=∠DEC，再
根据“等角对等边”即可证明结论；
②由SAS证明 ABD≌ ACE得出AD=AE，然后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断
出 ADE是等边三角形的结论；
△ △
（1）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，先证得 ADF≌ EDC得出AD=ED，再运用已证的结论
△
“∠ADE=60°”和根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可证明出 ADE是等边三角形的结论．
△ △
（1）
△
①证明：∵a AB，且 ABC为等边三角形，
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=△ 60°，AB=AC，
∵D是BC中点，即BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=90°-60°=30°，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE；
②∵BD=CD，CD=CE，∴BD=CE，
在 ABD和 ACE中，
△ △
∵ ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）
解：“ ADE是等边三角形”的结论仍然成立．证明如下：
在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，如图2所示：
△
，
∵∠ACB=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF=CD，
∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°，
∴∠ADF=∠EDC，
∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE，∠ACE=∠ADE=60°，
∴∠DAF=∠DEC，
∴△ADF≌△EDC（AAS），
∴AD=ED，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、
三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质．解题关键是注意熟练掌握及熟练等边三角形的判
定定理与性质定理、全等三角形的判定与性质．
