第十三章轴对称（单元重点综合测试）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十三章 轴对称（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点 关于 轴对称的点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 关于 轴对称点坐标为 ，据此判断即可求解． 【详解】解：由题意得 关于 轴的对称点坐标为 ， 关于 轴的对称点坐标为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标关于 轴对称规律，掌握坐标对称规律是解题的关键． 2．下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系及等腰三角形的判定定理解答即可． 【详解】解： 、 ， 不能组成三角形，不符合题意； B、 ， 不能组成三角形，不符合题意； C、 ， 能组成三角形，符合题意； D、 ， 不能构成等腰三角形，不符合题意． 故选： ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键． 3． 年全国民航工作会议介绍了 年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先 行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． 春秋航空 B． 东方航空 C． 厦门航空 D． 海南航空 【答案】D 【分析】根据轴对称的定义，进行判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； D、是轴对称图形，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点晴】本题考查了轴对称的图形，解题的关键是掌握轴对称的定义：图形沿着某一直线折叠能够完全重 合的图形是轴对称图形． 4．如图， 中边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ， 的周长为 ， 则 的周长是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ， ，根据线段垂直平分线 的性质，即可求得 ， ，又由 的周长为 ，即可求得 的值，继而求得 的周长． 【详解】解： 中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ， ， ， ， 的周长为 ， ，的周长为： ． 故选：C． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决 问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．如图，在 中， ， ，点 在 上， ， 则 等于（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出 和 度数，利用直角三角形中含 所对应的边是斜边的一 半求出 的长度，根据角度相等求出 以及对应长度，从而求出 长度． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ∵AB⊥AD， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 6．如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小 区的距离相等，则超市应建在（ ）A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质选择即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的实际应用．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解 题关键． 7．如图，在 中， ， ，点P从点B出发以每秒 的速度向点A运动，同时点 Q从点A出发以每秒 的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当 是以 为底的等腰三角形时， 的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设运动时间为x秒时， ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于x的一元一次方 程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 在 中， ， ， ∵点P从点B出发以每秒 的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒 的速度向点C运动， ∴当 是以 为底的等腰三角形时， ， ， ， 即 ， 解得 ， ∴ ，故选：C． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，一元一次方程的应 用，关键是根据题意列出方程． 8．如图，等腰 的底边 ，面积为 ，腰 的垂直平分线 分别交 于点E、 F，若D为边 的中点，M为线段 上一动点，则 周长的最小值为多少？（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接 ， ，由于 是等腰三角形，点 是 边的中点，故 ，再根据三角形 的面积公式求出 的长，再根据 是线段 的垂直平分线可知，点A关于直线 的对称点为点B， ，推出 ，故 的长为 的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接 ， ． 是等腰三角形，点 是 边的中点， ， ，解得 ， 是线段 的垂直平分线， 点A关于直线 的对称点为点B， ， ， 的长为 的最小值， 的周长最短 ．故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复地轴对称变换，若原来点 的坐标是 ，则经 过第2023次变换后点 的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出前几次变化的坐标，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：经过第1次变换后点A的对应点的坐标为 ， 经过第2次变换后点A的对应点的坐标为 ， 经过第3次变换后点A的对应点的坐标为 ， 经过第4次变换后点A的对应点的坐标为 ， 经过第5次变换后点A的对应点的坐标为 ， …… ∴该变化每4个一循环， ∵ ， ∴经过第2023次变换后点为第 组的第三个坐标，即 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数， 纵坐标相同；关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 10．如图，C是线段 的中点， 与 都是等边三角形，连接 和 交于点O，与 交于点F， 和 交于点G，则下列结论中正确的有（ ） ① ；② ；③ 是等腰三角形；④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 由 即可判断；②由等边三角形及等腰三角形的性质即可判断；③由“等角对对边” 即可判断；④由三角形的外角定理即可判断． 【详解】解：①∵C是线段 的中点 ∴ 又∵ 与 都是等边三角形， ∴ ， ∴ ，①正确； ②∵ 都是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，②正确； ③同理可得： ， ∴ 即 ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形，③正确； ④∵ ， ∴ ，④错误；故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、三角形的外角等知识点．熟记相关结论是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是 ． 【答案】幸 【分析】根据轴对称图形的定义，可直接求得答案． 【详解】解： 根据轴对称图形的定义，“幸”存在一条竖直的对称轴，为轴对称图形，“福”“开” “阳”没有对称轴，不是轴对称图形． 故答案为：幸． 【点评】本题主要考查轴对称图形的定义，即如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形．牢记轴对称图形的定义是解题的关键． 12．在平面直角坐标系 中，点 关于 轴对称的点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据 轴对称的点的坐标特征，可知横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解． 【详解】解：点 关于 轴对称的点 的坐标是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了关于 轴对称的点的坐标，熟练掌握关于 轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 13．如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点N，交 的延长线于点M，若 ． 则NMB的度数为 ．（用含a的式子表示） 1  【答案】 a/ 2 2 1 1 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B ∠ACB  180a90 a，根据 ，求出 2 2 BNM 90 1 1 NMB90∠B9090 a a即可． 2 2【详解】解：∵AB AC，Aa， 1 1 ∴∠B ∠ACB  180a90 a， 2 2 ∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M， ∴BNM 90， 1 1 ∴NMB90∠B9090 a a． 2 2 1 故答案为： a． 2 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结 合思想的应用． AD∥BC,DEF 17 14．如图 a ，四边形 ABCD 是长方形纸条 ，将纸条沿EF折叠成图 b ，再沿BF折 叠成图c，图c中的CFE的度数是________． 【答案】129/129度 【分析】由平行线的性质知DEF EFB17，进而得到图b中GFC 146，依据图c中的 CFEGFCEFG进行计算． 【详解】解：∵ AD∥BC， DEF EFB17， 在图b中GFC1802EFG146， 在图c中CFE GFCEFG129． 故答案为：129． 【点睛】此题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对 称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 15．如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM 与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线 分别交BC于点D、E．已知VADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm， 则OA的长为 ．【答案】6cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DADB，EAEC，OAOBOC，从而可求出BC 11cm， 然后根据△OBC的周长为23cm，即可求出OB的长，即可解答． 【详解】解：QOM 是AB的垂直平分线， DADB，OAOB， ∵ON是AC的垂直平分线， EAEC，OAOC， OBOC， ∵ADE的周长为11cm， ADDEAE11cm， BDDECE11cm， BC 11cm， ∵OBC的周长为23cm， OBOC 231112cm， OBOC 6cm， OAOC 6cm， 故答案为：6cm． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相 等是解题的关键． 1 16．等腰 中， ，垂足为点 ，且BD AC，则等腰 底角的度数为 ． ABC BD AC D 2 ABC 【答案】15或45或75 【分析】分点B是顶角顶点、点B是底角顶点、BD在ABC外部和BD在ABC内部三种情况，根据等腰 三角形的性质、直角三角形的性质计算． 【详解】解：①如图1，当点B是顶角顶点时，∵ ABBC，BD AC， ADCD， 1 ∵ BD AC， 2 BD ADCD， 1 AABD (18090)45 在Rt△ABD中， 2 ； ②如图2，当点B是底角顶点，且BD在ABC外部时， 1 ∵ BD AC， ， 2 AC BC 1 BD BC， 2 BCD30， 1 ABCBAC 3015 ； 2 ③如图3，当点B是底角顶点，且BD在ABC内部时， 1 ∵ BD AC， ， 2 AC BC 1 BD BC， 2 C30，1 ABCBAC (18030)75 ； 2 故答案为：15或45或75． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30角所对的直角 边等于斜边的一半是解题的关键． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在ABC中，∠B32，BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求C的度 数． 【答案】C 84 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DADB，DABB32，再根据角平分线的定义、三角 形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴DADB， ∴DABB32， ∵AD是BAC的平分线， ∴CAB2DAB64， ∴C 180CABB180643284， ∴C 84． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义．掌握线段的垂直平 分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 18．如图，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，AE是BAC的角平分线，AE与CD交于点 F ，求证：△CEF 是等腰三角形． 【答案】见解析【分析】根据直角三角形两锐角互余求得BACD，然后根据三角形外角的性质求得CEF CFE， 根据等角对等边求得CECF，从而求得△CEF 是等腰三角形． 【详解】证明：∵在ABC中，ACB90， ∴BBAC 90， ∵CD是AB边上的高， ∴ACDBAC90， ∴BACD， ∵AE是BAC的角平分线， ∴BAE EAC， ∴BBAE ACDEAC，即CEF CFE， ∴CECF， ∴△CEF 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、三角形外角的定 义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 19．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹. (1)如图①，四边形ABCD中，AB AD，BD，BCCD，画出四边形ABCD的对称轴m； (2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，AD，画出BC边的垂直平分线n. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合AB AD，BD，BCCD，找到 交点即可得到答案； （2）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合AB AD，BD，BCCD，找到交点即可 得到答案； 【详解】（1）解：由轴对称的性质可得，∵AB AD，BD，BCCD， ∴AB与AD，CB与CD，关于对称轴对称， 连接A、C即可得到对称轴，如图所示， （2）解：由轴对称的性质可得， ∵AD∥BC，AD， ∴AB与CD关于对称轴对称， 连接AC、BD交于一点，BA、CD相交于一点，连接两点得到直线即为对称轴，如图所示； 【点睛】本题考查作对称轴及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握：对称线交点在对称轴上． 20．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B (1)在图中画出 ABC 关于直线l成轴对称的 △A 1 B 1 C 1； (2)求ABC的面积； (3)在直线l上找一点P，使PBPC的长最短，标出点P． 【答案】(1)见解析 7 (2) 的面积为 ABC 2 (3)见解析 【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用割补法即可得出答案；（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． △ABC 【详解】（1）解：如图所示， 1 1 1即为所求． 1 1 1 7 24 14 12 13 （2）解： ABC的面积为 2 2 2 2 ； BC （3）解：如图，连接 1 交直线l于点P，连接 BP ， B ∵点B和点 1关于直线l对称， BB ∴直线l垂直平分 1， BPBP ∴ 1 ， PBPCPB PCBC 1 1 ∴ ， 这时PBPC的长最短， ∴点P即为所作． 【点睛】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线．解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的 对应点及割补法求三角形的面积．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在 中， 为 的平分线， 于点E， 于点F． (1)求证： 是 的垂直平分线； (2)若 的面积是 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得出 ，说明点D在 的垂直平分线上，证明 ，得出 ，说明点A在 的垂直平分线上，即可证明结论； （2）根据 ， ，得出 求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵ 为 的平分线， ， ， ∴ ， ∴点D在 的垂直平分线上， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点A在 的垂直平分线上， ∴ 是 的垂直平分线； （2）解：∵ ， ∴， 即 ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，三角形面积的 计算，解题的关键是熟练掌握垂线平分线的判定和角平分线上的点到角的两边距离相等． 22． 在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出 关于 轴对称的 ，并写出 各顶点的坐标； (2)将 向右平移6个单位长度，作出平移后的 ，并写出 各顶点的坐标； (3)观察 和 ，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图中画出这条直线； (4)求 的面积． 【答案】(1)见解析， ， ； (2)见解析， ， ， ； (3)是，见解析 (4)2 【分析】（1）根据轴对称的图形作法，先找到对称点，然后依次连接，对称点坐标根据轴对称的性质求 出即可； （2）根据平移图形的作法：先找出平移后的点，然后依次连接作图即可； （3）连接对应点，然后找出其中点，连线即为对称轴；（4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 关于y轴对称的图形为 ， 根据点在坐标系中的位置可得： ， ； （2）解：如图所示， 为平移后的图形， ， ， ； （3）解：是，如图所示，连接 ， ，找到中点D、E，连接可得对称轴为直线 ； （4）解： 的面积 ． 【点睛】题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律， 如何根据点的位置确定对称轴． 23．如图，在 中， ， ，点D在线段 上运动（点D不与点B、C重合），连 接 ，作 ， 交线段 于点E． (1)当 时， ______°， ______°； (2)若 ，试说明 ； (3)在点D的运动过程中， 的形状可以是以 为腰的等腰三角形吗？若可以，求 的度数；若 不可以，请说明理由． 【答案】(1) ， (2)见解析 (3)可以，【分析】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求 ， 的度数即可； （2）由“ ”证 即可； （3）分 ， 两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可求 的度数． 【详解】（1）解： ，且 ， ， ， ∵ ， ， ， ， 故答案为： ， ； （2） ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ( )； （3）①若 时， ， ， ， ， ②当 时， ， ∴ 此时不符合题意，舍去． 综上所述： 的形状可以是以 为腰的等腰三角形，此时 ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理， 三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．【概念认识】在四边形 中， ．如果在四边形 内部或边 上存在一点P，满足 ，那么称点P是四边形 的“映角点”． 【初步思考】 （1）如图①，在四边形 中， ，点P在边 上且是四边形 的“映角点”．若 ， ，则 的度数为 ； 【综合运用】 （2）如图②，在四边形 中， ，点P在四边形 内部且是四边形 的“映角点”， 延长 交边 于点E．求证：① ② ． 【答案】（1）60°；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）根据“映角点”可得： ，根据平行线的性质可得 ，根据外角性质可得 ，易得 为等边三角形，继而即可求解； （2）①根据“映角点”可得： ，根据平角可得 ，等角代换即可求 解； ②由①得 ，根据四边形的内角和可得 ，根据平角可得 ，等角代换即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， 故答案为：60°； （2）①证明：∵ ， ， ∴ ②证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新概念四边形 的“映角点”、平行线的性质、三角形的外角 性质、四边形内角和、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握新概念四边形 的“映角点”是解 题的关键． 25．在 和 中， ，连接 ， 恰好平分 ，在 上存在一点D，使 与 互为补角，连接 ． (1)如图1，当 时，求 的度数； (2)如图2，当 ， 时，试说明 与 的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接 并延长，分别交 ， 于点M，N，若 ， ， P，Q分别为 和 上的动点，请直接写出 周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）根据题意确定 ，再利用三角形的内角和计算即可； （2）由题干条件推出 为等边三角形，然后进一步证明 ，从而利用全等三角形和平行 线的判定证明即可； （3）首先将 沿 对称至 ， 对称至 ，可确定且 ， 分别在 、 上，并连接 ，此 时与 和 交点即为所求 、 ，此时， 的周长最小，即为 的长度，然后根据全等三角形的判定以及对称的性质证明 ，即可求得结论． 【详解】（1）解：∵ ， 恰好平分 ， ∴ ， ∵在 和 中 ， ∴ ， ∴ ； （2）证：∵ ， 恰好平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ， ∵ 与 互为补角， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即： ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：由（2）可知， ， ∵ ， 恰好平分 ， ∴ 垂直平分 ， 如图所示，将 沿 对称至 ，沿 对称至 ，且 ， 分别在 、 上， 连接 ，此时与 和 交点即为所求 、 ， ∴此时， 的周长最小，且 、 两点重合， 此时， 周长的最小值即为 的长度，由（2）可得 ， 由对称的性质可得： ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， 此时，过 点作 ，交 于 点，如图所示， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ， 由（2）知， ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即： ，∴ ， ∴ 周长的最小值为4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定方法， 熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键．