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第十三章 轴对称 (A 卷·知识通关练)
核心知识1 轴对称图形和轴对称
1.(2021·江苏苏州·八年级阶段练习)下列图形中，轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、属于轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2.如图,关于虚线成轴对称的有( )个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】①关于虚线不成轴对称，
②关于虚线不成轴对称，
③关于虚线成轴对称，
④关于虚线成轴对称，故选B.
3.(2022·河南驻马店·七年级期末)如图，已知四边形ABCD中，∠B＝98°，∠D＝62°，点E、F分别在边
BC、CD上．将△CEF沿EF翻折得到△GEF，若GE AB，GF AD，则∠C的度数为( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【详解】解：∵GE AB，GF AD，
∴∠CEG＝∠B＝98°，∠CFG＝∠D＝62°，
由折叠可得，∠C＝∠G，
∴四边形CEGF中，∠C＝ (360°﹣98°﹣62°)＝100°，
故选：C．
4.(江苏省连云港市灌云县西片2021-2022学年八年级上学期第一次月考数学试题)如图，将一个三角形纸片
ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是(
)
A．AD＝BD B．BE＝AC C．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB
【答案】D
【详解】解：∵ △CDB折叠得△DEB
∴ △CDB≌△EDB
∴ BC=BE，CD=DE
由图，AD不一定等于BD，故A不正确；
由BE=BC，AC不一定等于BC，则BE不一定等于AC，故B不正确；
由三角形三边关系，ED＋EB>DB，故C不正确；
由BC=BE，AE＋CB=AE＋BE=AB，故D正确；
故选D．核心知识2 线段的垂直平分线的性质与判定
5.(2022·江西鹰潭·七年级期末)如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，
△BDC的周长为17，则AC为( )
A．9 B．8 C．12 D．11
【答案】A
【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵△BDC的周长为17，
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=17，
∵BC=8，
∴AC=9，
故选：A．
6.(2022·浙江丽水·八年级期中)如图，△ABC中，∠BAC＝100°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
则∠FAN＝__________．
【答案】20°
【详解】如图，令∠BAF=∠1，∠CAN=∠2
∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴FA=FB，则∠B=∠1，
NA=NC，则∠C=∠2，∵ ,
即
而
即
∴
解得：
故答案是：
7.(山东省济宁市任城区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线
交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD ＝50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
8.如图， 为 外一点， 为 的垂直平分线，分别过点 作 ， ，垂足分别为点， ，且 ．
(1)求证： 为 的角平分线；
(2)探究 ， ， 之间的数量关系并给出证明
【答案】(1)证明见解析；
(2) ，理由见解析
【解析】
(1)
证明：连接CD，BD，如图所示：
为 的垂直平分线，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
在 和 中，，
≌ ，
，
为 的角平分线；
(2)
解： ，理由如下：
≌ ，
，
又 ，
，
即 ，
．
9.(天津市东丽区2020-2021学年八年级上学期期中数学试题)如图， 与 相交于点 ， ，
， ．
(1)求证：
(2)求证： 垂直平分 ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】(1)证明：在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，
(2)∵OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
核心知识3 尺规作图及轴对称变换
10.(2022·福建宁德·八年级期中)如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧相交于点 ， ，作直线 分别交 ， 于点 ， 下列判断错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由作图知，直线 是线段 的垂直平分线，
所以 、 、 ，故C、D正确，不符合题意，
∵ ，
，故B正确，不符合题意，
故选： ．
11.小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平
分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是( )
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选A．
12.(2022·湖北宜昌·中考真题)如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径画弧，两
弧相交于点 ， ．作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ， ，
则 的周长为( )
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵ ， ，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
13.(2022·河南郑州·八年级期末)如图，在 中， ，请根据要求完成以下任务：
(1)利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线DE交 于点D、E，连接CD；
(2)利用直尺与圆规，作 的角平分线BF交CD于点F；(3)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)40.5°
【解析】．
(1)
解：如图，直线CD，线段CD即为所求；
(2)
如图，射线BF即为所求；
(3)
∵DE垂直平分线段BC，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵AC=DB，
∴CA=CD，
∴∠A=∠CDA=54°，
∵∠ADC=∠DBC+∠DCB，
∴∠DBC=∠DCB=27°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC= ∠DBC=13.5°，
∴∠DFB=∠FBC+∠DCB=13.5°+27°=40.5°．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练
掌握五种基本作图，属于中考常考题型．核心知识4 用坐标表示轴对称
14.(山东省济南市济阳区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC
的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到 ，那么点B的对
应点 的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意：作图如下，
∴点B的对应点 的坐标为 ．
故选：C．
15.已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )
A．a> B．a>-1 C．-1＜a＜ D．a＜【答案】C
【详解】点P关于x轴的对称点在第一象限，则确定点P在第四象限，
∴a+1>0,解得：a>-1
2a-3<0,解得：a< ,
∴a的取值范围为：-1＜a＜ ，
故答案为C.
16.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形 的四个顶点都在小正方形的格点上(格点就是
指网格中小正方形的顶点)，点 在 边上，且点 在小正方形的格点上，连接 ．
(1)在图中画出 ，使 与 关于直线 对称，点 与点 是对称点；
(2)求 与四边形 重叠部分的面积．
【答案】(1)图见解析；(2)6．
【分析】(1)先根据轴对称的性质画出点F，再顺次连接点A、E、F即可得；
(2)如图(见解析)，利用直角 面积减去直角 面积即可得．
【详解】(1)先根据轴对称的性质画出点F，再顺次连接点A、E、F即可得到 ，如图所示：
(2)如上图，设 与四边形 重叠部分的面积为 ，
则 ，∵ ， ， ， ，
∴ ，
，
，
故 与四边形 重叠部分的面积为6．
17.(河南省商丘市柘城县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题)已知 在平面直角坐标系中的位
置如图所示．
(1)作出 关于y轴对称的 ，并写出 各顶点的坐标；
(2)将 向右平移6个单位长度，作出平移后的 ，并写出 各顶点的坐标；
(3)观察 与 ，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
【答案】(1)见解析， ， ；(2)见解析， ， ， ；(3)是，见解
析
【详解】解：(1)如图所示， 关于y轴对称的图形为 ，
根据点在坐标系中的位置可得： ， ；
(2)如(1)中图所示， 为平移后的图形， ， ， ；(3)是，如图(1)中所示，连接 ， ，找到中点D、E，连接可得对称轴为直线 ．
核心知识5 等腰三角形的性质和判定
18.如图,点C是△ABE的BE边上一点,点F在AE上,D是BC的中点,且AB=AC=CE,给出下列结论:
①AD⊥BC;②CF⊥AE;③∠1=∠2;④AB+BD=DE,其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】①∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC=CE，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③无法证明∠1=∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=CE，
∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④．
故选B.
19.如图，在 中， 和 的平分线交于点E，过点E作 交AB于M，交AC于N，
若 ，则线段MN的长为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C【详解】解： 、 的平分线相交于点E，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
即 ．
，
，
故选C．
20.(2022·山东枣庄·八年级期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D分别为AB、AC上的点，连接BD，
DE，若AD＝DE＝BE，∠C＝70°，则∠BDC的度数为( )
A．50° B．60 C．70° D．80°
【答案】B
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴
∴ ．
故选：B．
21.(2022·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末)如图，已知 中， ，在直线BC
或射线AC取一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．2个 B．4个 C．5个 D．7个
【答案】C
【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符
合条件；
②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点(B和另一个点)，交射线AC于一点，此时AB
＝AP，共2个点符合条件；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为
圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．
∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，
故选：C．
22.如图，在 中， ，点D在BC的延长线上，且 ， 分别是 的中线和
高线．(1)若 的一边长为3，周长为12，则 _______；
(2)若 ，则 ________；
(3)若 ，则 ________；
(4)若AC平分 ，则 ________；
(5)若 ，则 ________；
【答案】
【解析】略
核心知识6 等边三角形的性质和判定
23.(2021·湖北咸宁·八年级期中)如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，
连接AE，BD交于点F，∠CBD，∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．
有下列结论：
①△ABD≌△CBG；
②∠BGE＝30°；
③∠ABG＝∠BGF；
④AB＝AH+FG．
其中，正确的结论个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据已知条件无法证明△ABD≌△CBG，①不正确；证明△ABD≌△CAE，可得∠CAE＝
∠ABD，然后求出∠GEC＝ ∠FBE＋30°，∠GBE＝ ∠FBE，根据三角形外角的性质可得∠BGE＝
30°，②正确；过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，证明Rt△GFJ≌Rt△GFT，求出
∠GFJ＝∠GFT＝60°，进而可得∠BGF＝60°－∠FBG，∠ABG＝60°－∠CBG，可得③正确；证明
△GJF≌△GKC，得到GF＝GC，然后再证∠AHG＝∠AGH求出AH＝AG即可判断④正确．
【详解】解：∵∠C＝∠BAD＝60°，BC＝AB，根据已知条件无法得出CG＝AD或其它对应角相等，∴无法得出△ABD≌△CBG，①不正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BFE＝∠BAE＋∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAC＝60°，
∵∠AEC＝∠EBF＋∠BFE，
∴∠AEC＝∠FBE＋60°，
∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，
∴∠GEC＝ ∠AEC＝ ∠FBE＋30°，∠GBE＝ ∠CBD＝ ∠FBE，
∵∠GEC＝∠GBE＋∠BGE，
∴∠BGE＝30°，故②正确；
过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，
∵BG平分∠DBC，EG平分∠AEC，
∴GT＝GK＝GJ，∠FBG＝∠CBG，
∵∠GJF＝∠GTF＝90°，GF＝GF，
∴Rt△GFJ≌Rt△GFT(HL)，
∴∠GFJ＝∠GFT，
∵∠BFE＝60°，
∴∠GFJ＝∠GFT＝60°，
∴∠BFG＝120°，
∴∠BGF＝180°－120°－∠FBG＝60°－∠FBG，
∵∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝60°－∠CBG，且∠FBG＝∠CBG，
∴∠ABG＝∠BGF，故③正确；
∵∠GFJ＝∠C＝60°，∠GJF＝∠GKC＝90°，GJ＝GK，
∴△GJF≌△GKC(AAS)，∴GF＝GC，
∵∠BAH＋∠EAC＝∠EAC＋∠AGF＝60°，
∴∠BAH＝∠AGF，
∵∠AHG＝∠ABG＋∠BAH，∠AGH＝∠BGF＋∠AGF，∠ABG＝∠BGF，
∴∠AHG＝∠AGH，
∴AH＝AG，
∴AH＋GF＝AG＋GC＝AC＝AB，
∴AB＝AH＋FG，故④正确，
故选：C．
24.(2022·湖南·华容县教育科学研究室八年级期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE
同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于
点Q，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③连接CO，则OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ为
等边三角形．恒成立的结论有___________________(把你认为正确的序号都填上)．
【答案】①②③⑤
【分析】根据等边三角形的性质，证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；然后
利用ASA证明△CQB≌△CPA，得到CQ＝CP，则△PCQ为等边三角形，⑤正确；然后求出∠CPQ＝
∠ACP＝60°，可得PQ∥AE，②正确；根据∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，可知
DC≠DP，则DE≠DP，④错误；连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，根据S△BCE＝S△ACD可得CM＝CN，进而可得OC平分∠AOE，③正确．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；
∵∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCQ＝60°，即∠BCQ＝∠ACP＝60°，
又∵AC＝BC，
∴△CQB≌△CPA(ASA)，
∴CQ＝CP，
∴△PCQ为等边三角形，⑤正确；
∴∠CPQ＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACP，
∴PQ//AE，②正确；
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，
∴DC≠DP，
∴DE≠DP，④错误；
连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△BCE≌△ACD，
∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD，
∴ ×BE×CM＝ ×AD×CN，
∴CM＝CN，
∴OC平分∠AOE，③正确；
故正确的有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤25.(2022·江西抚州·八年级期中)如图，在 中，AB=AC，D为AC的的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂
足分别为点E、F，且DE=DF．问 是等边三角形吗？请说明理由．
【答案】 是等边三角形，理由见解析
【详解】解：△ABC是等边三角形
∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴∠AED＝∠CFD＝90°
∵D是AC的中点
∴AD＝CD
∵DE＝DF
∴△ADE≌△CDF (HL)
∴∠A＝∠C
∴ AB=BC
∵AB=AC
∴AB=BC=AC
∴ △ABC是等边三角形
核心知识7 含30°角的直角三角形的性质
26.(2022·内蒙古赤峰·八年级期末)如图所示，在 中， ．DE垂直平分AB，交
BC于点E．若 ．则 ( )A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm
【答案】C
【详解】解：∵DE垂直平分AB，BE=10cm，
∴AE=BE=10cm，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=2∠B=30°，
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，
∴AC= AE=5cm，
故选：C．
27.(江苏省兴化市乐吾实验学校、芙蓉外国语实验学校2020-2021学年八年级上学期第一次质量检测数学试
题)如图Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则AC＝_________．
【答案】15
【详解】解： ∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，
∠ABC=60°， ，
BD=10，
BD=AD=10， ，
；
故答案为15．
28.如图， 为等边三角形， ， 、 相交于点 ， 于 .
(1)求证： ；(2)求 的度数；
(3)若 ， ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)∠BPQ=60°；(3)AD=9.
【详解】(1)证明： 是等边三角形，
， ，
在 与 中，
(2) ，
， ，
，
.
(3) ，
.
.
，
.
，， .
核心知识8 最短路径问题
29.如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作
点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题
时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【答案】D．
【解析】试题分析：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，
且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段
的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．
考点：轴对称-最短路线问题．
30.如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，
试设计出最短的放牧路线．
【答案】答案见解析
【详解】解：以河为对称轴作M的对称点 ，过 作草地的垂线，
垂线和河的交点H就是所求的点．
如图所示：31.如图，点 是 内任意一点， ，点 和点 分别是射线 和射线 上的动点，
周长的最小值是 ，则 的度数是__．
【答案】
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连
接OC、OD、PM、PN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性
质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
