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专题 08 垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型
利用垂径定理求值
例题：（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图， 是 的直径，弦 于点 ，
， ，则 ．
【变式训练】
1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图， 的半径为6cm， 是弦，
于点C，将劣弧 沿弦 折叠，交 于点D，若D是 的中点，则 的长为
．
2．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连
接 ，若 ， ，则弦 的长为 ．垂径定理的实际应用
例题：（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面
宽度为6米，拱高 （弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽
度为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【变式训练】
1．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国
古代劳动人民的智慧．如图1，点 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运
行路径是以轴心 （ 在水面上方）为圆心的圆，且圆 被水面截得的弦 长为8米．若筒车工
作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
2．（2023下·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图， 为 的半
径，弦 ，垂足为 ， 寸， 尺 尺 寸 ，则此圆材的直径长是 寸．
利用弧、弦、圆心角的关系求解
例题：（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图所示， 是⊙O的内接三角形，点B是
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023上·广西河池·九年级统考期末）如图， 是 的直径，C是 的中点，若 等
于 ，则 的度数为 ．2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）如图，点A，B，C都在 上，B是 的中点，
，则 等于 ．
半圆（直径）所对的圆周角是直角
例题：（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图， 的直径是 ，
，圆的半径是4，则弦 的长是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·广西玉林·九年级统考期末）如图，在 中， 为 的直径，已知 ，
， ， ，则 ．
2．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图， 为 的直径， 内接于 ，， 交 于点E．
(1)求 的度数；
(2)若点E为 中点， ，求 的长．
90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ， ，
， ．则 的长为 ．
【变式训练】
1．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形 中， ， 点沿线段 由
向 运动（到 停止运动）， 点沿线段 由 向 运动（到 停止运动），两点同时出发，速
度相同，连接 ，作 于 点，则在整个运动过程中 点的运动轨迹长为 ．2．（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在 中， ， ， ， 是
内部的一个动点，连接 ，且满足 ，过点 作 于点 ，则
；当线段 最短时， 的面积为
已知圆内接四边形求角度
例题：（2023上·辽宁铁岭·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ， 为 延长线上
的一点，若 ，则 的度数为 ．
【变式训练】
1．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）如图， 内接于 ， 外角的平分线交 于
点 ，射线 交 延长线于点 ．若 ， ，则 的度数为 °．2．（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ，分别延长 ， ，
使它们相交于点 ， ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，点 为 的中点，求 的半径．
一、单选题
1．（2023上·河北张家口·九年级统考期末） 中的一段劣弧 的度数为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）如图，在 中，弦 相交于点P，若 ，
，则 的大小是（ ）A． B． C． D．
3．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图， 的半径为 ，弦 的长为
，P是弦 上一动点，则线段 长的最小值为（ ）
A．10 B． C．5 D．
4．（2023上·江西赣州·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ，若它的一个外角
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河北邢台·九年级校考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家
徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心
O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 被水面截得的弦 长为4米， 半径长
为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 所在直线的距离是（ ）A．1米 B． 米 C．3米 D． 米
二、填空题
6．（2023下·山东济宁·九年级统考期末）如图，将 沿弦 折叠交直径 于圆心O，则
度．
7．（2022上·天津滨海新·九年级校考期中）如图，AB，CD是 的直径， ，若
，则 的度数是 ．
8．（2023下·江西南昌·九年级统考期末）如图， 是半圆O的弦， 过圆心O，过O
作 于点D．若 ，则 cm．
9．（2023上·浙江宁波·九年级统考期末）在圆 中， 四点在圆上， ， ，
，则 的值为 ．10．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在 中， ，以 为直径的半圆
交 于点 ，点 为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
三、解答题
11．（2023上·安徽合肥·九年级统考期末）如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为E，
．
(1)求 的半径长；
(2)连接 ，作 于点F，求 的长．
12．（2023上·湖北荆门·九年级校考期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更
换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)若这个输水管道有水部分的水面宽 ，水面最深地方的高度为4 ，求这个圆形截面的半径；
(2)在（1）的条件下，小明把一只宽12 的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出
水面13 ，问此小船能顺利通过这个管道吗？
13．（2023上·广东广州·九年级校考期末）如图，A是 上一点， 是直径，点D在 上且平
分 ．
(1)连接 ，求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的长．
14．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，四边形 是 的内接四边形，且 ，
垂足为 ， 是 的直径．(1) 和 相等吗？为什么？
(2)过圆心 作 ，垂足为 ，若 ，求 的长．
15．（2023上·山东威海·九年级统考期末）【初识模型】如图1，在 中，
．点 为 边上一点，以 为边作 ，使 ， ，
连接 ，则 与 的数量关系是__________；
【构建模型】如图2， 内接于 为 的直径， ，点 为弧 上一点，连接
．若 ，求 的长；
【运用模型】如图3，等边 内接于 ，点 为弧 上一点，连接 ．若
，求 的长．
