考向23二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料

考向 23 二元一次不等式 （组）与简单的线性规划问题 1．（2022年乙卷文科第5题）若 满足约束条件 ，则 的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 【解析】解法1：作图可知 在点 处取得最大值 解法2：求出可行域的三个顶点坐标 ， ， 分别求出目标函数值为 ， ， 比较得 的最大值为 . 2．（2022年浙江卷第3题）若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）. A．20 B．18 C．13 D．6 【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，可知过点 时取到最大值18，故选B． 3．（2021年浙江卷第5题） 若实数 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，画出可行域，显然过点 时，取到最小值，即 ， 故选B． 1.一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x ，y)作为测试点代入不等式检验，若满 0 0 足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当 C≠0时，常把原点作 为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点． 2.一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 3.两个防范 (1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． (2)求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过 求直线的截距的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最 小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值． 1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线． (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验 证． 2．点P(x，y)和P(x，y)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是 ( Ax ＋ B y ＋ C ) ( A x ＋ B y ＋ C ) ＜ 0； 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是 ( Ax ＋ B y ＋ C ) ( A x ＋ B y ＋ C ) ＞ 0. 1 1 2 2 易错点1：混淆动直线的截距与所求最值间的对应关系 这一错解告诉我们先将目标函数改写为动直线的斜截式方程再从中 |确定目标函数值与动直线截距间 的对应关系,是准确求解线性规划问题的第一步. 易错点2：无视动直线与可行域边界直线间的相对倾斜程度 当线性约束条件表示的可行域为一多边形时，,明确动直线与可行域边界直线的相对倾斜情况，是正确 求解线性规划问题的第二步. -般地，可先观察直线斜率的正负然后再根据斜率绝对值的大小来确定动直线与边界直线的相对倾斜情况. 易错点3：忽视变量实际意义“想当然”推断最优解 求最优整数解是线性规划的难点.本题的剖析其实给同学们展示了一种求最优整数解的简便方法:第一步 求出不考虑整数条件时的最优解A及此时的目标函数值z(A).若A恰好为整数解,则问题解决;若A不是整数 解则进入第二步在该“最优解”附近求得某一整数解B及此时的目标函数值z(B) ;第三步推断介于z(A)与 z( B)之间的可能的目标函数值,并求出该目标函数值对应的所有整数解;第四步验证这些整数解是否在可行 域内. 易错点4：分析、转化问题不全面求解二元一次式的绝对值这个问题似乎并没有直接指向线性规划,但我们通过转化使其具有了线性意义. 设z=2r+y,找出这一目标函数的最值,等于"变相"地去掉了"绝对值"符号.但如果分析不全面,仍然可能导致错 解.可见线性转化、全面分|析乃是线性规划应用的原则. 1．不等式组表示的平面区域是( ) A B C D 2.不等式组表示的平面区域的面积为( ) A．1 B． C．2 D． 3．不等式组所表示的平面区域的面积等于( ) A. B． C. D． 4．已知实数 ， 满足不等式组： ，则满足条件的点 所表示平面区域的面积为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设 满足约束条件 则 的最大值为（ ） A．8 B．6 C．4 D． 6．若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ） A．20 B．18 C．13 D．67．实数x，y满足约束条件 ，则 的最大值为_______ 8．若x，y满足约束条件 ，则z＝x－2y的最大值为________． 9．若实数x，y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为_________． 10．设 ， 满足约束条件 则 的最小值为___________． 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））已知实数x，y满足 ，则目标函数 的取值范围为（ ） A． B． C． D．3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知实数x，y满足 ，则 （ ） A．最小值为-7，最大值为2 B．最小值为-2，最大值为7 C．最小值为-7，无最大值 D．最大值为2，无最小值 4．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知x，y满足约束条件 ，则 的最小值为 （ ） A．-3 B．0 C．3 D．6 5．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））如果点 在平面区域 上，则 的 最小值是（ ） A． B． C．1 D．2 6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若实数x，y满足的约束条件 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 7．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知函数 的极大值点 ，极小值点 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D．8（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知实数x，y满足 ，则 的最小 值是___________ 9．（2022·四川成都·模拟预测（理））设 满足约束条件 ，且 的最小值为________. 10．（2022·河南郑州·三模（理））设变量 ， 满足约束条件 则 的最大值为______． 11．（2022·青海·模拟预测（理））若实数 ,目标函数 的最大值为a，最小值为 b，则 ______． 12（2022·广西·模拟预测（文））已知 满足约束条件 ，则 的取值范围为 __________. 2x3y30  2x3y30  x y  y30 z 2x y 1．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是 ( ) A． 15 B． 9 C．1 D． 92．(2014高考数学课标2理科)设x,y满足约束条件 ，则 的最大值为( ) A．10 B．8 C．3 D．2 x y1  3．(2014高考数学课标1理科)不等式组 x2y4 的解集记为D．有下面四个命题: p :x,yD,x2y2 p :x,yD,x2y2 1 ； 2 p :x,yD,x2y3 p :x,yD,x2y1 3 ； 4 ． 其中真命题是 ( ) p ,p p ,p p ,p p ,p A． 2 3 B． 1 4 C． 1 2 D． 1 3 4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若x，y满足约束条件 则z=x+7y 最大值为 的 ______________． 5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为 _________． 6．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若 满足约束条件 则 的最大值为 _________． 7．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)若 满足约束条件 ， 则 最大值为 ． x2y1  2x y1  x,y  x y0 z 3x2y 8．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设 满足约束条件 ,则 的最小值为______． xy0  x y20  x y  y0 z3x4y 9．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科)若 , 满足约束条件 ,则 的最小值为 ________． 10．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科)若 满足约束条件 ,则 的最大值为 ____________. 11．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件 产品A需要甲材料 ，乙材料 ，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料 ，乙材料 ，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现 有甲材料 ，乙材料 ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和 的最大值为 元． 12．(2015 高考数学新课标 2 理科)若 满足约束条件 ，则 的最大值为 ____________． 13．(2015高考数学新课标1理科)若 满足约束条件 则 的最大值为 ． 1．【答案】C 【解析】 把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x－y＋2≥0 表示的平面区域内。 2.【答案】A【解析】不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面区域的面积．求出点 A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1，故选A. 3．【答案】C 【解析】由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1× ＝. 4．【答案】D 【解析】如图，阴影部分即不等式组对应的平面区域，则对应区域为三角形 . 由 得 即 令 中 则 ，则 ，故 . 故选：D. 5．【答案】A 【解析】作出可行域和目标函数，当直线 经过点 时， 有最大值，最大值为8. 故选：A 6．【答案】B 【解析】不等式组对应的可行域如图所示： 当动直线 过 时 有最大值. 由 可得 ，故 ，故 ， 故选：B. 7．【答案】2 【解析】如图，作出约束条件 表示的可行域，目标函数 可化为 ， 当且仅当动直线 经过点 时， 取得最大值， 由 ，解得 ， 的最大值为2. 8．【答案】0 【解析】由题意，作出 所表示的平面区域，如图所示， 联立 ，解得 ，即 ，由可行域可知， 当直线 过点 时，z取得最大值，最大值为 ， 9．【答案】 【解析】作出约束条件对应的可行域，如下图所示联立 ，可得点 ，目标函数 整理为 ， 由图象可得，当目标函数 过点 时，截距最小，z有最小值， 此时 .故答案为：3 10．【答案】 【解析】画出可行域如下图： 由图可知，当直线 过点 时， 取得最小值 ． 1．【答案】B 【解析】作出不等式组 所表示的区域如下图： 则 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知， 点到直线 的距离最小， 由点到直线距离公式，可得 ，所以 ，所以 的最小值为 ， 故选：B． 2．【答案】B 【解析】作出约束条件的可行域，如图阴影部分所示， 其中 ， 表示定点 与可行域内点 连线的斜率， 因为 ， ，所以z的取值范围是 ． 故选：B 3．【答案】C 【解析】作出可行域，如图所示阴影部分：， ，即 ，直线越往上移 的取值越小，当直线往上平移至经过点 时， 取最小值， 此时 ，当直线往下平移至经过点 时， ，因为该点取不到，所以 无法取到 最大值，即 的最小值为-7，无最大值． 故选：C． 4．【答案】C 【解析】不等式组表示的可行域如图所示阴影部分，作直线 ， 在直线 中， 表示直线的纵截距，向上平移直线 增大，向下平移直线 减小， 平移该直线，当它过点 时， 为最小值． 故选：C． 5．【答案】A 【解析】如图，作出 表示的平面区域，图中 区域，， 而 ，设点 , 即 表示的是 和定点 的距离的平方减去1， 由图可知，联立 ，解得 ,而 ,则 ， 到直线 的距离为 , , 故当 垂直于AB时， 最小，则 的最小值为 ， 故选：A 6．【答案】B 【解析】作出约束条件 表示的可行域，如图中阴影区域，其中点 ，目标函数 表示可行域内的点 与定点 确定直线 的斜率 ， 过点P的直线 平行于直线 ，其斜率为 ，过点P的直线 经过点 ，其斜率为 ， 直线 从直线 （不含直线 ）绕点P逆时针旋转到直线 的位置，直线 均符合条件，则 或 ， 所以 的取值范围是 . 故选：B 7．【答案】B 【解析】 又因为当 时取得极大值，当 时取得极小值，可得 、 是方程 的两个根，根据一元二次方程根的分布可得 即： 作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可 求出边界交点坐标分别为 、 、 ， 表示平面区域内的点 与点 连线的斜率，由图可知 ，根据倾斜角的变化，可得 故选:B8.【答案】8 【解析】画出可行域如图，因为 的几何意义为 到 的距离的平方，由图可知距离 最小值为 到 的距离 ，故 的最小值为 故答案为：8 9．【答案】-2 【解析】作出约束条件对应的可行域如下： 令 ，则 ，当该动直线过点 时纵截距 最小，即 最小，故 的最小值为-2. 故答案为：-2. 10．【答案】 【解析】由 ， 满足约束条件 画出可行域如图（阴影部分），由 得 ，平移直线 ， 由图像可知当直线 经过点B时， 直线 在y轴的截距最大，此时z最大． 由 ，解得 ，即B（7，5）， 代入目标函数 得z=7+5=12． 即目标函数 的最大值为12． 故答案为：12. 11．【答案】8 【解析】作出不等式组 表示的平面区域，如图：阴影部分， 平移直线 ，当直线经过点A,B时，目标函数 分别取得最小值和最大值， 联立 ，解得 , 联立 ，解得 , 故 ，故 ， 12【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示， 可化简为 ，即斜率为 的平行直线， 结合图形可知，当直线 过点 时， 取最小值，当直线 过点 时， 取最大值， 由 ，解得 ，所以 ，则 , 由 ，解得 ，所以 ，则 ， 所以可求得 的取值范围为 ， 故答案为： 1．【答案】 A 【解析】解法一：常规解法 2x3y30  2x3y30  根据约束条件y30 画出可行域（图中阴影部分）, 作直线 l:2x y0 ，平移直线l， 将直线平移到点A处Z 最小，点A的坐标为 6,3 ，将点A的坐标代到目标函数 Z 2x y ， 可得Z 15，即 Z min 15 ．y l 2x+3y- C 2x-3y+3 3=0 =0 O x A B y = -3 解法二：直接求法 对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的 为最小值即可，点A的坐标为 6,3 ，点B的坐标为 6,3 ，点C的坐标为 0,1 ，所求值分 别为15﹑9﹑1，故 Z min 15 ， Z max 9 ． 解法三：隔板法 首先 看约束条件方程的斜率 2 2  约束条件方程的斜率分别为 3 ﹑3 ﹑0； 其次 排序 2 2  按照坐标系位置排序 3 ﹑0﹑3 ； y 再次 看目标函数的斜率和 前的系数 看目标函数的斜率和 y 前的系数分别为2﹑1； 最后 画初始位置，跳格，找到最小值点  2   ,0 目标函数的斜率在 3 之间，即为初始位置， y 前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为  2 2  2 2  ,  0,  最大值点，即 3 3，第二个格为最小值点，即 3，只需解斜率为0和3 这两条线的交点 即可，其实就是点A，点A的坐标为 6,3 ，将点A的坐标代到目标函数 Z 2x y ， 可得Z 15，即 Z min 15 ． 【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般变化只在两个方向变化，1．约束条件的变化；2．目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面 变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条 件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法 即可． 2．【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域，可以平移直线 ，可得最大值为8． 3．【答案】 C 1 z y  x 【解析】作出可行域如图:设 x2y  z ，即 2 2 A2,1 z 220 z 0 p p 当直线过 时， min ，∴ ，∴命题 1、 2真命题，选C． 考点:(1)二元一次不等式组表示平面区域(2)求线性目标函数的最值问题 (3)全(特)称命题真假判断(4)数形结合思想 难度:C 备注:高频考点 4．【答案】1 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数 即： ， 其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为： ． 故答案为：1． 5．【答案】7 【解析】不等式组所表示的可行域如图 因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大， 平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大， 由 ，得 ， ， 所以 ． 故答案为：7． 6．【答案】9 【解析】作出可行域，则直线 过点 时 取得最大值9． 7．【答案】6【解析】作出不等式组对应的平面区域如图 由 得 ，平移直线 ，由图象知当直线 经过点 时，直线的截距最大，此时 最大，最大值为 ，故答案为6． 5 8．【答案】 x2y1  2x y1  x y0  【解析】不等式 组表示的可行域为如图所示 1 1 1 1 A(1,1),B( , ),C( , ) 易求得 3 3 3 3 3 z y  x 直线 z 3x2y 得 2 2 在 y 轴上的截距越大,z 就越小 所以,当直线 z 3x2y 过点A时,z 取得最小值 所以z 取得最小值为 3(1)215 ． 9．【答案】1 【解析】绘制不等式组表示的可行域, 3 1 3 1 y  x z k   目标函数即: 4 4 ,其中 z 表示斜率为 4 的直线系与可行域有交点时直线的截距值的 4 A1,1 倍,截距最大的时候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点 处取得最小值z 3x4y 1 ． 10．【答案】 【解析】作出不等式组满足的平面区域,可知当目标函数经过点 时取得最大值,即 . x2y2  0 y x y1 0 2 1 x2y  0 A x –2 –1 O 1 2 –1 y  x 11．【答案】216000． 【解析】设生产A产品 件，B产品 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性 规则约束为 目标函数作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 在 处取得最大值， 12．【答案】 【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 ，当 取到最大时，直线 的纵 截距最大，故将直线尽可能地向上平移到 ，则 的最大值为 ． 考点：线性规划． 13．【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图 可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 的最大值为3．