专题 09 导数大题训练（理科）
题型一、利用导数研究参数问题
类型1：直接法求参数的取值
1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试试卷理科）设
（I）求 在 上的最小值；
（II）设曲线 在点 的切线方程为 ；求 的值．
2
{a=
e2
【答案】（1） ；（2）
1
b=
2
【详解】（I）设 ；则
1
①当 时，y' >0⇒ y=at+ +b在 上是增函数
at
得：当 时， 的最小值为
②当 时，
当且仅当 时， 的最小值为
（II）
1 2
{f (2)=3 {ae2 + +b=3 {a=
ae2 e2
由题意得： 3 ⇔ ，∴
f'(2)=
2
ae2
−
1
=
3
b=
1
ae2 2 2
类型2：分类讨论法求参数的取值及取值范围
根据最值求参
1．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不
存在，说明理由.
【答案】(1)见详解；(2) 或 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1【分析】(1)先求 的导数，再根据 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据 的各种范围，利用函数
单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出 , 的值.
【详解】(1)对 求导得 .所以有
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
(2)若 在区间 有最大值1和最小值-1，所以
若 ， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增；
此时在区间 上单调递增，所以 ， 代入解得 ， ，与 矛盾，所以 不成
立.
若 ， 区间上单调递增；在区间 .所以 ， 代入解得 .
若 ， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
即 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为
而 ，故所以区间 上最大值为 .
即 相减得 ，即 ，又因为 ，所以无解.
若 ， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
即 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为
而 ，故所以区间 上最大值为 .
即 相减得 ，解得 ，又因为 ，所以无解.
若 ， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
所以有 区间 上单调递减，所以区间 上最大值为 ，最小值为
即 解得 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2综上得 或 .
【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最
大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．
根据不等式恒成立问题求参
2．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知函数
.若曲线 和曲线 都过点 ,且在点 处有相同的切线
.
（Ⅰ）求 的值;
（Ⅱ）若 时, ,求 的取值范围.
【答案】（I） ；（II） .
【详解】试题分析：（1）先求导,根据题意 ,由导数的几何意义可知 ,从
而可求得 的值．（2） 由（1）知， ,令 ,即
证 时 ．先将函数 求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单
调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．
试题解析：（1）由已知得 ，
而 ，
（2）由（1）知， ，
设函数 ，
．
由题设可得 ，即 ，令 得 ,
①若 ，则 ，∴当 时，
，当 时， ，即F（x）在 单调递减，在 单调递增，故
在 取最小值 ，
而 ．
∴当 时， ，即 恒成立．
②若 ，则 ，
∴当 时， ，∴ 在 单调递增，
而 ，∴当 时， ，即 恒成立，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3③若 ，则 ，
∴当 时， 不可能恒成立．
综上所述， 的取值范围为 ．
考点：用导数研究函数的性质．
3．（2019年浙江省高考数学试卷）已知实数 ，设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.注： 为自然对数的底数.
【答案】（1） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ；（2） .
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.
(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.
【详解】(1)当 时， ，函数的定义域为 ，且：
，
因此函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
(2)由 ，得 ，
当 时， ，等价于 ，令 ，则 ，
设 ， ，则 ，
（i）当 时， ，则 ∴g(t) =g(2√2)=8√x−4√2⋅√1+x−2lnx，
min
记 ，
则
列表讨论：
1
x （ ,1） 1 （1，+∞）
7
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4p' (x) ﹣ 0 +
1 单调递
p(x) p( ) 极小值p(1) 单调递增
7 减
∴p(x) =p(1)=0，∴g(t) =g(2√2)=2p(1)=0
min min
（ii）当 时， ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增， ，
由（i）得 ， ，
由（i）（ii）知对任意 ，
即对任意 ，均有 ，
综上所述，所求的a的取值范围是 ．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，
解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
根据零点问题求参
4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2） .
【详解】试题分析：（1）讨论 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对
按 ， 进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若 ， 至多有一个零点.若 ，
当 时， 取得最小值，求出最小值 ，根据 ， ， 进行
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5讨论，可知当 时有2个零点.易知 在 有一个零点；设正整数 满足 ，则
.由于 ，因此 在 有一个零点.
从而可得 的取值范围为 .
试题解析：（1） 的定义域为 ， ，
（ⅰ）若 ，则 ，所以 在 单调递减.
（ⅱ）若 ，则由 得 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在
单调递增.
（2）（ⅰ）若 ，由（1）知， 至多有一个零点.
（ⅱ）若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
②当 时，由于 ，即 ，故 没有零点；
③当 时， ，即 .
又 ，故 在 有一个零点.
设正整数 满足 ，则 .
由于 ，因此 在 有一个零点.
综上， 的取值范围为 .
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数 有2个零点求参数a的取值
范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断 与其交点的
个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注
意点是若 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大
于0的点.
类型3：分离参数法求参数的取值及取值范围
1．已知函数 （ 为自然对数的底数），函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为 ， ；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再得到 、 与 的关系表，即可得解；
（2）参变分离可得 在 上恒成立，令 ， ，利用导数求出函数的最大值，
即可得解.
【详解】（1）函数 定义域为 ，又 ，
令 ，解得 ，
所以 、 与 的关系如下所示：
单调递
单调递减 极小值 单调递增
减
所以 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 .
（2）不等式 在 上恒成立，等价于不等式 在 上恒成立，
故不等式 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上为增函数；
当 时， ，所以 在 上为减函数；
所以 ，所以 ．
2．已知函数 ， （其中 ）.
(1)若 ，求函数 的单调区间；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7(2)若对于任意 ，都有 成立，求 的取值范围.
【答案】(1) 的递增区间为 ，递减区间为
(2)
【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间；
（2）由 ，得 ，则于 ，则转化为 ，构造函数 ，
利用导数求出其最大值即可.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为
（2）由 ，得 ，
当 时， ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递增，所以 ，
所以 ，得 ，
即 的取值范围为
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题
的关键是分离参数，再构造函数，然后利用导数求函数的最值即可，考查数学转化思想，属于中档题.
3．已知函数 在点 处切线与直线 平行．
(1)求 的最值；
(2)若函数 存在两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 在 处取得最大值 ，没有最小值.
(2)
【分析】（1）先利用导数的几何意义求得 ，再利用导数与函数性质的关系即可得解；
（2）将问题转化为 的图像与 的图像在 上有两个交点，再利用导数研究 的图像
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8性质，结合图像即可得解.
【详解】（1）因为 ，则 ，
因为 在点 处切线与直线 平行，
所以 ，即 ，则 ，
所以 ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得最大值 ，没有最小值.
（2）由（1）得 ，
若 存在两个零点，即 有两个正根，即 有两个正根，
令 ，则 的图像与 的图像在 上有两个交点， ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
又当 时， ，当 时， ，
所以 与 的大致图像如下，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
题型二、利用导数证明不等式
1．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知函数f(x)=ex −ln(x+m).
(1)设x=0是f (x)的极值点，求m，并讨论f (x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f (x)>0.
【答案】(1)f (x)在 上是减函数；在 上是增函数（2）见解析
1
【详解】(1)
f' (x)=ex
− ．
x+m
由x=0是f (x)的极值点得f' (0)=0，所以m=1．
1
于是 ，定义域为
，f' (x)=ex
− ．
f(x)=ex−ln(x+1) （−1，+∞） x+1
1
函数
f' (x)=ex
− 在 上单调递增，且 ，因此当 时， ;当
x+1 （−1，+∞） f' (0)=0 x∈(−1,0) f' (x)<0
x∈(0，+∞)时，f' (x)>0 ．
所以f (x)在（−1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
(2)当m≤2，x∈(−m,+∞)时， ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f (x)>0．
1
当
时，函数f' (x)=ex
− 在 上单调递增．
m=2 x+2 （−2，+∞）
又f'（−1）<0，f'（0）>0，故f'（x）>0在（−2，+∞）上有唯一实根 x
0
，且x
0
∈(−1,0)．
当 x∈(−2,x
0
)时，f' (x)<0 ;当 x∈(x
0
，+∞)时，f' (x)>0，从而当 x=x
0
时，f (x)取得最小值．
x 1
由 得
e 0= ⇒ln(x +2)=−x
，
f'（x ）>0 x +2 0 0
0 0
1
(x +1) 2
0
故f (x)≥f (x )= +x = >0．
0 x +2 0 x +2
0 0
综上，当m≤2时，f（x）>0 ．
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设函数 ,曲线
y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求 ； (2)证明: .
【答案】（1） ；（2）详见解析.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结
合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可
得 的解析式， 为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别
利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.
试题解析：（1）函数 的定义域为 ， .
由题意可得 ， .故 ， .
（2）证明：由（1）知， ，从而 等价于 .
设函数 ，则 .所以当 ， ；
当 时， .
故 在 上单调递减， 上单调递增，从而 在 上的最小值为 .
设函数 ，则 .
所以当 时， ；当 时， .故 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 在 上的最大值为 .
综上，当 时， ，即 .
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立
和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数
的定义域；②对 求导；③令 ，解不等式得 的范围就是递增区间；令 ，解不
等式得 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函
数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出 在 上的最小值及 在 上
的最大值，进而得证的.
3．设函数
（1）求证： 的导数 ；
（2）若对任意 都有 求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）(−∞，2]
【分析】（1）先求出f (x)的导函数，利用 a+b≥2√ab 当且仅当a=b时取等号．得到f' (x)≥2；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11（2）把不等式变形令g(x)=f(x)−ax 并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即
可．
【详解】解：（1）f (x)的导数f' (x)=ex+e−x．由于 ，故f' (x)≥2．
（当且仅当x=0时，等号成立）．
（2）令g(x)=f(x)−ax ，则g' (x)=f' (x)−a=ex+e−x−a，
（ⅰ）若a≤2，当x>0时，g' (x)=ex+e−x−a>2−a≥0，
故g(x)在(0,+∞)上为增函数，
所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax
．
（ⅱ）若 ，方程 的正根为 ，
a>2 g' (x)=0
此时，若 x∈(0,x )，则g' (x)<0，故g(x)在该区间为减函数．
1
所以， x∈(0,x )时，g(x)<g(0)=0，即f (x)<ax，与题设f(x)≥ax相矛盾．
1
综上，满足条件的a的取值范围是(−∞，2]．
【点睛】考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力．
4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数 ，已知 是函数 的极值
点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
【答案】（1） ；（2）证明见详解
【分析】（1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数 ；
（2）由（1）得 ， 且 ，分类讨论 和 ，可等价转化为要证
，即证 在 和 上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知， ，其定义域为 ．
要证 ，即证 ，即证 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12（ⅰ）当 时， ， ，即证 ．令 ，因为
，所以 在区间 内为增函数，所以 ．
（ⅱ）当 时， ， ，即证 ，由（ⅰ）分析知 在区间
内为减函数，所以 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）有 ．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得 ， ， 且 ，
当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ，
，即证 ，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，故 ；
当 时， ， 单增，故 ；
综上所述， 在 恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减
函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且
， ，即 ，所以 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ．
（ⅱ）当 时， ，同理可证得 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ．
【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当 时，转化为证明
，当 时，转化为证明 ，然后构造函数，利用导数研究单调性，进
而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当 时， 成
立和当 时， 成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，
运算简洁，为最优解；方法三先构造函数 ，利用导数分析单调性，证得常见常用结论
（当且仅当 时取等号）．然后换元得到 ，分类讨论，利用不等式的基本性质
证得要证得不等式，有一定的巧合性.
题型三、利用导数研究能成立问题
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知函数 且
.
（1）求a；
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
【答案】（1）a=1；（2）见解析.
1
【分析】（1）通过分析可知 等价于 ，进而利用
h' (x)=a−
可得
f (x)≥0 h(x)=ax−a−lnx≥0 x
1
h(x)min=h( )，从而可得结论；
a
（2）通过（1）可知f(x)=x2 −x−xlnx，记t(x)=f' (x)=2x−2−lnx，解不等式可知
1
t(x)min=t(
2
)=ln2−1<0，从而可知
f' (x)=0
存在两根x
0
，
x
2
，利用
f (x)
必存在唯一极大值点x
0
1 1 1 1
及x < 可知f (x )< ，另一方面可知 f (x )>f ( )= ．
0 2 0 4 0 e e2
【详解】（1）解：因为f(x)=ax2 −ax−xlnx=x(ax−a−lnx)(x>0)，
1
则 等价于 ，求导可知h' (x)=a− ．
f (x)≥0 h(x)=ax−a−lnx≥0 x
则当a≤0时h' (x)<0，即y=h(x)在（0，+∞）上单调递减，
所以当
x
0
>1
时，
h(x
0
)<h(1)=0
，矛盾，故a>0．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 141 1 1
因为当0<x< 时 、当x> 时 ，所以h(x)min=h( )，
a h' (x)<0 a h' (x)>0 a
1
又因为 ，所以 =1，解得 ；
h(1)=a−a−ln1=0 a a=1
另解：因为f(1)=0，所以f (x)≥0等价于f (x)在x>0时的最小值为f(1)，
所以等价于f (x)在x=1处是极小值，
所以解得a=1；
（2）证明：由（1）可知f(x)=x2 −x−xlnx，f' (x)=2x−2−lnx，
1
令 ，可得 ，记 ，则t' (x)=2− ，
f' (x)=0 2x−2−lnx=0 t(x)=2x−2−lnx x
1
令 ，解得：x= ，
t' (x)=0 2
1 1
所以 在区间（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
t(x) 2 2
1
所以t(x)min=t(
2
)=ln2−1<0，从而
t(x)=0
有解，即
f' (x)=0
存在两根x
0
，
x
2
，
且不妨设f' (x)在 （0,x
0
） 上为正、在 （x
0
，x
2
） 上为负、在（x2,+∞）上为正，
所以f (x)必存在唯一极大值点 x ，且 2x −2−lnx =0 ，
0 0 0
f(x )=x −x −x lnx =x −x +2x −2x =x −x
所以 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2，
0 0 0 0
1 1 1 1
由x < 可知 f (x )<(x −x )max=− + = ；
0 2 0 0 0 2 22 2 4
1 1 1
由f' ( )<0可知x < < ，
e 0 e 2
1 1 1
所以 f (x) 在 （0，x ） 上单调递增，在（x 0 ， e ）上单调递减，所以 f (x 0 )>f ( e )= e2 ；
0
综上所述，f (x)存在唯一的极大值点 x ，且 e−2<f (x )<2−2 ．
0 0
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，
属于难题．
2．（2008年辽宁高考试题）设函数 ．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式 的解集为（0，+ ）？若存在，求a的取值范围；若
不存在，试说明理由．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15【答案】（1） 在 单调递增，在 单调递减， 在 的极大值为 ，没有极小
值；
（2）存在 ，使得关于 的不等式 的解集为 ，且 的取值范围为 ．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数 ，在函数的定义域内解不等式 和 ，求
出单调区间，讨论满足 的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值；
（2）对 进行讨论，当 时， 恒成立，关于 的不等式 的解集为 符合题意．当
时，关于 的不等式 的解集不是 ．
【详解】解：（1） ．
故当 时， ， 时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
由此知 在 的极大值为 ，没有极小值．
（2）（ⅰ）当 时，
由于 ，
故关于 的不等式 的解集为 ．
（ⅱ）当 时，由 知 ，其中 为正整数，且有
．
又 时， ．
且 ．
取整数 满足 ， ，且 ，
则 ，
即当 时，关于 的不等式 的解集不是 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在 ，使得关于 的不等式 的解集为 ，且 的取值范围为 ．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问的（ⅱ），转化为证明 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16题型四、利用导数研究恒成立问题
1．（2008安徽高考真题）设函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）已知 对任意 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【详解】 若 则 列表如下
+ 0 - -
极大值
单调增 单调减 单调减
(2) 在 两边取对数, 得 ,由于 所以
(1)
由(1)的结果可知,当 时, ,
为使(1)式对所有 成立,当且仅当 ,即
2．（2011年湖南省普通高等学校招生统一考试理科数学）（Ⅰ）设函数 ，证明：
当 时，
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到
的20个号码互不相同的概率为 ，证明：
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【详解】证明：（Ⅰ） 时， ，
于是 在 上单调增，所以
（Ⅱ）
（共有 对数相乘）
x2
f' (x)= >0
由（I），−1<x<0
时，也有
(x+1)(x+2) 2
，
1
f (− )<f (0)=0
f (x) （−1,0） 10
故 在 上单调增，所以 ，
1
1 9 5 9 2
f(− )=ln( )+ =ln( )+ <0
10 10 19 10 19
10
即
9 9 1
19ln( )<−2 ( ) 19 <e−2 =
即
10
，两边同时取e的对数得：
10 e2
9 1
p<( ) 19 <
10 e2
综上所述： .
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围.
a
【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
（2）
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大
值即可确定实数a的取值范围.
【详解】(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，则 ， ，
故 单调递增， ，故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
[方法二]：特值探路
当 时， 恒成立 ．
只需证当 时， 恒成立．
当 时， ．
只需证明 ⑤式成立．
⑤式 ，
令 ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19所以当 时， 单调递减；
当 单调递增；
当 单调递减．
从而 ，即 ，⑤式成立．
所以当 时， 恒成立．
综上 ．
[方法三]：指数集中
当 时， 恒成立 ，
记 ，
，
①.当 即 时， ，则当 时， ， 单调递增，又 ，
所以当 时， ，不合题意；
②.若 即 时，则当 时， ， 单调递减，当
时， ， 单调递增，又 ，
所以若满足 ，只需 ，即 ，所以当 时，
成立；
③当 即 时， ，又由②可知 时，
成立，所以 时， 恒成立，
所以 时，满足题意.
综上， .
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，
本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
4．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）理科数学）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析
【详解】本小题主要考查函数导数的求法、导数的应用、不等式的恒成立问题、不等式的证明，同时考查
转化的思想、逻辑思维能力、运算能力、综合分析与解决问题的能力.
（Ⅰ） ， ,
题设 等价于 .
令 g(x)=lnx−x ，则
当 ， ；当 时， ， 是 的最大值点，
综上， 的取值范围是 .
(Ⅱ)有（Ⅰ）知， 即 .
当 时， ；
当 时，
所以（x−1）f(x)≥0
点评：本题考法相对新颖，特别是第（Ⅰ）小题在所求问题的设置上打破常规，不是单纯考查利用导数研
究函数的几何意义、单调性、极值、最值，而是将这些知识融入一个不等式恒成立求参数范围问题中，这
符合“稳中求变”的高考命题原则.
题型五、利用导数研究方程的根
1．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21【答案】（1） （2）设切线 ，方程 有三个相异的实
数根．函数 与x轴有三个交点， 得
，满足极大值 ，极小值 得
【详解】试题分析：（I）求函数 的导数：f(x)=3x2 −1．
曲线 在点 处的切线方程为
（II）如果有一切线过点 ，则存在 使得 于是，若过点 可作曲线 的三
条切线，则转化为方程 有三个相异的实数根．
记 ，则
时， 则 在此区间单调递增；
时， 则 在此区间单调递减；
时， 则 在此区间单调递增；
可求得函数 的极大值和极小值分别为 和 ．
由 的单调性可知，
当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根；
当极大值 或极小值 时，方程 只有两个相异的实数根；
依题意： 且 方程 才有三个相异的实数根．
即可得证−a<b<f (a)
考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，方程根的讨论．
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过求确定处导函数值，得到切线的斜率，进一步可求
切线方程．讨论方程的根，可通过讨论函数的单调性及极值情况，认识切线特征，得到解题目的．
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化为
方程 有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究 的
单调性，并结合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这正好是
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22，然后根据 的图象和单调性得到 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减； ,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要
条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
[方法二]：构造差函数
由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得方程
在区间 内有两个解．
构造函数 ，求导数得 ．
当 时， 在区间 内单调递增，所以， 在
内最多只有一个零点，不符合题意；
当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时， ；
所以，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ．
由于 ，
当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23，所以 ，即 ．
构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，所以
，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ．
所以，实数a的取值范围为 ．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解．
因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与 有且
仅有两个交点．
①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意．
②当 时，取 上一点 在点 的切线方程为
，即 ．
当 与 为同一直线时有 得
直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点．
记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增；
在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所当 且 时
有 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
[方法四]：直接法
．
因为 ，由 得 ．
当 时， 在区间 内单调递减，不满足题意；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得
在区间 内单调递减．
因为 ，且 ，所以 ，即 ，即
，两边取对数，得 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，在区间
内单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以 ，即 ．
故实数a的范围为 ．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，
属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数
形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成 与 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线
斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
3．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数 （ 是自然对
数的底数， ）.
（Ⅰ）求 的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于 的方程 根的个数．
【答案】解法一 （Ⅰ） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
（Ⅱ）当 即 时，函数 的图象有两个交点，即方程
有两个根.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25当 即 时，函数 的图象有一个交点，即方程 有
一个根.
显然当 时，方程 没有根.
【详解】（Ⅰ）
当 时， ；当 时
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
（Ⅱ）
通过图象可对 进行讨论：
当 即 时，函数 的图象有两个交点，即方程 有
两个根.
当 即 时，函数 的图象有一个交点，即方程 有
一个根.
显然当 时，方程 没有根.
解法二 （Ⅰ） ，
由 ，解得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26当 时， ， 单调递减
所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
最大值为
（Ⅱ）令
（1）当 时， ，则 ，
所以，
因为 ， 所以
因此 在 上单调递增.
（2）当 时，当时， ，则 ，
所以，
因为 ， ，又
所以 所以
因此 在 上单调递减.
综合（1）（2）可知 当 时， ，
当 ，即 时， 没有零点，
故关于 的方程 根的个数为0；
当 ，即 时， 只有一个零点，
故关于 的方程 根的个数为1；
当 ，即 时，
①当 时，由（Ⅰ）知
要使 ，只需使 ，即 ；
②当 时，由（Ⅰ）知
；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27要使 ，只需使 ，即 ；
所以当 时， 有两个零点，故关于 的方程 根的个数为2；
综上所述：
当 时，关于 的方程 根的个数为0；
当 时，关于 的方程 根的个数为1；
当 时，关于 的方程 根的个数为2.
【考点定位】本题考查了函数的单调性、函数的最值等主干知识，考查了数形结合思想、分类讨论思想、
函数与方程思想的综合应用.第一问的研究为第二问进行数形结合铺平了“道路”，使
的相对位置关系更明晰.
4．（2021年浙江省高考数学试题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取
值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是 .
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29只需证 ，
，只需证 在 时为正，
由于 ，故函数 单调递增，
又 ，故 在 时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点 ，不妨设 ，由 得 （其中
）．
且 ．
要证 ，只需证 ，即证 ，只需证 ．
又 ，所以 ，即 ．
所以只需证 ．而 ，所以 ，
又 ，所以只需证 ．
所以 ，原命题得证．
[方法三]：
若 且 ，则满足 且 ，由（Ⅱ）知 有两个零点 且 ．
又 ，故进一步有 ．
由 可得 且 ，从而
．．
因为 ，
所以 ，
故只需证 ．
又因为 在区间 内单调递增，故只需证 ，即 ，注意
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30时有 ，故不等式成立．
【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同
的处理方法，
方法一：直接分析零点 ，将要证明的不等式消元，代换为关于 的函数，再利用零点反代法，换为
x
关于 的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
2
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为 与0比较大小，
代入函数放缩得到结论.
5．设 ，若 ．
求证：（1） 且 ；
（2）函数 在 上有两个零点．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）由 得 ，由 得 ，结合 ，利用不等式的性质可证
结论成立；
（2）根据 ， ，对称轴 ， ，结合二次函数图象可证结论
成立.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
由 得 ，所以 ，即 ，
由 得 得 ，
由 得 得 ，
综上所述： 且 .
（2）由（1）知 且 ，所以 的对称轴 ，
又 ， ，且
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31因为 ，所以 ，
所以函数 在 上有两个零点.
【点睛】关键点点睛：第（2）问根据二次函数的图象求解是解题关键.
题型六、利用导数研究零点问题
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）方法一：构造函数 ，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，
最后根据单调性证得不等式;
（2）方法一：研究 零点，等价研究 的零点，先求 导数： ，
这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当 时， ， 没有零点；当 时，
先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.
【详解】（1）［方法一］：【最优解】指数找朋友
当 时， 等价于 ．
设函数 ，则 ．
，所以 在 单调递减．
而 ，故当 时， ，即 ．
［方法二］：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值
当 时， ．
令 ，令 ，得 ．则函数 在区间 内单调递减，在区间
内单调递增，从而 ，所以函数 在区间 内单调递增，有
．
［方法三］：【最优解】指对等价转化
当 时， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32令 ，函数 在区间 上单调递增，故
，有 ，故当 时， ．
（2）［方法一］：指数找朋友
设函数 ，
在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点．
（i）当 时， ， 没有零点；
（ii）当 时， ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
故 是 在 的最小值．
①若 ，即 ， 在 没有零点；
②若 ，即 ， 在 只有一个零点；
③若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点，
由（1）知，当 时， ，所以 ．
故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点．
综上， 在 只有一个零点时， ．
［方法二］：等价转化为直线与曲线的交点个数
令 ，得 ．
令 ．则函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，
则 ．当 时， ，当 时， ，故函数 在区间 内
只有一个零点时， ．
［方法三］：等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数
函数 在区间 内只有一个零点等价于函数 的图象与函数 的图象在区间 内只
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33有一个公共点．由 与 的图象可知它们在区间 内必相切于y轴右侧同一点，设切点为
，则 ，解方程组得 ，经验证符合题意．
［方法四］：等价转化为直线与曲线的交点个数
当 时， ，原问题转化为动直线 与曲线 在区间 内只有一个公
共点．由 得函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增．设 与
的切点为 ，则 ，于是函数 在点P处的切线方程为
．由切线过原点可得 ，故 ．
［方法五］：【通性通法】含参讨论
因为 ， ，
当 时， 在区间 内单调递增，又 ，故 无零点；
当 时， ．
①当 时， 在区间 内单调递增，有 在区间
内单调递增，又 ，故 无零点；
②当 时，令 ，得 ，故函数 在区间 内单调递减，在区间
内单调递增． ，从而 单调递增．又 ，所以
无零点．
③当 时， ，又 ，所以存在 ，使得 ，则函数
在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且 ，则
为函数 的唯一零点，且 满足 ．所以 ，解
得 ，则 ．
［方法六］：【最优解】等价变形＋含参讨论
当 时， ，无零点；
当 时， ，记 ，则 ；
当 时， ，函数 在区间 内单调递增，则有 ，故 无零点；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34当 时，当 时， 单调递诚，当 时， 单调递增，当
时， ，当 时， ，
故 ，得 ．
【整体点评】（1）方法一：根据指数找朋友，将不等式等价转化为 ，这样可以减少求导
的次数，便于求最值，是该题的最优解．；
方法二：常规的直接求导，研究函数的单调性求最值，是该题的通性通法；
方法三：利用指对互化，将不等式等价转化为 ，这样可以减少求导的次数，便于求最值，
是该题的最优解．
（2）方法一：根据指数找朋友，原函数 在 只有一个零点等价于 在 只有
一个零点，再分类讨论以及利用导数研究其单调性即可解出；
方法二：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为直线与曲线的交点个数，即可解出；
方法三：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数，
即可解出；
方法四：同方法二；
方法五：直接含参讨论函数的单调性确定最值，再根据零点存在性定理判断即可解出，是该类型题的通性
通法；
方法六：易知当 时函数无零点，只需考虑 时的情况， ，再含参讨论函数
的单调性，研究其最值即可解出，是本题的最优解．
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对 分类讨论,对 分 两部分研究
【详解】（1） 的定义域为
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为
（2）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35设
若 ,当 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若 ,当 ,则
所以 在 上单调递增所以 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若
(1)当 ,则 ,所以 在 上单调递增
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递减
当 单调递增
所以
当 ,
令 则
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
又 ， ，
所以 在 上有唯一零点
又 没有零点,即 在 上有唯一零点
(2)当
设
所以 在 单调递增
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36所以存在 ,使得
当 单调递减
当 单调递增,
又
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递增,当 单调递减，
当 ， ，
又 ，
而 ,所以当
所以 在 上有唯一零点, 上无零点
即 在 上有唯一零点
所以 ,符合题意
所以若 在区间 各恰有一个零点,求 的取值范围为
【点睛】方法点睛：本题的关键是对 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满
足即可，肯定要两方面都说明.
题型七、利用导数研究隐零点问题
1．(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为 ，求函数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37的值域.
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当 时， 证明结
论；（Ⅱ）用导数法求函数 的最值，再构造新函数 ，用导数法求解.
试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 .
且仅当 时， ，所以 在 单调递增，
因此当 时，
所以
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知， 单调递增，对任意
因此，存在唯一 使得 即 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
因此 在 处取得最小值，最小值为
于是 ，由 单调递增
所以，由 得
因为 单调递增，对任意 存在唯一的
使得 所以 的值域是
综上，当 时， 有最小值 ， 的值域是
【考点】函数的单调性、极值与最值
【名师点睛】求函数单调区间的步骤：
（1）确定函数f (x)的定义域；
（2）求导数f' (x)；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38（3）由f' (x)>0（f'（x）<0）解出相应的x的范围．
当f'（x）>0时，f (x)在相应的区间上是增函数；当f'（x）<0时，f (x)在相应的区间上是减函数，还
可以列表，写出函数的单调区间．
注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数
最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数 ，曲线 在点(
，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义得到 ，解方程即可；
（2）方法一：由（1）可得 ，易知 在 上单调递减，在 ，
上单调递增，且 ，采用反证法，推出矛盾即可.
【详解】（1）因为 ，由题意， ，即： ，则 ．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得 ， ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
且 ，
若 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点 ，则 或 ，
即 或 .
当 时， ，
又 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当 时， ，
又 ，
由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上， 所有零点的绝对值都不大于1.
［方法二］【最优解】：
设 是 的一个零点，且 ，则 ．
从而 ．
令 ，由判别式 ，可知 在R上有解， 的对
称轴是 ，所以 在区间 上有一根为 ，
在区间 上有一根为 （当 时， ），进而有 ，所以 的所有零点的绝
对值均不大于1．
［方法三］：
设 是函数 的一个绝对值不大于1的零点，且 ．设 ，则
，显然 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，在区间 内单调
递减．又 ，于是 的值域为 ．
设x 为函数 的零点，则必有 ，于是 ，所以
1
解得 ，即 ．
综上， 的所有零点的绝对值都不大于1．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40［方法四］：
由（1）知， ，令 ，得 或 ．则 在区间
内递增，在区间 内递减，在区间 内递增，所以 的极大值为
的极小值为 ．
（ⅰ）若 ，即 或 ， 有唯一一个零点 ，显然有 ，不满足题意；
（ⅱ）若 ，即 或 ， 有两个零点，不妨设一个零点为 ，显然有
，此时， ，则 ，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为 ，
则另一个零点为 ．
（ⅲ）若 ，即 ， 有三个零点，易知在区间 内有一个零点，不妨设
为 ，显然有 ，又 ， ，所以在 内有一个零点m，显然 ，同理，
在 内有一个零点n，有 ．
综上， 所有零点的绝对值都不大于1．
［方法五］：
设 是 的一个零点且 ，则 是 的另一个零点．
．
则 ，设 ，由判别式 ，所以方程有
解．
假设实数 满足 ．
由 ，得 ．与
矛盾，假设不成立．
所以， 所有零点的绝对值都不大于1．
【整体点评】（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想即可
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，是本题的最优解；方法
三：利用零点的定义结合题意求出 的范围，然后再由零点定义以及 的范围即可求出所有零点的范围，
从而证出；方法四：由函数的单调性讨论极大值极小值的符号，得出 的范围，再结合零点存在性定理即
x x
可证出；方法五：设函数的一个零点为 ，满足 ，再设另一个零点为 ，通过零点定义找到 的
1 2
关系，再根据一元二次方程存在解的条件以及反证法即可推出矛盾，从而证出．
3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点 切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角
形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数 的单调性，当a=1时，由 得 ,符合题意；
当 时，可证 ，从而 存在零点 ，使得 ，得到 ，
a>1 f (x)
min
利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得 恒成立；当 时，
研究 .即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
【详解】（1）∵ ， ， .
∵
，∴切点坐标为（1,1+e）,
∴函数 在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ．
（2）［方法一］：通性通法
∵ , ，且 .
设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.
当 时， ， ， ,
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ，
， ，
因此
>1,
∴ ∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由 得 ，即 ，而 ，所以
．
令 ，则 ，所以 在R上单调递增．
由 ，可知 ，所以 ，所以
．
令 ，则 ．所以当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减． 所以 ，则 ，即 ．
所以a的取值范围为 ．
［方法三］：换元同构
由题意知 ，令 ，所以 ，所以 ．
于是 ．
由于 ，而 在 时为增函数，故 ，即
，分离参数后有 ．
令 ，所以 ．
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以当 时， 取得最大值为 ．所以 ．
［方法四］：
因为定义域为 ，且 ，所以 ，即 ．
令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43因为 ，所以 时，有 ，即 ．
下面证明当 时， 恒成立．
令 ，只需证当 时， 恒成立．
因为 ，所以 在区间 内单调递增，则 ．
因此要证明 时， 恒成立，只需证明 即可．
由 ，得 ．
上面两个不等式两边相加可得 ，故 时， 恒成立．
当 时，因为 ，显然不满足 恒成立．
所以a的取值范围为 ．
【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数 的单调性，求出其最小值，由 即可求出，解法
虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成 ，再根据函数 的单调性
以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令 ，再同构，可将原不等式化成 ，再根据函数 的
单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用 可得 的取值范围，再进行充分性证明即可．
题型八、利用导数研究双变量问题
1．设函数 有两个极值点 ，且
（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；
（II）证明：
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为 和 ，单调递减区间 ，
其中， 且 .（Ⅱ）见解析
【分析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，因为原函数有两个极值点，所以导函数有两个不同解，因为真数
，所以两个根都要在定义域内，这样就转化为了一元二次方程根分布问题，求出 的取值范围.
利用 求得函数的的单调递增区间，利用 求出单间区间.一定注意单调区间在定义域内.
（II）因为 不确定， 就不确定，它是参数 函数，要使 恒成立，只需 的最小
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44值大于 即可.把恒成立问题转化为求函数的最值来解决，求函数的最值还是用导数.
【详解】（Ⅰ）因为 ，设 ，
依题意知 得 ，所以 的取值范围是
由 得 ，由 得 ，
所以函数的单调递增区间为 和 ，单调递减区间 ，
其中， 且 .
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，设 ，
所以 在 递减，又 在 处连续，所以 ，
即 .
2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））设函数 ．
（1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；
（2）若对于任意 ，都有 ，求m的取值范围．
【答案】（1） 在 单调递减，在 单调递增；（2） .
【详解】（Ⅰ） ．
若 ，则当 时， ， ；当 时， ， ．
若 ，则当 时， ， ；当 时， ， ．
所以， 在 单调递减，在 单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的 ， 在 单调递减，在 单调递增，故 在 处取得最小值．
所以对于任意 ， 的充要条件是： 即 ①，
设函数 ，则 ．当 时， ；当 时， ．故 在 单
调递减，在 单调递增．又 ， ，故当 时， ．当
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45时， ， ，即①式成立．当 时，由 的单调性， ，即 ；当
时， ，即 ．综上， 的取值范围是 ．
考点：导数的综合应用．
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的
符号，即可求得函数的单调区间；
（2）方法一：根据 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定 ，令 ，得到两个极
值点 是方程 的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
【详解】（1） 的定义域为 ， .
（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.
（ii）若 ，令 得， 或 .
当 时， ；
当 时， .所以 在 单调递减，在
单调递增.
（2）［方法一］：【通性通法】消元
由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于
，
所以 等价于 .
设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46，所以 ，即 .
［方法二］：【通性通法】消元
由（1）知 且 是方程 的两根，不妨设 ，即 ．此时
．
欲证不等式成立，只需证 ．
因为 ，所以 ，只需证 ．
令 ，
所以， 在区间 内单调递减，且 ，所以 ，即证．
［方法三］：硬算
因为 ，
所以 有两个相异的正根 （不妨设 ）．
则 且 即 ．
所以 ．
而 ， ，所以 ．
设 ，则 ．
所以 在 上递减， ，问题得证．
［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 ．
由于 的两个极值点 满足 ，所以 ．不妨设 ，则 ．由于
．
由对数平均不等式可得 ，即 ．
故 ．
【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等
式恒成立问题，属于通性通法；
方法二：同方法一，只是消元字母不一样；
方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；
方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学）已知函数 ．
（1）若 在 处导数相等，证明： ；
（2）若 ，证明：对于任意 ，直线 与曲线 有唯一公共点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）方法一：先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为 ，利
用基本不等式求得 取值范围，最后根据函数单调性证明出不等式；
（2）方法一：利用零点存在定理证明函数 有零点，再利用导数证明函数
在 上单调递减，即证出.
【详解】（1）［方法一］：基本不等式＋函数思想
函数 的导函数 ，由 ,得 ，
因为 ，所以 ．由基本不等式得 ．
因为 ，所以 ．
由题意得 ．
设 ，则 ，
所以 在 上递减，在 上递增，故 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48即 ．
［方法二］：换元＋同构＋函数思想
．令 ，即关于 的二次方程 的两个相异根
分别为 ，则 ，解得 ．
所以 ．
令 ，则 在区间 上恒成立．
所以 在区间 内单调递减，因此 ，得证．
（2）［方法一］：【通性通法】【最优解】零点存在性定理＋单调性
设 ，
令 ,则
，
所以, ，即存在 使 ,
所以,对于任意的 及 ,直线 与曲线 有公共点.
由 得 .
设 , ，
其中 .
由（1）可知 ,又 ,
故 ,
所以 ,即函数 在 上单调递减,因此方程 至多1
个实根.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49综上,当 时,对于任意 ,直线 与曲线 有唯一公共点.
［方法二］：极限思想＋零点存在性定理＋单调性
令 ，因为 ，又 的图象在区间
上连续不断，
所以，对于任意的 及 ，函数 在区间 内有零点．
以下证明，当 ，对任意 ，函数 在区间 上至多有一个零点．
易知 ．
①当 时， ，此时函数 在区间 内单调递减，所以，函数 在区间
内至多有一个零点；
②当 时，关于x的方程 ，即 有两个不同的实数根，分别记为 ，不妨
设 ，可得 ．
易知，函数 在区间 和 内单调递减，在区间 内单调递增．
所以函数 的极小值 ．
由（1）可知 ，又 ，所以 ．
所以 在区间 内至多有一个零点，得证．
［方法三］：换元法的应用
由方法一知，交点必存在，只证唯一性．
令 ，只需证：对于任意 ，方程 有唯一解．
设 ，则 ．设 ，则 ．当
时， ；当 时， ．所以 是 的最大值点．由 知
，因此 ， 在区间 内递减，解必唯一．
［方法四］：图象性质的应用
由方法一知，交点必存在，只证唯一性．
，得 的拐点为 ．而 的图象在拐点
处的切线l方程为 ，即 ．此时切线l穿过 的图象，与 的
图象只有一个交点，所以当 时，直线 与 的图象只有一个交点．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 50【整体点评】（1）方法一：先通过题意得出等量关系 ，利用基本不等式求出 取值范围，
再将 用 表示出来，然后构造函数，由函数的单调性即可证出；
方法二：设 ，利用同构以及方程思想可得 的取值范围，再将 用 表示出来，
然后构造函数，由函数的单调性即可证出；
（2）方法一：利用等价转化思想，直线与曲线有唯一交点，转化为 有唯一零点，找点
利用零点存在性定理以及函数的单调性即可证出，是该题的通性通法；
方法二：解题思想同方法一，方法二借用极限思想快速判断函数 在
上有零点，再分类讨论说明函数 在区间 上至多有一个零点，即可证出，只不过欠缺
严谨性；
方法三：同方法一，知交点必存在，只是证明唯一性的方式不同，
通过换元，证明对于任意 ，方程 有唯一解，利用导数说明函数 在区间 内递
减，即证出；
方法四：同方法一，知交点必存在，只是证明唯一性的方式不同，根据函数 的图象的凸凹性，求出拐
点所在处的切线方程，数形结合证出．
题型九、利用导数研究数列不等式问题
1．（单元测试君2017-2018学年高二文科数学人教版选修1-1（第03章 导数及其应用））已知函数
．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】试题分析：（1）由原函数与导函数的关系可得x=a是 在 的唯一最小值点，列方程解
得 ；
（2）由题意结合（1）的结论对不等式进行放缩，求得 ，结合
可知实数 的最小值为 .
试题解析：（1） 的定义域为 .
①若 ，因为 ，所以不满足题意；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51②若 ，由 知，当 时， ；当 时， ，所以
在 单调递减，在 单调递增，故x=a是 在 的唯一最小值点.
由于 ，所以当且仅当a=1时， .故a=1.
（2）由（1）知当 时， .
令 得 .从而
.
故 .
而 ，所以 的最小值为 .
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，
所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，
对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极
值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
2．（2008年高考全国卷Ⅰ理科数学试题）设函数 ．数列 满足 ，
．
（Ⅰ）证明：函数 在区间 是增函数；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）设 ，整数 ．证明： ．
【答案】（Ⅰ）证明见解析．
（Ⅱ）证明见解析．
（Ⅲ）证明见解析．
【详解】（Ⅰ） ， 上为增函数
（Ⅱ）当 时， ,又由（Ⅰ）及 时，
,因此当 时, ①
下面运用数学归纳法可以证明 ②
（ⅰ）由 ， ，应用式①得当 ，即得当 时，不等式②成立.
（ⅱ）假设当 时，不等式②成立，即 ，则由①可得 ，即
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52，故当 时，不等式②成立
综合（ⅰ）（ⅱ）证得，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 逐项递增，故若存在正整数 ，使得 ，则 ，否则若
，则由 知， ③
由③知
于是
3．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷）设函数 ,其中 .
(I)当 时,判断函数 在定义域上的单调性;
(II)求函数 的极值点;
(III)证明对任意的正整数 ,不等式 都成立.
【答案】(I) 在 上递增，在 上递减，当 时,函数 在定义域 上单调
递增．
(II) 时， 在 上有唯一的极小值点 ；
时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；
时，函数 在 上无极值点．
(III) 证明见解析
【详解】解：(I) 函数 的定义域为 .
，
令 ，则 在 上递增，在 上递减，
.
当 时， ，
在 上恒成立.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53即当 时,函数 在定义域 上单调递增．
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当 时函数 无极值点.
（2）当 时， ， 时，
时，
时，函数 在 上无极值点．
（3）当 时，解 得两个不同解 ， .
当 时， ， ，
此时 在 上有唯一的极小值点 .
当 时，
在 都大于0 ， 在 上小于0 ，
此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .
综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ；
时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；
时，函数 在 上无极值点．
（III） 当 时，
令 则
在 上恒正，
在 上单调递增，当 时，恒有 .
即当 时，有 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54对任意正整数 ，取 得
4．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设函数
，证明：
（Ⅰ）对每个 n∈N¿，存在唯一的 ，满足 ；
1
（Ⅱ）对任意 p∈N¿，由（Ⅰ）中x 构成的数列 {x } 满足 0<x n −x n+p < n .
n n
【答案】见解析
【详解】（1）对每个 n∈N¿，当 时， ，
则 在 内单调递增，
而 ，当 时， ，
故 ，
又
(2) 2[ (2) n−1]
1−
1 1 3 3 1 (2) n−1
=− + ⋅ =− ⋅ <0
3 4 2 3 3
1−
3
所以对每个 n∈N¿，存在唯一的 ，满足
当 时， ，并由（1）知
由 在 内单调递增知， ，故 为单调递减数列，
从而对任意 ,
对任意 ，
①
②
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 55① ②并移项，利用 ，得
n
xk −xk
n+p
xk
n+p
xk
x −x =∑ ¿ n+p n +∑ ¿ n+p ≤∑ ¿ n+p ¿¿¿
n n+p
k−2
k2
k−n+1
k2
k−n+1
k2
n+p 1 n+p 1 1 1 1
¿∑ ¿ <∑ ¿ = − < ¿¿
k−n+1k2 k−n+1k(k−1) n n+p n
1
因此，对任意 ， 0<x −x < .
n n+p n
本题考查的是数列函数，而且含双变量，考生在做题的过程中需要冷静的处理好每个变量.第（1）题考查
函数的零点问题，要证明对每个n∈N¿
，函数在某个区间上只有一个零点，一方面要证明函数是单调的，
求导即可，另一方面要判断 的正负问题，此题难点在于判断 的正负时，要利用放缩的
思想，将这个数列函数放缩到可以利用等比数列求和，从而证明此函数在指定区间内只有一个零点；第
（2）题要将数列从数列函数中分离出来，就要通过函数的单调性，由 ，
在 内单调递增，确定 ，则不等式左半边成立，右半边通过作差，数列放缩确定最终
1
0<x −x < .本题属于较难题.
n n+p n
【考点定位】考查函数的导数及其应用，函数零点的判定，等比数列的求和，不等式的放缩等知识.
题型十、利用导数研究极值点偏移问题
1．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知函数
有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
x ,x
（Ⅱ）设 是 的两个零点，证明： .
1 2
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（Ⅱ）借
助（Ⅰ）的结论来证明，由单调性可知 等价于 ，即 ．设
，则 ．则当 时， ，而 ，故当 时，
．从而 ，故 ．
试题解析：（Ⅰ） ．
（Ⅰ）设 ，则 ， 只有一个零点．
（Ⅱ）设 ，则当 时， ；当 时， ．所以 在 单调递减，
在 单调递增．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 56又 ， ，取 满足 且 ，则
，
故 存在两个零点．
（Ⅲ）设 ，由 得 或 ．
若 ，则 ，故当 时， ，因此 在 单调递增．又当 时
，所以 不存在两个零点．
若 ，则 ，故当 时， ；当 时， ．因此
在 单调递减，在 单调递增．又当 时， ，所以 不存在两个零点．
综上， 的取值范围为 ．
（Ⅱ）不妨设 ，由（Ⅰ）知 ， ， 在 单调递减，所以
等价于 ，即 ．
由于 ，而 ，所以
．
设 ，则 ．
所以当 时， ，而 ，故当 时， ．
从而 ，故 ．
【考点】导数及其应用
【名师点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨
论的原则：互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的
单调性或极值破解.
2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
【答案】(1) ；(2)证明见的解析
、【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为 ，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 57令 ,得
当 单调递减
当 单调递增 ，
若 ,则 ,即
所以 的取值范围为
[方法二]：同构处理
由 得：
令 ，则 即
令 ，则
故 在区间 上是增函数
故 ，即
所以 的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证 ,即证
因为 ,即证
又因为 ,故只需证
即证
即证
下面证明 时，
设 ，
则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 58设
所以 ,而
所以 ,所以
所以 在 单调递增
即 ,所以
令
所以 在 单调递减
即 ,所以 ；
综上, ,所以 .
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 只有1个解
又因为 有两个零点 ，故
两边取对数得： ，即
又因为 ，故 ，即
下证
因为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59不妨设 ，则只需证
构造 ，则
故 在 上单调递减
故 ，即 得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握.
3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调
性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令 ，命题转换为证明： ，然后构造对称
差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 a1b ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 60当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 62即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，
这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
题型十一、放缩法在导数中证明不等式
1．（2021年浙江省高考数学试题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取
值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 63当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是 .
(3)分析+放缩法
有2个不同零点 ，不妨设 ，由 得 （其中
）．
且 ．
要证 ，只需证 ，即证 ，只需证 ．
又 ，所以 ，即 ．
所以只需证 ．而 ，所以 ，
又 ，所以只需证 ．
所以 ，原命题得证．
2．（2020年浙江省高考数学试卷）已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的
底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 64（Ⅱ）记x0为函数 在 上的零点，证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【分析】（I）方法一：先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据
单调性确定最值，即可证得不等式；
（ii）方法一：先根据零点条件转化： ，再根据 放缩，转化为证明不等式
，最后构造差函数，利用导数进行证明.
【详解】（I）[方法一]：单调性+零点存在定理法
∵ 在 上单调递增，
∵ ，
所以由零点存在定理得 在 上有唯一零点．
[方法二]【最优解】：分离常数法
函数 在 内有唯一零点等价于方程 在 内有唯一实根，又等价于直线
与 只有1个交点．
记 ，由于 在 内恒成立，所以 在 内单调递增，故
．
因此，当 时，直线 与 只有1个交点．
（II）（i）∵ ，
，
令
一方面： ，
在 单调递增， ，
，
另一方面：∵ ，
所以当 时， 成立，
因此只需证明当 时， ，
因为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 65当 时， ，当 时， ，
所以 ，
在 单调递减， ， ，
综上， .
（ii）放缩转化法
．
设 ，则由 得
．
从而只要证 ．
上式左边 ．
使用不等式 可得
题型十二、含三角函数的导数问题
1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，求 的取值范围.
【答案】（1）当 时， 在 上是增函数，当 时， 在 上是减函数，当
时， 或 ， 在 上是增函数， 在 上是减函数，
在 是增函数；（2） .
【详解】分析：(1)求出 ，分三种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令 求得 的范围，
可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；(2)构造函数
,讨论 的范围，利用导数研究函数的单调性，分别求出函数
的最大值，从而可筛选出符合条件的 的范围.
详解：(1)f' (x)=a−sinx,
π
当 时， ，且当a=1,x= ,f' (x)=0 ，
a≥1 f' (x)≥0 2
在 上是增函数，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 66当a≤0时，f' (x)≤0且当a=0，x=0或x=π,f' (x)=0，
在 上是减函数，当0<a<1时，
f' (x)=0,x =arcsina或 x =π−arcsina ，
1 2
当x∈[0,x ),sinx<a,f' (x)>0,f(x)是增函数，
1
当x∈（x ,x ）,sinx>a,f' (x)<0,f(x)是减函数，
1 2
当x∈（x ,π）,sinx<a,f' (x)>0,f(x)是增函数.
2
2
(2)由 得
f(π)≤1∴aπ−1≤1∴a≤
，
f(x)≤1+sinx π
2 π 2
令g(x)=sinx− x(0≤x≤ )则g' (x)=cosx− ，
π 2 π
2 2 π
当x∈(0,arcsin ),g' (x)>0当x∈(arcsin ， ),g' (x)<0，
π π 2
π 2 π
由g(0)=g( )=0∴g(x)≥0即 x≤sinx(0≤x≤ )，
2 π 2
2 2
当a≤ 时，有f (x)≤ x+cosx，
π π
π 2
当0≤x≤ 时， x≤sinx,cosx≤1所以 ，
2 π f(x)≤1+sinx
π 2 2 π π
当 ≤x≤π时，f(x)≤ x+cosx=1+ (x− )−sin(x− )≤1+sinx，
2 π π 2 2
综上， 的取值范围是 .
点睛：本试题考查了导数在研究函数中的运用,第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求
解单调区间,另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用解决的关键还是要看导数的符号的实
质不变，求解单调区间，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是
找到合适的函数，来运用导数证明最值问题大于零或者小于零得到解决.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知函数f (x)=sin2x⋅sin2x.
（1）讨论f (x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
3n
（3）设n∈N*，证明：
sin2x⋅sin22x⋅sin24x⋅¿⋅sin22nx≤
.
4n
【答案】（1）当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 67当 时， 单调递增.
（2）证明见解析；
（3）证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数
的单调性即可；
(2)[方法一]由题意将所给的式子进行变形，利用四元基本不等式即可证得题中的不等式；
(3)[方法一]将所给的式子进行恒等变形，构造出(2)的形式，利用(2)的结论即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2)[方法一]【最优解】：基本不等式法
由四元均值不等式可得
，当且仅当 ，
即 或 时等号成立．
所以 ．
[方法二]：构造新函数+齐次化方法
因为 ，令 ，则问题转化为求
的最大值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 68求导得 ，令 ，得 ．
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
所以函数 的最大值为 ，故 ．
[方法三]：结合函数的周期性进行证明
注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
(3)利用(2)的结论
由于
，
所以 ．
【整体点评】(2)方法一：基本不等式是证明不等式的重要工具，利用基本不等式解题时一定要注意等号成
立的条件；
方法二：齐次化之后切化弦是一种常用的方法，它将原问题转化为一元函数的问题，然后构造函数即可证
得题中的不等式；
方法三：周期性是三角函数的重要特征，结合函数的周期性和函数的最值证明不等式充分体现了三角函数
有界限的应用.
(3)方法一：利用(2)的结论体现了解答题的出题思路，逐问递进是解答题常见的设问方式；
3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数 ， 为
的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 69（2） 有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在 上单调递减，根据零点存在定理可判断出
，使得 ，进而得到导函数在 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的
结论可知 为 在 上的唯一零点；当 时，首先可判断出在 上无零点，再利用
零点存在定理得到 在 上的单调性，可知 ，不存在零点；当 时，利用零点存
在定理和 单调性可判断出存在唯一一个零点；当 ，可证得 ；综合上述情况可证得
结论.
【详解】（1）由题意知： 定义域为： 且
令 ，
，
在 上单调递减， 在 上单调递减
在 上单调递减
又 ，
，使得
当 时， ； 时，
即 在 上单调递增；在 上单调递减
则 为 唯一的极大值点
即： 在区间 上存在唯一的极大值点 .
（2）由（1）知： ，
①当 时，由（1）可知 在 上单调递增
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 70∴f (x) 在 上单调递减
又
为 在 上的唯一零点
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
又
∴f (x)在 上单调递增，此时 ，不存在零点
又
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
∴f (x)
又 ，
在 上恒成立，此时不存在零点
③当 时， 单调递减， 单调递减
在 上单调递减
∴f (x)
又 ，
即 ，又 在 上单调递减
在 上存在唯一零点
④当 时， ，
即 在 上不存在零点
综上所述： 有且仅有 个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一
方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71一性，二者缺一不可.
4．（2008年高考全国卷Ⅱ理科数学试题）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） 在每一个区间 （ ）是增函数，
在每一个区间 （ ）是减函数．
（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ） ．
当 （ ）时， ，即 ；
当 （ ）时， ，即 ．
因此 在每一个区间 （ ）是增函数，
在每一个区间 （ ）是减函数．
（Ⅱ）令 ，则
．
故当 时， ．
又 ，所以当 时， ，即 ．
当 时，令 ，则 ．
故当 时， ．
因此 在 上单调增加．
故当 时， ，
即 ．
于是，当 时， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 72当 时，有 ．
因此， 的取值范围是 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 73
