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专题 09 导数大题训练（理科）
题型一、利用导数研究参数问题
类型1：直接法求参数的取值
1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试试卷理科）设
（I）求 在 上的最小值；
（II）设曲线 在点 的切线方程为 ；求 的值．
类型2：分类讨论法求参数的取值及取值范围
根据最值求参
1．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不
存在，说明理由.
根据不等式恒成立问题求参
2．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知函数
.若曲线 和曲线 都过点 ,且在点 处有相同的切线
.
（Ⅰ）求 的值;
（Ⅱ）若 时, ,求 的取值范围.
3．（2019年浙江省高考数学试卷）已知实数 ，设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.注： 为自然对数的底数.
根据零点问题求参
4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1类型3：分离参数法求参数的取值及取值范围
1．已知函数 （ 为自然对数的底数），函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
2．已知函数 ， （其中 ）.
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若对于任意 ，都有 成立，求 的取值范围.
3．已知函数 在点 处切线与直线 平行．
(1)求 的最值；
(2)若函数 存在两个零点，求实数 的取值范围．
题型二、利用导数证明不等式
1．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知函数f(x)=ex −ln(x+m).
(1)设x=0是f (x)的极值点，求m，并讨论f (x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f (x)>0.
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设函数 ,曲线
y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求 ； (2)证明: .
3．设函数
（1）求证： 的导数 ；
（2）若对任意 都有 求a的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数 ，已知 是函数 的极值
点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
题型三、利用导数研究能成立问题
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知函数 且
.
（1）求a；
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
2．（2008年辽宁高考试题）设函数 ．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式 的解集为（0，+ ）？若存在，求a的取值范围；若
不存在，试说明理由．
题型四、利用导数研究恒成立问题
1．（2008安徽高考真题）设函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）已知 对任意 成立，求实数 的取值范围．
2．（2011年湖南省普通高等学校招生统一考试理科数学）（Ⅰ）设函数 ，证明：
当 时，
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到
的20个号码互不相同的概率为 ，证明：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围.
a
4．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）理科数学）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
题型五、利用导数研究方程的根
1．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明：
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
3．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数 （ 是自然对
数的底数， ）.
（Ⅰ）求 的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于 的方程 根的个数．
4．（2021年浙江省高考数学试题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45．设 ，若 ．
求证：（1） 且 ；
（2）函数 在 上有两个零点．
题型六、利用导数研究零点问题
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 的值.
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
题型七、利用导数研究隐零点问题
1．(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为 ，求函数
的值域.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数 ，曲线 在点(
，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5题型八、利用导数研究双变量问题
1．设函数 有两个极值点 ，且
（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；
（II）证明：
2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））设函数 ．
（1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；
（2）若对于任意 ，都有 ，求m的取值范围．
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学）已知函数 ．
（1）若 在 处导数相等，证明： ；
（2）若 ，证明：对于任意 ，直线 与曲线 有唯一公共点．
题型九、利用导数研究数列不等式问题
1．（单元测试君2017-2018学年高二文科数学人教版选修1-1（第03章 导数及其应用））已知函数
．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值．
2．（2008年高考全国卷Ⅰ理科数学试题）设函数 ．数列 满足 ，
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6（Ⅰ）证明：函数 在区间 是增函数；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）设 ，整数 ．证明： ．
3．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷）设函数 ,其中 .
(I)当 时,判断函数 在定义域上的单调性;
(II)求函数 的极值点;
(III)证明对任意的正整数 ,不等式 都成立.
4．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设函数
，证明：
（Ⅰ）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；
n∈N¿
1
（Ⅱ）对任意 p∈N¿，由（Ⅰ）中x 构成的数列 {x } 满足 0
