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专题 09 数列求和（通项含绝对值数列求和）
(典型题型归类训练)
目录
一、典型题型.......................................................................................1
题型一：通项含绝对值..................................................................1
题型二：通项含取整函数...............................................................3
题型三：通项含自定义符号...........................................................4
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练.............5
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求 的前 项和
1．（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ， ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)当n为多少时 取得最大值，并求 的最大值；
(3)若 ，求数列 的前n项和 .
3．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列 中， ，
，其前 项和为 ．
(1)求出 时 的最大值；
(2)求
4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列 的前n项和为 .若 为等差数列，且
满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差数列 中， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
题型二：通项含取整函数
如：求 的前 项和
1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知数列 满足 ， ，
用 表示不超过 的最大整数，则数列 的前10项和为 ．
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数 是高斯函数，其中 表示不超过 的最大
整数，如 ， .若数列 满足 ，且 ，记 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
3．（23-24高三上·重庆·期末）已知数列 是等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2) 表示不超过x的最大整数，如 ， ．若 ， 是数
学科网（北京）股份有限公司列 的前n项和，求 ．
4．（2024·山东烟台·一模）在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和
为常数， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
题型三：通项含自定义符号
如：记 表示x的个位数字，如
求 的前 项和
1．（23-24高三上·湖北孝感·期中）设 为数列 的前 项和， .数列 前 项
和为 且 .数列 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前30项的和.
学科网（北京）股份有限公司2．（2023高三·全国·专题练习） ， ，记 表示 的个
位数字，如 ， 求数列 的前20项的和
3．（23-24高三上·河北衡水·期中）设 为数列 的前 项和， ，数列 满足
.
(1)求 及 ；
(2)记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前20项和.
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知 为数列 的前 项和，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列 的公差为整数， ，设其前
n项和为 ，且 是公差为 的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
4．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2)当 时，求数列 的前n项和 .
5．（2024·四川成都·二模）已知数列 的前n项和 ，且 的最大
值为 ．
(1)确定常数 ，并求 ；
(2)求数列 的前15项和 ．
6．（2024高三·全国·专题练习） ， ， （ 表示不超过 的最
大整数），求 的前 项和．
7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）从条件① ；②
；③ 中任选一个，补充在下面问题中，并给出
解答.
已知数列 的前 项和为 ， ，_____________.
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的通项公式；
(2) 表示不超过 的最大整数，记 ，求 的前 项和 .
8．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知 是数列 的前n项和，
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如 ，
．
9．（23-24高二·全国·课后作业）已知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ，且
， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 表示不超过 的最大整数，如 ， . 令 ，求数列
的前 项和 .
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