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专题 09 数列求和（通项含绝对值数列求和）
(典型题型归类训练)
目录
一、典型题型.......................................................................................1
题型一：通项含绝对值..................................................................1
题型二：通项含取整函数...............................................................7
题型三：通项含自定义符号.........................................................11
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练...........14
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求 的前 项和
1．（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而得
学科网（北京）股份有限公司；
（2）由题知 为单调递减数列，再根据 ， ，分 和 两种
情况讨论求解即可；
【详解】（1）解：因为在数列 中， ， ，
所以， ，
所以，等式两边同加上 得 ，
因为，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ．
（2）解：因为
，即
所以， 为单调递减数列，
因为 ， ，
所以， 时， ， 时， ，
记 的前 项和为 ，则 ，
所以，当 时， ， ；
当 时， ， ，①
，②
所以，① ②得： ，即
学科网（北京）股份有限公司，
综上，
2．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ， ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)当n为多少时 取得最大值，并求 的最大值；
(3)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ；
(2) ， 取得最大值 ；
(3) .
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，转化已知条件求得首项和公差，即可写出通项
公式；
（2）求得 ，根据二次函数的性质，即可求得结果；
（3）对 分类讨论，在不同情况下，借助 ，即可求得结果.
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，因为等差数列 的前n项和为 ， ，
，
可得 ， ，解得 ， ，所以 .
（2）根据（1）中所求， ，
是关于 的二次函数，其对称轴 ；
又 ，所以当n为6时 取得最大值， 的最大值为36.
（3）因为 ，所以 ， ，
当 时， ；
学科网（北京）股份有限公司当 时，
，
综上 .
3．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列 中， ，
，其前 项和为 ．
(1)求出 时 的最大值；
(2)求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出等差数列的首项 和公差 ，可再求出 ，解不等式 即得；
（2）由 确定哪些项小于0，哪些项大于0，根据绝对值的性质分类可求和．
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
令 ，∴ ，因为
∴ 的最大值为 ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
由 ，得 ，
∵ ， ，
∴数列 中，前 项小于 ，第 项等于 ，以后各项均为正数，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
综上， ．
4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列 的前n项和为 .若 为等差数列，且
满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题意求出 的通项公式，可求得 ，再由 与 的关系求出 ；
（2）由 的通项公式，知 ，分 和 讨论，并利用等
差数列前n项和公式求解.
【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，又 ， ，
， ，
，
，则 ， ，
，又 ，
， .
（2）由（1）得， ，
当 时， ，
当 时，
，
学科网（北京）股份有限公司.
5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差数列 中， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式求出公差 ，最后写出其通项即可；
（2）分 和 并结合等差数列求和公式即可得到答案.
【详解】（1） 数列 是等差数列，且 ，
公差 ，
因此， .
（2）由（1）知 ，
所以，当 时， ；当 时， ;当 时， ，
因此，当 时，
，
当 时，
，
综上， .
题型二：通项含取整函数
如：求 的前 项和
1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知数列 满足 ， ，
用 表示不超过 的最大整数，则数列 的前10项和为 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】29
【分析】直接利用数列的递推关系式和数列的取整问题的应用求出结果．
【详解】解：数列{an}满足a＝2，am+an＝am n（m，n∈N*），设bn＝[log an]，
1 + 2
当n＝m＝1时，b＝[log 2]＝1，
1 2
a＝a+a＝4，所以b＝[log 4]＝2，
2 1 1 2 2
a＝a+a＝6，所以b＝[log 6]＝2，
3 1 2 3 2
a＝a+a＝8，所以b＝[log 8]＝3，
4 2 2 4 2
a＝a+a＝10，所以b＝[log 10]＝3，
5 2 3 5 2
a＝a+a＝12，所以b＝[log 12]＝3，
6 2 4 6 2
a＝a+a＝14，所以b＝[log 14]＝3，
7 3 4 7 2
a＝a+a＝16，所以b＝[log 16]＝4，
8 3 5 8 2
a＝a+a＝18，所以b＝[log 18]＝4，
9 4 5 9 2
a ＝a+a＝20，所以b ＝[log 20]＝4，
10 4 6 10 2
所以T ＝b+b+…+b ＝1+2+2+3+3+3+3+4+4+4＝29．
10 1 2 10
故答案为：29．
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数 是高斯函数，其中 表示不超过 的最大
整数，如 ， .若数列 满足 ，且 ，记 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出 ，将两式 和 做差，得出关于
的隔项关系式，根据累加求和，求得通项即可；
（2）由于 ……，给出“当 时，
，……”等结论，分组计算数列 的前 项和即可.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，将两式相减，得： ，
所以数列 的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.
当 为奇数时， ， ，……，且 ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司当 为偶数时，则 ，
所以 .
（2）设 的前 项和为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
3．（23-24高三上·重庆·期末）已知数列 是等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2) 表示不超过x的最大整数，如 ， ．若 ， 是数
列 的前n项和，求 ．
【答案】(1)
(2)23
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，
（2）根据所给定义可用列举法求解，即可求和.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，
则 ， ，解得 ,
故 ；
（2）由 可得 前11项分别为
故 的前11项分别为
所以
.
4．（2024·山东烟台·一模）在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和
学科网（北京）股份有限公司为常数， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】若选
（1）先求 ，可得 ，进而得 ，由基本量运算可得 ；
（2）由 ， 可得解.
若选
（1）先求 ，可得 ，进而得 ，由基本量运算可得 ；
（2）由 ， 可得解.
若选
（1）先求 ，可得 ，进而得 ，由基本量运算可得 ；
（2）由 ， 可得解.
【详解】若选 ： 由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则
解得 所以
由 ，则 ，
，
所以 .
若选 ： 由已知 ， ，
通项
故 .
不妨设 的公差为 ，则 ，
解得 所以 .
学科网（北京）股份有限公司由 ，则 ，
，
所以 .
若选 ： 由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则 ，
因为 解得 所以 .
由
则
，
所以 .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键一是利用基本量运算求解通项公式，二是根据
判断 的值.
题型三：通项含自定义符号
如：记 表示x的个位数字，如
求 的前 项和
1．（23-24高三上·湖北孝感·期中）设 为数列 的前 项和， .数列 前 项
和为 且 .数列 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前30项的和.
【答案】（1） ； ；（2） .
【分析】（1）利用 可求数列 的通项，利用 可把
学科网（北京）股份有限公司转化为 ，因此数列 为等比数列，利用等比的数列的通项公式可求
其通项，从而得到 的通项公式.
（2）结合（1）的通项公式可得 是周期数列，且周期为5，从而利用分组求和法
可求前30项的和.
【详解】解：（1） .
时， ， 符合上式.
∴ .
又 ， ，
而当 时， ， ，
因为 ，故 ，因此 ，所以数列 为等比数列，
故 ，故 .
（2）由（1）得 ， ，
因为 表示 的个位数，
因此 均为周期数列，且周期为5.
将数列 中每5个一组，前30项和可分为6组，
其前30项的和 为
.
【点睛】本题考查数列通项以及数列求和，一般地，数列的通项 与前 项和 的关系
式 ，我们常利用这个关系式实现 与 之间的相互转化，另外，数
列求和应该根据通项的形式选择合适的求和方法，本题属于中档题.
2．（2023高三·全国·专题练习） ， ，记 表示 的个
学科网（北京）股份有限公司位数字，如 ， 求数列 的前20项的和
【答案】
【分析】由定义可得 为1,3,5,7,9、 为3,5,7,9,1周期数列，将数列 中
每5个一组，前20项和可分为4组再利用裂项相消计算可得答案.
【详解】因为 ， 分别表示 ， 的个位数，
所以 为1,3,5,7,9的周期数列，且周期为5，
为3,5,7,9,1周期数列，且周期为5，
将数列 中每5个一组，前20项和可分为4组，
其前20项的和 为
故答案为： .
3．（23-24高三上·河北衡水·期中）设 为数列 的前 项和， ，数列 满足
.
(1)求 及 ；
(2)记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前20项和.
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）根据 ，可求数列 的通项， 符合等差数列定义，可直接
求出通项；
（2）根据 、 的前5项可知数列 是有周期性的，故可以求出前5项的和，
学科网（北京）股份有限公司再乘以4即可.
【详解】（1）当 时， ，由于 也满足 ，则
.
， ， ， 是首项为3，公差为2的等差数列， .
（2） ， 的前5项依次为1，3，5，7，9.
， 的前5项依次为3，5，7，9，1.
易知，数列 与 的周期均为5，
的前20项和为
.
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知 为数列 的前 项和，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解；
（2）分 ， 两种情况，利用等差数列的求和公式求解.
【详解】（1）由 ，
得 （ ），
两式相减得 ，
即 （ ），
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，
经检验 也符合上式，
故 ；
（2）由题意 ，
记 ，则数列 的前 项和 ，
所以，当 时， ，
当 时， ，
综上，
2．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列 的公差为整数， ，设其前
n项和为 ，且 是公差为 的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解，
（2）分类讨论，即可根据等差数列求和公式求解.
【详解】（1）设 的公差为 ，依题意得 ，
所以 ，即 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
，
所以 经检验满足题意.
学科网（北京）股份有限公司（2）依题意得， ， ，
其前 项和 ，
当 时， ， ，
故 ，
当 时， ，
故
所以 .
3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时， ；当 时，
【分析】（1）由已知递推公式，构造等式 ，根据等差数列的定义
可证得结论；
（2）由（1）中的结论可求数列 的通项，得到数列 的通项，根据通项的符号
去绝对值求前n项和 .
【详解】（1）由 ，①
当 时， ．②
①-②，得 ，
又 ，则 ．
即 ，
故数列 是等差数列．
（2）由 ，令 得 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，可知等差数列 的公差 ，所以 ．
设 ，则数列 为递增数列，其前4项为负，从5项开始为正，
设 的前n项和为 ，
若 ， ．
若 ，
．
综上，当 时， ；当 时， ．
4．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件，根据当 时， 可得 ，结合等比数
列的定义求数列 的通项公式，
（2）由（1）求 ，分别在 条件下，结合等差数列求和公式求数列 的前n
项和 .
【详解】（1）由已知当 时， ，
所以 .又 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ；
（2）因为 ， ，
所以 ，
，
，
令 ，可得 ，
所以当 时， ，
当 时，
，
所以 .
5．（2024·四川成都·二模）已知数列 的前n项和 ，且 的最大
值为 ．
(1)确定常数 ，并求 ；
(2)求数列 的前15项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得 ，结合 ，即可求得数列 的
通项公式；
（2）由（1）求得 ，结合 ，即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由数列 的前n项和 ，
根据二次函数的性质，可得当 时， 取得最大值，
即 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， （符合上式），
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
且当 且 时，可得 ；当 且 时，可得 ，
所以数列 的前15项和：
．
6．（2024高三·全国·专题练习） ， ， （ 表示不超过 的最
大整数），求 的前 项和．
【答案】
【分析】先列出 的前 项，再写出 的前 项，求和即可得到结果.
【详解】由题意得 ，
设 的前 项和为 ，
故 =2926.
7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）从条件① ；②
；③ 中任选一个，补充在下面问题中，并给出
解答.
已知数列 的前 项和为 ， ，_____________.
(1)求 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2) 表示不超过 的最大整数，记 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)若选①或②， ,；选③，
(2)若选①或②， ；选③，
【分析】（1）①②都是利用 的方法进行简化，然后得到 与 的关系，进
而得到 通项公式；③利用 的方法进行化简，得到 与 的关系，进
而得到 通项公式；
（2）利用①②③的结果代入 的具体值，通过求和得到答案.
【详解】（1）若选①：
因为 ，所以 ，
两式相减得 ，整理得 ，
即 ，所以 为常数列， ，所以 ；
若选②：
因为 ，所以 ，
两式相减 ，
得 ，因为 ，所以 ，
故 为等差数列，则 ；
若选③：
由 ，变形得： ，则
，
易知 ，所以 ，则 为等差数列，由 ，则
， ，所以 ，
由当 时， ，也满足上式，所以 .
（2）若选①或②：
由题意， ，当 时， ， ；
当 时， ， ；当 时， ；
.
若选③：
由题意， ，当 时， ， ；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ；当 时， ， ；
.
8．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知 是数列 的前n项和，
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如 ，
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求 ，利用 和 可求通项公式；
（2）先求 ，根据 的取值逐个求解 ，然后求和可得答案.
【详解】（1）∵ ；
∵ ，∴
两式相减可得 ，又 ，∴ .
（2）由（1）知： ，
所以当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ，
所以数列 的前10项和为 ．
9．（23-24高二·全国·课后作业）已知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ，且
， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 表示不超过 的最大整数，如 ， . 令 ，求数列
的前 项和 .
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）320.
【分析】（1）由 得 ，进而可知数列 是等差数
列，从而可求出 ，最后利用 与 的关系求 即可；
（2）分情况讨论 取不同值时， 的值，然后求和即可
【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，因此 ，即 .
当 时， ，
又 符合上式， 故 .
（2）由（1）知 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
所以数列 的前 项和
.
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
